Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет»

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

Обработка результатов эксперимента с использованием теории планирования эксперимента

Р у к о в о д с т в о

к лабораторной работе № 6

по курсу «Математическое моделирование в электроэнергетике»

для студентов всех форм обучения направления

140400.62 – «Электроэнергетика и электротехника»

Краснодар 2013

Составитель: канд. техн. наук, доц. Е.А. Беседин

УДК 621.316.001

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА: Руководство к лабораторной работе № 6 по курсу «Математическое моделирование в электроэнергетике» для студентов всех форм обучения направления 140400.62 – «Электроэнергетика и электротехника» / Кубан. гос. технол. ун-т; Сост. Е.А. Беседин. Краснодар, 2013. – 28 с.

Рассматриваются основные положения теории планирования эксперимента. Подробно рассмотрены полный и дробный факторные эксперименты. Даны варианты заданий к лабораторной работе.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета.

Рецензенты: канд. техн. наук, доц. А.М. Смаглиев

(кафедра ЭПП КубГТУ),

д-р техн. наук, проф. А.Н. Плахотнюк

(кафедра электротехники, КубГТУ)

1 Общие сведения

1.1. Основные положения

Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос, насколько эффективно он используется. Джон Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного действия может быть оценен величиной порядка 2%. Для того чтобы повысить эффективность исследований, требуется нечто совершенно новое. Одним из возможных путей является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом необходимо следующее:

1) стремление к минимизации общего числа опытов;

2) одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;

3) использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

4) выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Существует два типа эксперимента – экстремальный и интерполяционный. Рассмотрим две задачи.

1. Затраты на сооружение и эксплуатацию системы внутризаводского электроснабжения зависят от выбранной марки кабелей, способа их прокладки по территории предприятия, числа и мощности цеховых трансформаторных подстанций. Необходимо установить связь между затратами и вышеперечисленными факторами.

2. Число отказов электрооборудования распредустройства зависит от его конструкционных особенностей, частоты планово-предупредительных ремонтов этого оборудования, воздействия неблагоприятных погодных условий. Необходимо так подобрать значения этих факторов, чтобы число отказов было минимальным.

В задаче 1 требуется установить связь между затратами на сооружение и эксплуатацию системы электроснабжения и тремя факторами. Здесь не определено, какие затраты являются оптимальными, и не требуется их оптимизировать. В задаче 2 необходимо повысить надежность электрооборудования, снизив число отказов. Сама постановка задачи указывает на то, что существующая надежность не удовлетворяет экспериментатора и требуется поиск таких условий, при которых ее значения повысятся. Задачи типа 1 называются интерполяционными, а типа 2 – экстремальными.

Определим еще ряд важных понятий, первое из которых – «объект исследования». Для описания объекта исследования удобно пользоваться представлением о кибернетической системе, которая схематически изображена на рисунке 1.1. Иногда такую кибернетическую систему называют «черным ящиком». Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Обозначаем их буквой и назовемпараметрами оптимизации.

Рисунок 1.1 – Схема «Черного ящика»

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия обозначим буквой и назовемфакторами. Их называют также входами «черного ящика». Реакция объекта на воздействия называетсяоткликом.

При решении задачи используются математические модели объекта исследования. Под математической моделью понимают уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так:

, (1.1)

где - функция от входных параметров, ее еще называютфункцией отклика.

При планировании эксперимента не безразлично, какими свойствами обладает объект исследования. Укажем два основных требования, с которыми приходится считаться. Прежде всего, существенно, воспроизводятсяли на объекте результаты эксперимента. Выберем некоторые уровни для всех факторов и в этих условиях проведем эксперимент. Затем повторим его несколько раз через неравные промежутки времени и сравним значения параметра оптимизации. Разброс этих значений характеризуетвоспроизводимостьрезультатов. Если он не превышает некоторой заранее заданной величины, то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов, а если превышает, то не удовлетворяет. Мы будем рассматривать только такие объекты, для которых требование воспроизводимости выполняется.

Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. Это и есть второе требование к объекту исследования.

На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если требования воспроизводимости не выполняются, приходится обращаться к активно-пассивному эксперименту. Возможно, что плохая воспроизводимость объясняется действием фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во времени. Тогда нужно обращаться к специальным методам планирования. Наконец, возможно, что все факторы неуправляемы. В этом случае возникает задача установления связи между параметром оптимизации и факторами по результатам наблюдений за поведением объекта, или, как говорят, по результатам пассивного эксперимента.

Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования. Каждый фактор имеет область определения. Будем считать фактор заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор.

Факторы разделяются на количественныеикачественные. Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда, т.е. производит кодирование. Порядок уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется. Пример – оценочная шкала выступления спортсменов.

Приведем основные требования, предъявляемые к факторам. При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдвигается требование совместимости. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны.

При планировании эксперимента важна независимостьфакторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.

Параметр оптимизации или отклик – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Мы должны уметь его измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называется областью его определения. Области определения могут быть непрерывными или дискретными.

Уметь измерять параметр оптимизации – это значит располагать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком дорог. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится воспользоваться приемом, называемым ранжированием. Это создание оценочной шкалы по аналогии со шкалой для качественных факторов. Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить ранговый аналог. Однако при прочих равных условиях всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый подход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.

Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации – однозначностьв статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. При этом обратное утверждение будет неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов.

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффективностьфункционирования системы в заранее выбранном смысле. Это требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Представление об эффективности не остается постоянным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в зависимости от достигнутых результатов. Это приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так, например, на первых стадиях исследования технологических процессов в качестве параметра оптимизации часто используется выход продукции. Однако в дальнейшем, когда возможность повышения выхода исчерпана, начинают интересовать такие параметры, как себестоимость, надежность продукции и т. д.

Следующее требование к параметру оптимизации – требование универсальностиилиполноты. Под универсальностью параметра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект.

Наконец, желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, былпростымилегко вычисляемым.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний данного «ящика» - матрицу состояний. Одновременно это будет число возможных различных опытов.

Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести в степень числа факторов :, где- число уровней. Следовательно, достаточно простая система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона!

В этих условиях мы просто вынуждены отказаться от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос: сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу? Здесь-то и приходит на помощь планирование эксперимента.

1.2. Полный факторный эксперимент

При выборе области эксперимента, прежде всего надо оценить границы областей определения отдельных факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – активное сопротивление проводника, то оно не должно быть отрицательным. Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем ведения технологического процесса и т.п. Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса, Например, температура медных контактов без покрытия у электрических аппаратов не должна превышать 75 ⁰С, во избежание их окисления и обгорания.

Далее необходимо для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Пусть выбран некоторый основной уровень. Относительно этого уровня выбирается верхний и нижний уровни, которые симметрично расположены относительно основного уровня. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования

; (1.2)

; (1.3)

, (1.4)

где - кодированное текущее значение фактора;

- максимальное и минимальное значения фактора соответственно в натуральном выражении;

- интервал варьирования фактора в натуральном выражении;

- натуральное текущее значение фактора.

- натуральное значение основного уровня фактора.

Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной уровень и интервалы варьирования выбраны следующим образом (таблица 1.1)

Таблица 1.1 – Натуральные значения выбранных факторов

Факторы
Основной уровень	3	30	1,5	15
Интервал варьирования	2	10	1	10

Преобразуем некоторые значения факторов в натуральном выражении в кодированные значения (таблица 1.2), используя формулу (1.2)

Таблица 1.2 – Кодированные значения факторов

Факторы
Значения фактора	2	-0,5	25	-0,5	2	+0,5	25	+1

Выбор интервалов варьирования – задача трудная, эта информация является ориентировочной. В некоторых случаях она может оказаться просто ошибочной, но это единственная разумная основа, на которой можно начинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений вводится приближенная классификация, полагая, что есть низкая, средняя и высокая точности. Считается, что если интервал варьирования составляет менее 10 %, то это высокая точность; если интервал составляет от 10 до 30 % - средняя точность; и если свыше 30 % - низкая точность. Первый уровень точности используется при сильно нелинейной поверхности отклика . Второй уровень точности применяется при относительно плоской поверхности области отклика. И третий уровень точности используется для оценочных экспериментов – чтобы просто понять, с чем мы имеем дело.

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Число возможных опытов , где- число опытов,- число факторов, 2 - число уровней.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем полный факторный эксперимент типа. Матрица планирования для двух факторов приведена в таблице 1.3

Таблица 1.3 – Матрица планирования эксперимента типа

Номер опыта				Номер опыта
1	-1	-1		3	-1	+1
2	+1	-1		4	+1	+1

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой. Таким образом, в таблице 1.3 мы имеем два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизаций.

Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита: ,, ... и т.д. Если теперь для строки матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать (1). Матрица планирования вместе с принятыми буквенными обозначениями приведена в таблице 1.4.

