ТЕМА 7

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

7.1. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия 7.2. Классический метод расчета переходных процессов 7.2.1. Подключение катушки индуктивности к источнику постоянного напряжения 7.2.2. Отключение катушки индуктивности от источника постоянного напряжения 7.2.3. Включение катушки индуктивности к источнику синусоидальной э.д.с. 7.2.4. Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения 7.2.5. Разряд конденсатора на резистор 7.2.6. Подключение конденсатора к источнику синусоидального напряжения 7.2.7. Разряд конденсатора на RL-цепь 7.2.8. Подключение RLC-цепи к источнику постоянного напряжения 7.2.9. Расчет переходных процессов в сложной цепи 7.3. Метод переменных состояний 7.4. Расчет цепи при воздействии э.д.с. произвольной формы. Интеграл Дюамеля 7.5. Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях 7.5.1. Основные понятия 7.5.2. Интегрально-дифференциальное уравнение RLC-цепи 7.5.3. Основные методы расчета 7.5.4. Законы коммутации 7.5.5. Принужденная и свободная составляющие 7.5.6. Начальные условия 7.5.7. Подключение RL-цепи к источнику постоянной ЭДС 7.5.8. Классический метод. Алгоритм 7.5.9. Постоянная времени 7.6. Операторный метод 7.6.1.Основные понятия 7.6.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. 7.6.3.Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом 7.6.4. Нахождение оригинала по изображению

7.1. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия

Переходный процесс– процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

Установившийся режим– режим, устанавливающийся в электрической цепи в результате длительного воздействия на эту цепь постоянных или периодических э.д.с.

Переходный процесс возникает в электрической цепи в результате коммутаций.

Коммутации– действия, вызывающие переходный процесс в электрической цепи отключение или включение источников, отдельных ветвей, изменение параметров цепи, изменение фазы, частоты, амплитуды напряжения и тока и др.

Задача анализа переходных процессовзаключается в определении характера измененияu(t) и i(t) на элементах электрической цепи во время переходного процесса и длительности протекания этого переходного процесса.

Анализ переходных процессов основывается на описание состояния электрической цепи с помощью законов Кирхгофа для мгновенных значений. В результате получаем систему интегро-дифференциальных уравнений. Задача анализа переходных процессов сводится к отысканию решения (интеграла, интегрированию) исходной системы уравнений.

Пример:

;

;

;

.

В зависимости от используемого метода интегрирования различают:

1) классический метод анализа переходных процессов;

2) операторный метод анализа переходных процессов;

3) частотный метод анализа переходных процессов;

4) метод с использованием интеграла Дюамеля;

5) метод переменных состояния.

Законы (правила) коммутации

Будем полагать, что процесс коммутации происходит мгновенно (хотя реально – это микросекунды для тиристоров, транзисторов).

Условно обозначать через t=0 – момент коммутации

t= 0_–– момент времени непосредственно до коммутации;

t= 0₊– момент времени непосредственно после коммутации.

В реальных электрических цепях не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии.

Действительно, в реальных электрических цепях мгновенная мощность p всегда конечна (т.к. uиiконечны). Следовательно, прирост энергии за время коммутацииравен 0:

, при, т.е.

.

Таким образом:

1-е правило коммутации.Ток в ветви с катушкой индуктивности не может изменяться скачком:

.

2-е правило коммутации.Напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком:

.

Или:

В момент коммутации напряжения на конденсаторах и токи в катушках индуктивности остаются неизменными.

Пример:

7.2. Классический метод расчета переходных процессов

Согласно классическому методу:

полное решение (интеграл) линейного неоднородного диф. уравнения равно сумме частного решения исходного диф. уравнения и общего решения этого уравнения при равенстве нулю правой части (однородного диф. уравнения):

.

Частное решение (одно из решений, удовлетворяющее исходному неоднородному диф. уравнению) определяют путем расчета установившегося режима в послекоммутационной схеме. Эта составляющая переходного тока (напряжения) называется принужденной:

.

Общее решение диф. уравнения без правой части (без источников э.д.с., тока) определяет свободную составляющую переходного тока (напряжения).

Из курса математики известно, что решение однородного линейного диф. уравнения вида

представляет собой сумму экспонент

,

где p_k– показатели затухания, определяемые как корни характеристического уравнения, полученного из исходного путем замены

; ; ... ; ;

и получения линейного алгебраического уравнения n-ого порядка

;

A_k– постоянные интегрирования, определяемые по значениям искомой функции и ее производных в момент коммутации (начальные условия).

Начальные условия определяем с помощью законов коммутации.

Действительно: .

При :

;.

Тогда составляем систему из nалгебраических уравнений и находимA_k:

.