Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

матан.docx

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

228 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Метод решения Первый способ Разделим все члены уравнения на

получим

Делая замену

и дифференцируя, получаем:

Это уравнение приводится к линейному:

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение— уравнение с разделяющимися переменными.

10.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ДУ

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений(обыкновенныхис частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла)дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемымначальным условиям(начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при.

11.

Уравнение

, где x - независимая переменная, y - искомая функция, а функция F определена и непрерывна в некоторой области и во всяком случае зависит от, называетсяобыкновенным дифференциальным уравнением n -го порядка.

14.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида гдеp, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны

следующие случаи:

Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией гдеC₁ и C₂ − произвольные действительные числа. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен:D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 - го порядка Уравнение вида

Ly=y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=f(x), a<x<b, (1)

где p(x), q(x), f(x) - заданные на интервале (a,b) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 2 - го порядка. Если f(x)≡0 , то дифференциальное уравнение (1) называется однородным, в противном случае, т.е. когда f(x) тождественно не равна нулю дифференциальное уравнение (1), называется неоднородным. Рассмотрим соответствующее (1) линейное однородное дифференциальное уравнение 2 - го порядка

Ly=y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=0. (2)

Лемма~1. Если y(x) является на интервале (a,b) решением линейного однородного дифференциального уравнения (2), то произведение C·y(x), где C - произвольная постоянная, также является решением дифференциального уравнения (2).

Лемма~2. Если y1(x) и y2(x) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (2) на (a,b), то и их сумма y1(x)+y2(x) также является решением дифференциального уравнения (2) на (a,b).Следствие. Если y1(x) и y2(x) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (2) на интервале (a,b), то и их линейная комбинация C1y1(x)+C2y2(x) с произвольными постоянными C1 и C2 так же является решением данного уравнения на (a,b). Теперь рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Ly=y′′(x)+py′(x)+qy(x)=0, (3)x∈R,

где p и q - заданные действительные постоянные. Частное решение дифференциального уравнения (7) будем искать в виде функции

y(x)=ekx, (4)

где k - неизвестная постоянная. Функция ekx является решением дифференциального уравнения (3) только тогда, когда k является решением алгебраического уравнения:

k2+pk+q=0, (5)так как Lekx=ekx(k2+pk+q). Алгебраическое уравнение (5) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3). Для характеристического уравнения возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта D=p2−4q . 1) Пусть D=p2−4q>0 . В этом случае уравнение (5) имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда функции y1(x)=ek1x и y2(x)=ek2x является на R частными решениями уравнения (3). Решения ek1x и ek2x линейно независимы на R и их линейная комбинация y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)=C1ek1x+C2ek2x является общим решением дифференциального уравнения (3).

2) Пусть D=p2−4q=0 . Тогда корни уравнения (5) вещественные и совпадают k1=k2=k0. Общее решение дифференциального уравнения (3) определяется по формуле:

y(x)=C1ek0x+C2xek0x.

3) Пусть D=p2−4q<0 . Тогда корни уравнения (9) являются комплексно-сопряженными числами k1=α+iβ, k2=α−iβ , где α, β -- действительные числа, β/=0 , i2=−1 . Общее решение дифференциального уравнения (3):

y(x)=C1eα xcosβ x+C2eα xsinβ x=

=eα x(C1cosβ x+C2sinβ x).

Эта теория переносится также на линейные однородные дифференциальные уравнения n - го порядка

y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y′+an(x)y=f(x), (6) где ai(x), i=1,n, f(x) - заданные на интервале (a,b) функции. Если y1(x), y2(x), ..., yn(x) образуют фундаментальную систему частных решений дифференциальных уравнения (6), то их линейная комбинация

y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+...+Cnyn(x) является общим решением дифференциального уравнения (6). В случае дифференциального уравнения (6) с постоянными коэффициентами ai характеристическое уравнение имеет вид

kn+a1kn−1+...+an−1k+an=0.

16.

18.

Свойства сходящихся рядов

1. Если ряд (1) сходится и сумма его равна , а- некоторое число, то сходится и ряди сумма его равна.

Доказательство: пусть  частичная сумма ряда (1), а n частичная сумма ряда , тогдаn=kSn. Переходя к пределу при n,получаем

то есть последовательность частичных сумм сходится к числу.

2.Пусть даны два ряда: иСоставим из них новый ряд

Если оба ряда исходятся, а их суммы равны соответственнои, то рядсходится и сумма его равна+.

Доказательство: Очевидно, что где соответственно частичные суммы рядов ,,.Переходя к пределу при,получаем, что существует предели.

3. Ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: Пусть ряд (1) сходится и сумма его равна , то есть, а частичная сумма ряда, полученного отбрасыванием первых п членов . Значит, при фиксированном п конечный пределприсуществует тогда и только тогда, когда существует пределпри, а это и означает, что на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Из последнего свойства непосредственно вытекает, что сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, отбросить или добавить) конечное число членов ряда (хотя сумма его может измениться, если ряд был сходящимся).

Теорема. (Необходимое условие сходимости)

Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть

Доказательство: пусть ряд (1) сходится и сумма его равна . Имеемили.Перейдём в последнем равенстве к пределу при, получим

Замечание. Условие не является достаточным. Нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если для некоторого ряда необходимое условие выполнено, то соответствующий ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. В таких случаях, то есть при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования. Достаточное условие расходимости. Если для некоторого ряда предел n-го члена не равен нулю, то есть, то такой ряд является расходящимся.

23.Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то un=0.

Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится, то есть существует конечный предел =S. Тогда имеет место также равенство=S, так как при nи (n-1). Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем-==un=0, что и требовалось доказать.