Таблица 1.4 – Новая матрица планирования эксперимента типа

Номер опыта			Буквенное обозначение строк
1	-1	-1	(1)

Продолжение таблицы 1.4

Номер опыта			Буквенное обозначение строк
2	+1	-1	a
3	-1	+1	b
4	+1	+1	ab

Теперь вместо полной записи матрицы планирования можно пользоваться только буквенными обозначениями, Ниже в таблице 1.5 приведена буквенная запись плана .

Таблица 1.5 – Новая матрица планирования эксперимента типа

Номер опыта				Буквенное обозначение строк
1	-1	-1	+1	c
2	+1	-1	+1	aс
3	-1	+1	+1	bс
4	+1	+1	+1	abc
5	-1	-1	-1	(1)
6	+1	-1	-1	a
7	-1	+1	-1	b
8	+1	+1	-1	ab

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти прямым перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц. Из многих возможных обычно используется три приема, основанных на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности. Рассмотрим первый. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Это наглядно отражено в таблице 1.5.

Рассмотрим второй прием. При построчном перемножении двух столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками дает +1, а с разноименными -1. Воспользовавшись этим правилом, получим для случая, который мы рассматриваем, вектор-столбец произведения в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обратные. Этот прием тоже можно перенести на построение матриц любой размерности, однако он сложнее, чем первый.

Третий прием основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два, в третьем — через 4, в четвертом – через 8 и т.д. по степеням двойки. Это иллюстрирует таблица 1.5.

1.3. Уравнение регрессии

Для движения к точке оптимума нам нужна линейная модель вида

. (1.5)

Наша цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. Их можно вычислить по простой формуле

. (1.6)

Воспользуемся формулой (1.6) для вычисления коэффициентов и

; (1.7)

(1.8)

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру. Для подсчета коэффициента используется вектор-столбец, а для- столбец. Аесть среднее арифметическое значение параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить всеи разделить на число опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой (1.5), в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной, которая принимает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, гдепринимало значения от 0 до.

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого уровня на верхний или нижний.

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью.

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представлена в таблице 1.6. Очень важно, что при добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются.

Таблица 1.6 – Матрица планирования эксперимента с эффектом взаимодействия

Номер опыта
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	+1

Теперь модель выглядит следующим образом:

. (1.9)

Коэффициент вычисляется обычным путем

. (1.10)

Столбцы изадают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцыислужат только для расчета.

В общем случае уравнение регрессии для многофакторного анализа имеет следующий вид:

. (1.11)

Первый блок выражения (1.11), содержащий слагаемые с коэффициентами является линейной частью уравнения регрессии. Остальные слагаемые определяют взаимодействие факторов.

Следует отметить, что при оптимизации мы стремимся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими. А в задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно и интересно.

Пусть для вышерассмотренного примера получены следующие значения откликов

.

С использованием формул (1.6) и (1.10) определим коэффициенты уравнения регрессии

.

и уравнение регрессии для данного примера будет иметь вид

Если в уравнение подставить значения верхнего и нижнего уровней факторов, то получим одно из значений вектора отклика. При и, например, получим. Если же необходимо получить промежуточные значения, то возможны два варианта:

1. Необходимо закодировать промежуточные значения и подставить их в уравнение регрессии. Пусть и. Подставив эти значения в уравнение регрессии получим.

2. В уравнение регрессии произвести замену кодированных факторов на реальные. В полученное новое уравнение регрессии подставить промежуточные значения.

1.4. Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный, эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Поэтому целесообразно было бы сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств. Сделать это не так просто, но все же возможно.

Пусть мы имеем двухфакторый эксперимент, который описывается таблицей 1.6 и уравнением 1.9. Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента - ,и. Остается неиспользованным последний вектор-столбец. При линейном приближении, когда, вектор-столбецможно использовать для нового фактора. При этом коэффициенты линейного уравнения регрессии будут определяться с помощью выражений:

(1.12)

В результате таких действий мы для трехфакторного эксперимента вместо восьми опытов можем провести только четыре, т.е. в два раза меньше. При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств. Найденное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца (таблица 1.7).

Таблица 1.7 – Матрица дробного факторного эксперимента

Номер опыта
1	+1	-1	-1	+1
2	+1	+1	-1	-1
3	+1	-1	+1	-1

Продолжение таблицы 1.7

Номер опыта
4	+1	+1	+1	+1

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента , или «полурепликой». Если бы мыприравняли к, то получили бы вторую половину матрицы. В этом случае:

(1.13)

Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент . Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента, а для пятифакторного планирования – четверть-репликой от.

Рассмотрим наиболее простейший случай для полного факторного эксперимента . Для него есть только две полуреплики, как это показано выше (таблица 1.8.)

Таблица 1.8 – Две полуреплики дробного факторного эксперимента

Номер опыта
Первая полуреплика ()
1	+1	-1	-1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	+1
4	+1	+1	+1	+1	+1
Вторая полуреплика ()
1	+1	-1	-1	-1	-1

Продолжение таблицы 1.8

Номер опыта
2	+1	+1	-1	+1	-1
3	+1	-1	+1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1	-1

Для произведения трех столбцов первой половины матрицы выполняется соотношение: , а для второй половины матрицы –. Все знаки столбца произведенийодинаковы, и в первом случае равны плюс единице, а во втором – минус единице.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или -1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Для того чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, если, то дляимеем

, (1.14)

поскольку всегда справедливо соотношение

. (1.15)

Аналогично получим:

, (1.16)

, (1.17)

И тогда коэффициенты линейного уравнения регрессии дробного факторного эксперимента определяются с помощью выражений (1.12), рассмотренных выше.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Пусть при проведении трехфакторного дробного эксперимента были получены следующие значения откликов

.

Определим коэффициенты линейного уравнения регрессии, используя выражение (1.12) и таблицу (1.8)

;

;

;

;

;

;

.

Следовательно

;

;

,

и уравнение регрессии будет иметь вид

.

Мы рассмотрели самый простой случай: матрицу из четырех опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов превращается в довольно сложную задачу.

Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий.

1.5. Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов эксперимента заключается не только в расчетах коэффициентов уравнения регрессии, но и в проверке адекватности полученного уравнения регрессии к данному объекту, а также в определении значимости коэффициентов в уравнении регрессии.

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (или параллельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, потому что всегда существует ошибка опыта (ошибка воспроизводимости). Эту ошибку и нужно оценить по параллельным опытам. Для этого опыт воспроизводится по возможности в одинаковых условиях несколько раз и затем берется среднее арифметическое всех результатов. Среднее арифметическое равно сумме всехотдельных результатов, деленной на количество параллельных опытов

. (1.18)

Отклонение результата любого опыта от среднего арифметического можно представить как разность , где- результат отдельного опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений повторных опытов. Для измерения этой изменчивости чаще всего используют дисперсию. Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначаетсяи выражается формулой

(1.19)

где () – число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица. Одна степень свободы использована для вычисления среднего значения параметра.

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется средним квадратическим отклонением, стандартным отклонением или квадратичной ошибкой

(1.20)

Стандартное отклонение имеет размерность той величины, для которой оно вычислено. Дисперсия и стандартное отклонение – это меры рассеяния, изменчивости. Чем больше дисперсия и стандартное отклонение, тем больше рассеяны значения параллельных опытов около среднего значения.

Формулы (1.18) – (1.20) можно использовать для обработки результатов, если они имеют нормальное распределение. Наличие резко отклоняющихся результатов (так называемых грубых наблюдений) свидетельствует о нарушении закона нормального распределения. При наличии грубых наблюдений нужно сначала их исключить, а затем подсчитывать среднее арифметическое и дисперсию. Для выявления и исключения грубых наблюдений применяются определенные правила и критерии.

Надо всегда следить, чтобы не нарушались необходимые условия выполнения той или иной операции. Иначе есть риск принять абсурд за истину.

Ошибка опыта является суммарной величиной, результатом многих ошибок: ошибок измерений факторов, ошибок измерений параметра оптимизации и др. Каждую из этих ошибок можно, в свою очередь, разделить на составляющие ошибок измерений.

Все ошибки принято разделять на два класса: систематические и случайные. Систематические ошибки порождаются причинами, действующими регулярно, в определенном направлении. Чаще всего эти ошибки можно изучить и определить количественно. Систематические ошибки находят, калибруя измерительные приборы и сопоставляя опытные данные с изменяющимися внешними условиями. Если систематические ошибки вызываются внешними условиями, следует компенсировать их влияние. Например, систематической ошибкой является погрешность измерения напряжения вольтметром из-за наличия не бесконечного, а конечного внутреннего сопротивления прибора. Влияние внешней среды – изменение сопротивления проводника из-за изменения температуры внешней среды.

Случайными ошибками называются те, которые появляются нерегулярно, причины возникновения которых неизвестны и которые невозможно учесть заранее.

Формулы (1.19) – (1.20) используются для определения дисперсии и стандартного отклонения для каждого отдельного опыта. Матрица планирования состоит из серии опытов, и дисперсия всего эксперимента получается в результате усреднения дисперсий всех опытов. По терминологии, принятой в планировании эксперимента, речь идет о подсчете дисперсии параметра оптимизации которую также называют дисперсией воспроизводимости эксперимента.

При подсчете дисперсии параметра оптимизации квадрат разности между значением в каждом опыте и средним значениемизповторных наблюдений нужно просуммировать по числу опытов в матрице, а затем разделить на.

(1.21)

Такой формулой можно пользоваться в случаях, когда число повторных опытов одинаково во всей матрице. Также ею можно пользоваться только в том случае, если дисперсии однородны. Это означает, что среди всех суммируемых дисперсий нет таких, которые бы значительно превышали все остальные.

Если сравниваемое количество дисперсий больше двух и одна дисперсия значительно превышает остальные, можно воспользоваться критерием Кохрена. Этот критерий пригоден для случаев, когда во всех точках имеется одинаковое число повторных опытов. При этом подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы по формуле (1.19), а затем из них находится наибольшая , которая делится на сумму всех дисперсий. Это и есть расчетный критерий Кохрена

. (1.22)

По справочным данным находится табличное значение этого критерия , который является функцией от двух степеней свободыи. Гипотеза об однородности дисперсий подтверждается, если расчетное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения. Тогда можно усреднять дисперсии и пользоваться формулой (1.21).

На практике часто приходится сталкиваться со случаями, когда число повторных опытов различно. Это происходит вследствие отброса грубых наблюдений, неуверенности экспериментатора в правильности некоторых результатов. В таких случаях возникает желание еще и еще раз повторить опыт. Тогда при усреднении дисперсий вместо формулы (1.19) приходится пользоваться средним взвешенным значением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы

(1.23)

Если гипотеза об однородности дисперсии воспроизводимости подтверждается, то вычисляются коэффициенты уравнения регрессии по методике, рассмотренной выше. И первый вопрос, который интересует после вычисления коэффициентов модели – это проверка пригодности этой модели. Будем называть такую проверку проверкой адекватности модели. Для этого необходимо вычислить расчетные значения отклика и сопоставить их с экспериментальными значениями. Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией, или дисперсией адекватности . Она вычисляется по формуле

, (1.24)

где - разброс в-той точке относительно линии регрессии;

- число степеней свободы.

Число степеней свободы равно числу проведенных опытов минус число коэффициентов уравнения регрессии. Число коэффициентов уравнения регрессии больше на единицу числа факторов

. (1.25)

Например, если мы проводим полный трехфакторный эксперимент , то количество опытови число степеней свободы равно

.

Для проверки гипотезы об адекватности можно использовать критерий Фишера или F-критерий. Для этого находим соотношение

. (1.26)

Найденное расчетное значение сравнивается с табличным значением, которые приводятся в справочной литературе. Таблица построена следующим образом. Столбцы связаны с определенным числом степеней свободы для числителя , а строки – для знаменателя. На пересечении соответствующих строки и столбца стоят критические значенияF-критерия. Как правило, в технических задачах используется уровень значимости 0,05. Если рассчитанное значениеF-критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью (не менее 95 %) модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту модель приходится отвергать.

Если модель адекватна, то можно перейти к крутому восхождению для нахождения оптимума. Если нет – приходится преодолевать дополнительные трудности. Но во всех случаях целесообразно проверять еще значимость отдельных коэффициентов регрессии.

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится для каждого коэффициента уравнения. Для этого целесообразно использовать t-критерий Стьюдента. Для этого найдем среднее квадратическое отклонение для дисперсии воспроизводимости

. (1.27)

Затем определяется t-критерий Стьюдента по формуле

. (1.28)

Далее определяется число степеней свободы и для его полученного значения по справочной таблице находится табличное значение. Данное значение имеет уровень значимости 0,05. Если расчетное значение критерия Стьюдента больше, чем табличное, то данный коэффициент значим, в противном случае коэффициент не является значимым. Полученные выводы о значимости коэффициентов уравнения регрессии должны совпадать с выводами об адекватности модели.