Высшая математика

Простейшие свойства числовых рядов

Теорема 1: Если ряд(1)

сходится и имеет сумму S, то ряд

(2)

где λ–произвольное число, также сходится и имеет сумму λ·S

(5)

Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд

сходится, то .

Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.)

Если у числового ряда , то ряд расходится.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Примеры.

Теорема. Если ряд сходится, то  u_n=0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… 

сходится, то есть существует конечный предел =S.

Тогда имеет место также равенство =S,

так как при n и (n-1). Вычитая почленно

из первого равенства второе, получаем - ==u_n=0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд  расходится, так как

u_n=.

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только

необходимым, но не достаточным, то есть из того,

что u_n=0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

         (6)

расходится, хотя u_n=

3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда  и  − такие, что  для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если  сходится, то  также сходится;

 Если  расходится, то  также расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

 .

Рассмотрим расходящийся ряд 

Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасыванием u₁=1. Так как ln(n+1)<n+1 при любом n=1,2,…, то  поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда  и , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если , то оба ряда  и  либо сходятся, либо расходятся;

• Если , то ряд  сходится, если сходится ряд ;

• Если , то ряд  расходится, если расходится ряд .

Так называемый обобщенный гармонический ряд  сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1. 

4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши.

Признак Даламбера

Пусть  − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:

 Если , то ряд  сходится;

 Если , то ряд  расходится;

 Если , то ряд  может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.

Пример: Исследовать на сходимость ряд  

Применим признак Даламбера

 .

следовательно, ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Снова рассмотрим ряд  с положительными членами. Согласно признаку Коши:

 Если , то ряд  сходится;

 Если , то ряд  расходится;

 Если , то вопрос о сходимости ряда , также как для признака Даламбера, остается открытым.

5. Достаточный признак сходимости знакоположительных рядов: интегральный признак Коши. Обобщённый гармонический ряд.

Пусть имеем знакоположительный ряд , члены которого стремятся к нулю, монотонно убывая, т. е.

, a_n>a_n+1.

Пусть далее, на промежутке , функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) 

2)  f (x) непрерывна,

3)  f (x) монотонно убывает,

4)  f (n) = a_n, для целочисленных значений аргумента

х = n = 1, 2, 3, …

Тогда:

· если несобственный интеграл  сходится, то и ряд сходится;

· если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Гармонический ряд - числовой ряд

Каждый член такого ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних - этим объясняется название. Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится, что было доказано Н. Оремом (ок. 1350), П. Менголи (1650), братьями И. и Я. Бернулли в конце 17 в. и Г. Лейбницем (1673):

Л. Эйлером (1740) было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда: s_n = ln(n) + C + ε_n, где C = 0,5772156649... - постоянная Эйлера, а ε_n → 0 при n → ∞.

Обобщённый гармонический ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.

6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов на (–1).

Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–знакочередующихся рядов.

Определение: Числовой ряд вида , где – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема: (признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …>…

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U₁>U₂>…>U_2n–1>U_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n иS_2n > 0 при любом n.

С другой стороны

S_2n=U₁–[(U₂–U₃)+(U_4–U₅)+…+(U_2n–2–U_2n–1)+U_2n]

Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n>0, поэтому,

S_2n<U₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0<S£U₁, так как S_2n<U₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S_2n+1=S_2n+U_2n+1.

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

7. Общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимости. Примеры.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

Очевидно 0£U_n+|U_n|£2|U_n| при всех n=1,2,3…. Ряд (3) сходится по условию, поэтому сходится ряд  и по признаку сравнения сходится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходится. Например, ряд  сходится по признаку Лейбница, а ряд –расходится (гармонический ряд)

Ряд  называется абсолютно сходящимся, если ряд  также сходится.  Если ряд  сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд  называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

Пример 1.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится. 

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Попробуем применить признак Лейбница:

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится. 

