- •Предисловие
- •1. Основные понятия и определения
- •1.1. Исходная информация
- •1.2. Математическая модель
- •1.3. Методы решения оптимизационных задач
- •1.4. Выполнение вычислений
- •1.5. Анализ решения оптимизационной задачи
- •2. Линейные оптимизационные задачи
- •2.1. Графическое решение задачи линейного программирования
- •2.2. Алгебраические преобразования систем линейных уравнений
- •2.3. Симплекс-метод
- •3. Транспортные задачи электроэнергетики
- •3.1. Постановка транспортной задачи
- •3.2. Получение допустимого решения
- •3.3. Распределительный метод
- •3.4. Метод потенциалов
- •3.5. Учет пропускной способности линий
- •3.6. Транспортная задача с транзитом мощности
- •4. Нелинейные оптимизационные задачи
- •4.1. Общие положения
- •4.2. Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования
- •4.3. Градиентные методы
- •4.4. Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •4.5. Задача оптимального распределения активной мощности в энергосистеме
- •4.6. Задачи оптимального распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения
- •5. Оптимизационные задачи с целочисленными и дискретными переменными
- •5.1. Задачи с целочисленными переменными
- •5.2. Двоичные переменные
- •5.3. Задачи с дискретными переменными
- •6. Оптимизационные задачи при случайной исходной информации
- •6.1. Основные понятия
- •6.3. Детерминированный эквивалент стохастической задачи
- •7. Оптимизационные задачи при недетерминированной исходной информации
- •8. Многокритериальные оптимизационные задачи
- •8.1. Определение коэффициентов веса каждого критерия
- •8.2. Оптимизация по обобщенной целевой функции
- •Приложения
- •Предметный указатель
Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения.
Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид:
М[Z] → extr; |
|
P(aj1x1+aj2x2+...+ajnxn < bj) > Рзад j, j =1, 2, … m; |
(6.9) |
di < хi < Di, i = 1, 2, ... n. |
|
6.3. Детерминированный эквивалент стохастической задачи
Стохастические задачи, математические модели которых представлены в виде (6.9), непосредственно решены быть не могут. Как правило, задачи со случайной исходной информацией сводят к их детерминированному эквиваленту. Для этого случайные величины заменяются их характеристиками (математическим ожиданием, стандартным отклонением) и считается, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.
Если случайными величинами являются коэффициенты zi целевой функции, эти коэффициенты заменяются их математическими ожиданиями. В результате такой замены получим детерминированный эквивалент целевой функции
М[Z] = M[z1]x1+M[z2]x2+…M[zn]xn → extr. |
(6.10) |
Для каждого j-го ограничения задается вероятность Рзад j, с которой должно выполняться это ограничение. По значению Рзад j находится значение стандартной случайной величины η. С учетом соотношения (6.5) осуществляется переход от стандартной случайной величины η к случайным величинам оптимизационной задачи аij и bj.
Если случайной величиной являются коэффициенты bj, то детерминированный эквивалент j-го ограничения будет иметь вид
aj1x1+aj2x2+...+ajn < M[bj] + ησ[bj], |
j=1,2,…m. |
(6.11) |
Если случайной величиной являются коэффициенты аij, то детерминированный эквивалент j-го ограничения будет иметь вид
М[aj1]x1+M[aj2]x2+...+M[ajn]xn+η(σ[aj1]x1+σ[aj2]x2+…+σ[ajn]xn) < bj,
j =1,2,…m. |
(6.12) |
87
Граничные условия остаются без изменения в виде
di < хi < Di, i = 1, 2, ... n.
Таким образом, математическая модель стохастической задачи сводится к детерминированному эквиваленту (6.10), (6.11) и (6.12).
Следует отметить, что в основной массе стохастических задач далеко не все коэффициенты zi, aji и bj (i=1,2,…n; j=1,2,…m) могут быть случайными величинами. Часто такими величинами могут быть один или несколько коэффициентов.
Пример 11. Составить математическую модель задачи распределения ресурсов (примеры 1 и 2) для случая, когда количество сырьевого ресурса на предприятии является случайной величиной. Известна поставка сырья за некоторый предыдущий период.
Решение. В примерах 1 и 2 была получена следующая детерминированная математическая модель задачи:
Z = 8x1+11x2+12x3 → max;
2х1+ 2х2 + 3х3 < 50, 6х1+ 5,5х2 +4х3 < 100, 4х1+ 6х2 + 8х3 < 150,
х1+ х2+ х3 > 15; xi > 0, i = 1, 2, 3.
В п. 5.1. к этой модели было добавлено условие целочисленности переменных:
xi – целое, i = 1, 2, 3.
В поставленной задаче коэффициент b3 (количество сырьевого ресурса) является случайной величиной.
Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл. 6.1.
|
|
|
|
|
5 |
Т а б л и ц а |
6.1 |
||
День |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
M[b3] |
|
σ[b3] |
|
Поставка |
180 |
150 |
125 |
120 |
170 |
155 |
150 |
|
23,9 |
сырья, е.с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вэтой же таблице приведены рассчитанные по выражениям (6.1)
и(6.2) значения математического ожидания M[b3] и стандартного
отклонения σ[b3] сырьевого ресурса. Отметим, что математическое
88
ожидание сырьевого ресурса равно его детерминированному значению (150 е.с.).
Поскольку в 3-м ограничении b3 является случайной величиной, перепишем это ограничение в соответствии с выражением (6.11):
a31 x1+a32 x2+a33x3 < M[b3] + ησ[b3]
или
4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 +η23,9.
Зададимся вероятностями выполнения 3-го ограничения Рзад 3 = 0,4; 0,5 и 0,6.
Тогда в соответствии с рис. 6.1 стандартная случайная величина будет соответственно равна η = - 0,25; 0 и 0,25. Рассматриваемое 3-е ограничение будет иметь вид
4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 - 0,25.23,9
или
4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150
или
4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 + 0,25.23,9.
Видно, что при вероятностных исходных данных в ограничении появляется дополнительный сырьевой ресурс. Величина и знак этого дополнительного ресурса зависят от Рзад 3 задаваемой вероятности выполнения ограничения.
Полученный детерминированный эквивалент рассматриваемой стохастической задачи имеет следующий вид:
целевая функция
Z = 8x1+11x2+12x3 → max;
ограничения
2х1+ 2х2 + 3х3 < 50, 6х1+ 5,5х2 +4х3 < 100,
4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 + η23,9;
х1+ х2+ х3 > 15;
условие целочисленности
xi – целое;
89