1 Основные положения раздела "статика"

При проектировании и расчете зданий, сооружений, машин и механизмов возникает необходимость определе­ния усилий, действующих на все тело и на его части. Знание этих усилий требуется для обеспечения надле­жащей прочности объекта.

В практике инженерных расчетов реальные объекты заменяются схемами (моделями).

В ряде задач при моделировании реальных объектов можно не учитывать механические свойства материала, из которого они сделаны, а считать тела абсолютно твердыми. В механике абсолютно твердое тело - тело, расстояние между любыми точками которого неизменно.

Примеры схематизации реальных объектов представлены на рисунках.

В статике изучаются вопросы взаимодействия мате­риальных тел на основе понятий абсолютно твердого тела и силы и рассматриваются две основные задачи: преобразования систем сил и нахождения условий рав­новесия тел.

Методы и выводы статики широко применяются в различных инженерных дисциплинах (строительная ме­ханика, сопротивление материалов, теория машин и механизмов и др.). В курсе теоретической механики они будут использованы в разделе «динамика».

1.1 Силы и системы сил

Количественной мерой взаимодействия тел является сила. Математический образ силы - вектор.

Х арактеристики силы:

1. Величина (модуль)

2. Точка приложения

3. Направление действия Линия действия силы

1.2 Основные определения

- совокупность сил , действующих на тело, называют системой сил.

- если две системы сил оказывают на тело одинаковое действие, то они называются эквивалентными:

• силу , эквивалентную данной системе сил, называют равнодействующей: .

• уравновешенная система сил: .

Распределенная нагрузка

Силы могут быть распределены по объему тела. По его поверхности или по некоторой линии. Для абсолютно твердого тела действие распределенной нагрузки за­меняют равнодействующей:

;

      - интенсивность нагрузки (сила на единицу длины), ..

1. 3 Основные сведения о векторах

Вектор - ориентированный в пространстве отрезок прямой. Изображается в виде стрелки. Векторы могут быть связанные, скользящие и сво­бодные. Связанный вектор имеет фиксированную точку при­ложения.

Скользящий - можно переносить вдоль линии его действия.

Свободный - можно перемещать параллельно самому себе в любую точку пространства. Векторы, приложенные в одной точке, и свободные векторы можно складывать и вычитать по правилу параллелограмма.

Умножение вектора на скаляр приводит к изменению его длины:

Три взаимно ортогональных единичных вектора образуют ортонормированный базис. В этом базисе любой вектор можно представить в виде геомет­рической суммы .

Проекция вектора на ось - скалярная величина, рав­ная произведению его модуля на косинус утла между вектором и положительным направлением оси .

Проекцию вектора на ось удобно находить в виде скалярного произве­дения этого вектора на орт, определяющий положение оси .

Проекция вектора на плоскость - тоже вектор.

При нахождении проекции вектора на оси удобно вначале спроецировать вектор на плоскость, а затем полученный вектор спроецировать на оси координат (двойное проецирование):

В векторной алгебре широко ис­пользуется векторное произведение двух векторов .

В статике в виде векторного про­изведения представляют момент силы относительно точки - радиус-вектор точки при­ложения силы; h - плечо силы.

1.4 Аксиомы статики

В статике все теоремы и уравнения выводятся из нескольких положений, принимаемых без математиче­ских доказательств и называемых аксиомами. Ак­сиомы статики - результат обобщений многочислен­ных опытов и наблюдений над равновесием и движе­нием тел, подтвержденных практикой.

I. О равновесии тела под действием 2-х сил

Для того чтобы абсолютно твердое тело находилось в равновесии под действием двух сил, необходимо, чтобы эти силы были равны и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны при .

II. О добавлении уравновешенной системы сил

Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если добавить к ней или отнять от нее уравновешенную систему сил

если

Следствие из I и II аксиом

В абсолютно твердом теле точку приложения силы можно перенести вдоль линии ее действия

III. О равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке

Две силы, приложенные в одной точке, имеют равно­действующую, равную геометрической сумме этил сил

IV. О действии и противодействии

Два тела действуют друг на друга силами, равными по величине и противоположными по направлению.

V. О равновесии деформируемого тела

Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием заданной системы сил, не нарушится, если считать тело абсолютно твердым.

VI. Об освобождаемости от связей

Ограничения, накладываемые на перемещение тела в пространстве, называются связями.

Связи - поверхности, направляющие желоба, стержни, тросы, шарниры и т.д. Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их дейст­вие реакциями этих связей.

1.5 Момент силы относительно точки и оси

Для оценки вращательного эффекта действия силы на тело вводится понятие момента этой силы относи­тельно точки и оси.

Момент силы относительно точки - это вектор, равный

Вектор перпендикулярен плоскости, в кото­рой лежат векторы и , и направлен так, что с его конца кратчайшее совмещение с видно происхо­дящим против хода часовой стрелки. Модуль момента силы равен произведению силы на плечо. Плечо силы - кратчайшее расстояние от точки, относительно которой определяется момент, до линии действия силы

Момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки