![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математика
- •I часть
- •Программа курса высшей математики
- •Векторная алгебра Векторы
- •Скалярное произведение двух векторов
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Аналитическая геометрия Прямая на плоскости
- •Прямая в пространстве
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Введение в анализ
- •Дифференциальное исчисление Производная
- •Производные высших порядков
- •Исследование функции и построение графика
- •Функции нескольких переменных
- •Частные производные
- •Частные производные высших порядков
- •Производная по направлению. Градиент
- •Задание для контрольной работы
- •I часть
- •350072, Краснодар, ул. Московская, 2-а
Прямая в пространстве
к
аноническое
уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точкуA1(x1,
y1,
z1),
параллельно вектору
.
--
направляющий вектор.
Замечание. Если обращается в ноль одна из координат направляющего вектора, например m , то уравнение прямой принимает вид:
-
это прямая, лежащая в плоскости x=x1.
Если равны нулю две координаты направляющего вектора, например m=n=0, то уравнение прямой примет вид:
-
эта прямая есть пересечение двух
плоскостей x=x1
и
y=y1,
то есть
параллельна оси OZ.
- уравнение прямой,
проходящей через две точки
.
Пример (см. задание 1.6)
Составим уравнение прямых А1, А2 и А1А3.
А1(2, 0, 3), А2(-1, 0, 8), А3(0, 2, 4).
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
;
;
--
уравнение прямой A1A2.
Эта
прямая лежит в плоскости
(т.е. в плоскостиOXZ)
и ее уравнение можно записать так:
.
Плоскость в пространстве
- уравнение
плоскости, проходящей через точку
,
перпендикулярно вектору
-
нормали к плоскости.
--
уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки
.
Если две плоскости заданы общими уравнениями:
то
по уравнениям двух плоскостей можно
определить их нормали
.
На основании теоремы об углах, образованных взаимно перпендикулярными сторонами, один из углов между плоскостями можно определить как угол между нормалями по формуле:
.
Пример (см.задание 1.7)
Составить уравнение плоскости А1А2А3, если А1(2, 0, ,3), А2(-1, 0, 8), А3(0,2,4).
Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:
,
,
.
Раскроем определитель:
(x-2)∙0+y∙5∙(-2)+(z-3)∙(-3)∙2-(z-3)∙0-(x-2)∙2∙5-y∙(-3)∙1=0;
-10(x-2)-7y-6(z-3)=0;
-10x-7y-6z+38=0 –
уравнение плоскости А1А2А3.
Прямая и плоскость в пространстве
1.
Острый угол между прямой
и
плоскостью
,
определяется по формуле:
.
2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:
Am+Bn+Cp=0.
3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:
.
Пример1 (см. задание 1.3)
Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3, если А1(2, 0, ,3), А2(-1,0,8), А3(0, 2, 4) А4(0, 5, 6).
Решение.
1. Составим уравнение плоскости А1А2А3, как плоскости, проходящей через три точки (мы сделали это в предыдущем примере). Уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид:
10x+7y+6z-38=0.
-
нормаль к плоскости,
.
2.
.
.
.
Пример 2(см. задание 1.8)
Составить уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
1.
Составим уравнение граниА1А2А3
(мы составляли его ранее – см. предыдущий
пример).
1
0x+7y+6z-38=0.
-
нормаль к плоскости.
2.
Составим уравнение высоты, опущенной
изА4.
Прямая
плоскостиА1А2А3,
следовательно,
нормаль к плоскости есть ее направляющий
вектор
.
Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:
,
А4(0,
5, 6).
--
уравнение высоты.
Введение в анализ
Пределы
1.
Функция называется бесконечно малой
при х→а
, если
.
2. Функция называется бесконечно большой при х→а, если она по модулю больше любого наперед заданного положительного числа.
Символическая запись:
.
3.
Если f(x)
– бесконечно большая функция при х→а,
то
-- бесконечно малая функция прих→а.
4.
Если f(x)≠0
– бесконечно
малая функция при х→а,
то
-- бесконечно большая функция прих→а.
Примеры
1)
,
2)
,
3)
.
Неопределенность
Чтобы раскрыть неопределенность такого вида, надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени.
Пример (см.задание IV.а)
.
Для контроля следует помнить:
если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел равен отношению старших коэффициентов (коэффициент при высших степенях);
если степень числителя выше степени знаменателя, то предел равен бесконечности;
если степень числителя ниже степени знаменателя, то предел равен нулю.
Неопределенность
1)
,
где P(x), Q(x) – многочлены.
В этом случае надо числитель и знаменатель разделить на (х-а) один или несколько раз.
Пример (см. задание IV. b)
тогда 2x2-11x+5=2(x-x1)(x-x2)=2(x-5)(x-1/2).
тогда x2-7x+10=(x-5)(x-2);
2)
если
и есть иррациональность, то числитель
и знаменатель надо домножить на
сопряженную величину.
Пример
3) первый замечательный предел:
позволяет
раскрывать неопределенность
.
Следствия:
Примеры (см. задание IV.c)
1.
.
2.
.
Неопределенность 1∞
Неопределенность такого вида раскрывается с помощью второго замечательного предела:
.
Пример
Непрерывность функции в точке
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х0, если выполнены условия:
функция определена в точке х=х0 и в некоторой окрестности содержащей эту точку;
функция имеет предел в этой точке, то есть
(существуют и равны между собой односторонние пределы);
предел функции равен значению функции в этой точке:
.
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х0 – точка разрыва функции.
Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, не выполнено третье условие, то х0 – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода.