Дополнительная литература

1. Игнатова А.В. и др. Курс высшей математики. М.: Высш.шк., 1994 г.

2. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков, 1995 г.

Справочная литература (задачники)

1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.:Наука, 2002 г.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 2002 г.

Линейная алгебра Определители. Системы

Выражение вида называется определителем второго порядка и обозначается:

.

Рассмотрим систему:

,

где

-- главный определитель,

, -- вспомогательные определители. Они получаются заменой в главном определителе колонки коэффициентов при х (₁) и при y (₂) колонкой свободных членов.

Решение системы по правилу Крамера имеет вид:

.

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по правилу Саррюса:

.

Произведение этих элементов Произведение этих элементов

берем со своими знаками берем с противоположными знаками

Для систем трех уравнений с тремя неизвестными

правило Крамера имеет вид:

,

где

Пример (см.задание III)

Найти решение системы с помощью правила Крамера.

Решение.

.

Ответ: (2, 3, 4).

Векторная алгебра Векторы

Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец).

Обозначают: или .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными: .

Если , то

1. - длина вектора;

2. ;

3. , k- число;

4. .

Если заданы две точки A(x₁, y₁, z₁) , B(x₂, y₂, z₂), то

1. 

2. если , тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находится по формулам:

В частности, если С – середина отрезка, то

.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается:

. (1)

Если заданы координаты векторов , то

, -

координатная форма скалярного произведения.

Из (1) следует:

.

Пример (см. задание 1.1, 1.2 )

Даны точки А₁(1, -1, 2), А₂(2, 1, 3), А₃(-2, 4, 2).

Найти: 1) длины векторов ,

2) угол между ребрами .

Решение.

Найдем координаты векторов:

=(2-1, 1-(-1), 3-2)=(1, 2, 1),

=(-2, 4-(-1), 2-2)=(-3, 5, 0).

Тогда длины векторов:

,

,

.

Тогда .

Замечание.

Если получите cos =-a, где 0<a1 (a-const), то  = -arccos a.

Векторное произведение

Векторным произведением векторов и называется вектор , обладающий следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Из определения следует:

1. ;

2. - площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

3. - площадь треугольника, построенного на векторах и .

Если заданы координаты векторов , то

или ,

где - единичные векторы на осях ОХ, ОY, OZ.

Пример (см.задание 1.4)

Найти площадь грани А₁А₂А₃, если А₁(-1,2,0), А₂(-2,0,4), А₃ (-3,3,0).

Решение.

.

Тогда .

.

Площадь грани равна: .

Ответ: .