8. Функциональные ряды. Область сходимости.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,   , членами которого являются функции, определенные на промежутке   . При каждом фиксированном   имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда   также является функцией от х:   . По определению предела последовательности: если для   можно указать номер  ( что интересно, для каждого фиксированного   - свой номер, т.е.  ), такой, что для    выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции. Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда.

ПРИМЕР 1.  Нахождение области сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть   , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   можно указать номер  независимо от  , такой, что для выполняется неравенство  , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .  

ПРИМЕР 2.  Изучение сходимости функционального ряда.

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд   с положительными членами, такой, что для всех  , начиная с некоторого номера и всех  выполняется неравенство , то функциональный ряд  сходится на равномерно. Числовой ряд   в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

9. Степенные ряды. Теорема Абеля.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

 (1.1) где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

  (1.2)

Такой ряд всегда сходится при x=0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что  Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что  

Доказательство. Пусть числовой ряд

  (1.3) 

сходится. Поэтому  Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что  для всех n=0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд  (1.4)  предполагая, что  Так как  и при этом  то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при   Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

10. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Пример 1.

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда .

Решение.

Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞). 

11. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в рял Тейлора.

Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x0 – R, x0 + R). Суммой ряда является функция f(x)

= f(x) ( 11 )

Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .

Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 11 ) и вычислять производные при х = х0

f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n + . . . , f(x0) = a 0

f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 + . . . , f ‘(x0) = a1

f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 + . . . , f ‘)’(x0) = 2 a2

f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 + . . . , f’’’(x0) = 23 a3

f(n) (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 an + . . . , f ( n )(x0) = n ! a n

Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0) , an = f ( n )(x0) / n ! ( 12 )

Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

f(x) = ( 13 ) и наз. рядом Тейлора , а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена.

Теорема1(достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть , . Предположим, что функция  удовлетворяет условиям: 1) ,2) :  и  . Тогда.

12. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена.

В соответствии с формулой, запишем ряд дляпочленным дифференцированием (30.12):

Для ряда характерна абсолютная сходимость на интервале.

13. Разложение функции y=sinx в ряд Маклорена.

Разложение функции  в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

…   …   …   …  

…   …   …   …

Значение  и производных в точке 0: , , , , , …, , .

Исследуем остаточный член ряда. , так как

.

, следовательно, и .

Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является помежуток . Таким образом имеет место разложение при :

                 (2)

14. Разложение функции y=e^x в ряд Маклорена.

Разложение функции  в ряд Маклорена.

.

.

Составим для функции  формально ряд Маклорена:

.

Найдем область сходимости этого ряда  при любых x,

 следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то  при любых x и тем более  при любых x.

,, тогда  Таким образом, имеет место разложение при :

15. Основные определения (случайное, достоверное, невозможное события, действия над событиями, полная группа событий, совместные и несовместные события)

Возможные результаты единичной операции, или испытания S, называются случайными событиями. Случайное событие - это такое событие, которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо "произойти" говорят также "наступить", "появиться", "иметь место".

Достоверным называется событие, которое обязательно наступает при проведении данного случайного эксперимента. Например, события

• при подбрасывании игрального кубика выпадет меньше 7 очков;

• при подбрасывании трех монет число орлов окажется не равно числу решек;

• в очередном чемпионате мира по хоккею будет забит хотя бы один гол

являются, очевидно, достоверными.

Невозможным называется событие, которое при проведении данного случайного эксперимента никогда не происходит. Например, события

• при подбрасывании игрального кубика выпадет 7 очков;

• при подбрасывании трех монет число орлов окажется равно числу решек;

• в очередном чемпионате мира по хоккею не будет забито ни одного гола

являются, очевидно, невозможными.

1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.

 2. Событие C произведением A и B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в A, и в B. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.

 3. Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

 4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.

Формулы де Моргана:    и  

5. События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События A и B называются несовместными, если они не имеют общих элементарных событий.

C=AxB=V

Тут V - пустое множество.

Полная группа событий.

Теорема. Сумма вероятностей событий А1 , А2 , ..., Аn , образующих полную группу, равна единице:

Р (A1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.

16. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

17. Теоремы сложения вероятностей. Следствия.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Определение. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло

событие В или нет.

18. Теоремы умножения вероятностей. Следствия.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) Р_A (В).     (*)

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим

Р (ВА) = Р (В) Р_B (А),

или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ,

Р(АВ) = Р (В) Р_B (А).     (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

Р (А) Р_A (В) = Р (В) Р_B (А).     (***)

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

где

является вероятностью события A_n, вычисленной в предположении, что события А₁,А₂,..., А_{n — 1} наступили. В частности, для трех событий

Р (AВС) = Р (А) Р_A (В) Р_AB (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

19. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле

.

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .

По теореме умножения вероятностей

,

откуда

.

Аналогично, для остальных гипотез

Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как  - априорными вероятностями.

20. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p и не появиться с вероятностью q = 1 - p. Обычно первый из двух возможных исходов называют удачей, а второй — неудачей (разумеется, такое деление условно, и, возможно, кому-то захочется назвать два возможных исхода удачей и неудачей противоположным образом). Поставим задачу выяснить вероятность того, что за n испытаний произошло ровно k удач, неважно, в какой последовательности (естественно, что всегда ).При заданной последовательности удач и неудач вероятность равна  (испытания независимы). Число различных способов, какими могут быть расположены k удач из n испытаний всего по формулам комбинаторики  равно . По формуле длявероятности суммы несовместных событий для вероятности ровно k удач из n испытаний всего, получаем (формула Бернулли):.Рассмотрим несколько предельных случаев:

1) ,2) ,3) .

Отметим, что при фиксированном n и при малых значениях k вероятность достаточно маленькая, и это обусловлено тем, что маловероятно, что нам не повезет ни разу (не будет ни одного удачного исхода). С ростом k эта вероятность будет расти, при некотором значении достигнет максимума и далее будет убывать, становясь при k близких к n снова достаточно малой. Малое значение вероятности при k, близких к n, обусловлено тем, что маловероятно, что все испытания будут удачные.

21. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Пусть в каждом из  независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью ,  (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через  вероятность ровно  появлений события А в  испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между  и .

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

 где  - функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где - функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а) 

б) при больших  верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения  к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

22. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Примеры д.с.в.

Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое именно, считается случайной.

Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Сотношение, устанавливающее связь мужду отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х1, х2, ..., хn,..., а через рi = Р(Х = хi) вероятность появления значения хi, то дискретная случайная величинаполностью определяется табл:

xi х1 x2 ... xn

pi p1 p2 ... pn Таблица называется законом распределения дискретной случайной величины Х.

Ряд распределения можно изобразить графически. Получим многоугольник распределения вероятностей(полигон распределения).

Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х: F(x) = P(X < x) = е p_i, где суммирование по х_i < x

Функция F(x) есть неубывающая функция.

Для дискретных случайных величин функция распределения F(х) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток от a до b выражается формулой Р( <= X < ) =F( ) - F()

По мишени производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом выстреле р = 0,8. Требуется:

а) найти закон распределения дискретной случайной величины  , равной числу попаданий в мишень;

б) найти вероятности событий:  ;

Решение.

а)

Возможные значения случайной величины  Соответствующие вероятностивычисляем по формуле Бернулли:

Закон распределения  представится таблицей:

Проверка: 0,0016 + 0,0256 + 0,1536 + 0,4096 + 0,4096 = 1.

б)

Вероятность событий    и равны:

23. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Его свойства.

  Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значенийна их вероятности: M(X) = x₁ p₁+ x₂ p₂+...+ x_n p_n.       Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качествеоценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈`X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка. Математическое ожидание обладает следующими свойствами:       1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.       2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).       3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).       4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XЧYЧZ) = M(X)ЧM(Y)ЧM(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.

24. Дисперсия дискретной случайной величины. Её свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = (x1 - M(X))2p1 + (x2 - M(X))2p2 + ... + (xn- M(X))2pn = x21p1 + x22p2 + ... + x2npn - [M(X)]2

Свойства дисперсии.

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х)

3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:

σ(X) = √D(X)

25. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения. Свойства.

Если X - случайная величина, то функция F(x) - интегральная функция распределения вероятностей, или просто функция распределения (иногда применяют термин кумулятивная функция распределения) случайной величины определяет вероятность P того, что случайная величина принимает значение, меньше x, т.е.

F(x) = P( X < x)

Функция распределения содержит всю информацию о случайной величине, поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения.

Функция распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Из определения следует, что функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

Свойства F(x):

1. Интегральная функция распределения принимает значения от 0 до 1.

2. F(x) - неубывающая функция, то есть F(x₂)  F(x₁), если x₂ > x₁.

3. Вероятность того, что случайная величины X примет значение, заключенное в интервале (а, b) равна приращению интегральной функции распределения на этом интервале:

4. Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат некоторому промежутку от   a  до   b, то:

F(x) = 0, если x  a, F(x) = 1, если x  b

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Например для функции распределения числа очков выпавших при одно бросании игральной кости.

26. Непрерывная случайная величина. Дифференциальная функция распределения(плотность распределения).

Непрерывную случайную величину удобнее характеризовать плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) :

Следовательно, функция распределения F(x) выражается через плотность распределения:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащие интервалу (a, b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b:

График f(x) называют также законом распределения или кривой распределения.

Свойства :

1. 0

2. , если все возможные значения X принадлежат интервалу (a, b)

27. Равномерное распределение.

Пусть производится n независимых испытаний. Случайная дискретная величина X имеет равномерное распределение, если она принимает значения х_i 

  (i= 1, n ) с одинаковыми вероятностями 

  Случайная непрерывная величина X на промежутке (а,b) имеет равномерное распределение, если плотность распределение 

на заданном промежутке, а вне его р(х)=0. 

  Функция распределения в этом случае имеет вид: 

  Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной величины X вычисляется следующим образом:

28. Нормальное распределение.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание. 

  Если а=0 и  σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

  а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

  Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ  вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

     ,где  δ — величина отклонения.

  Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

  P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

  Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.

29. Показательное распределение. Функция надёжности.

Показательным (экспоненциальным) называют распре­деление верояйюстей, которое описывается дифферен­циальной функцией где ?— положительная постоянная величина. Мы видим, что показательное распределение опреде­ляется одним параметром ?. Эта особенность показа­тельного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и при­ходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распре­деленной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока. Найдем интегральную функцию показательного рас­пределения. Мы определили показательное распределение при по­мощи дифференциальной функции; ясно, что его можно оп­ределить, пользуясь интегральной функцией. Графики дифференциальной и интегральной функций изображены на рис. 12.

Функцией надежности R(f) называют функцию, опре­деляющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: R(t)=P(T>t)

Часто длительность времени безотказной работы эле­мента имеет показательное распределение, интегральная функция которого F(t)=1-e^-?t Следовательно, в силу соотношения R(t)=P(T>t)=1-F(t) предыдущего пара­графа, функция надежности, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента, имеет вид П оказательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством (*) где ?, — интенсивность отказов. Как следует из определения функции надежности (§ 4), эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени, длительностью t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

30. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке  объема , называется случайная функция , при каждом  равная

Иначе говоря, при любом  значение , равное истинной вероятности случайной величине  быть меньше , оценивается долей элементов выборки, меньших .

Если элементы выборки , ,  упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:

Здесь

Элемент , , называется -м членом вариационного ряда или -й порядковой статистикой.

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки, величина скачка в точке  равна , где  — количество элементов выборки, совпадающих с .

Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:

Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных). Эмпирическим, или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма.

Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины  (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть , ,  — интервалы на прямой, называемые интервалами группировки. Обозначим для  через  число элементов выборки, попавших в интервал :(1)

На каждом из интервалов  строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть  — длина интервала . Высота  прямоугольника над  равна

Полученная фигура называется гистограммой.