Физика.Лабораторная работа № 1

Министерство здравоохранения Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тверская государственная медицинская академия Министерства здравоохранения Российской Федерации»

кафедра медбиофизики и информатики

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ

Методические указания для лабораторной работы № 1

(для фармацевтического факультета)

Тверь 2007

Методические указания составлены кафедрой медбиофизики ТГМА и предназначены в помощь студентам фармацевтического факультета при подготовке и выполнении лабораторной работы.

Лабораторная работа №1

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Теоретически изучить явление вязкости жидкости (внутреннего трения) и методы определения коэффициента вязкости.

2. Экспериментально освоить метод Стокса.

3. Используя метод Стокса, определить вязкость глицерина, рассчитать величину погрешности величины вязкости.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью (глицерин), штангенциркуль, секундомер, шарики.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. М.: Высшая школа, 1996. (см. § 3.2 – 3.4).

2. Лекции по теории вероятности и математической статистики (II семестр).

3. Морозов Ю.В., Основы высшей математики и статистики. М.: Медицина, 1998. (см. п. 9.4).

4. Павлушков И.В. и др., Основы высшей математики и математической статистики. М.: Геотар-Мед., 2003. (см. п. 8.2.2, 8.2.3).

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Движение неидеальной жидкости сопровождается потерей её механической энергии (переходом части механической энергии в тепловую), вследствие чего падает давление внутри жидкости и уменьшается скорость течения. Основная причина перехода механической энергии в тепло – взаимодействие молекул, движущихся поступательно в одну сторону, но с разными скоростями, сопровождаемое передачей импульса – вязкость. Нужно различать скорость течения жидкости (скорость течения слоя жидкости) и скорость молекул (внутри слоя жидкости). В результате импульс передается стенкам сосуда, приводя к нагреву последних, и уменьшению поступательной скорости молекул. Явление вязкости количественно характеризуется величиной вязкости  ( - читается "эта"). Таким образом, вязкость есть одно из явлений переноса. В данном случае переноса импульса.

Явление вязкости можно смоделировать следующим образом. Мысленно разобьём жидкости на очень тонкие слои так, что бы поступательная скорость молекул внутри слоя (скорость слоя жидкости) была одинаковой. Тогда явление вязкости будет представлять собой трение между слоями жидкости, часто называемое внутренним трением. Сила трения между слоями жидкости описывается формулой Ньютона:

(1),

где F – сила трения между слоями жидкости (Н), S – площадь соприкосновения слоев (м²), - градиент скорости, т.е. быстрота изменения скорости в направлении, перпендикулярном направлению движения слоя (с^-1),  - коэффициент вязкости (Пас). Для многих жидкостей  зависит лишь от природы жидкости и температуры. Такие жидкости называются ньютоновскими, в отличие от неньютоновских, в которых вязкость также зависит от режима течения. Для последних вводят условный коэффициент вязкости.

Для характеристики вязкости на практике часто пользуются понятием относительной вязкости _отн:

(2),

где ₀ = 110 ^-3 (Пас) – вязкость воды при 20⁰ С.

Строго говоря, вести речь о слоях жидкости можно лишь тогда, когда жидкость движется не перемешиваясь (нет перемешивания слоёв). Такое движение называется ламинарным в отличие от турбулентного, при котором образуются завихрения и происходит перемешивание жидкости. Вид течения жидкости для прямой круглой трубы можно определить по числу Рейнольдса:

(3),

где  - плотность жидкости (кг/м³),  - коэффициент вязкости (Пас), r - радиус трубы (м), v - скорость течения (м/с). Если Re < 1000 - течение ламинарное, если Re > 1500 - турбулентное, 1000  Re  1500 - течение нестабильно и может изменяться случайным образом от ламинарного к турбулентному и наоборот.

Кровь - неоднородная жидкость, представляющая собой суспензию форменных элементов в белковом растворе - плазме. Строго говоря, кровь следует отнести к неньютоновским жидкостям, но обычно этим пренебрегают. Относительная вязкость крови в норме составляет от 4,2 до 6. Она может снижаться до 2 ÷ 3 (например, при анемии) и повышаться до 15 ÷ 20 (при полицитемии). Относительная вязкость сыворотки крови в норме 1,64 ÷ 1,69 и при патологии 1,5 ÷ 2,0. Относительная вязкость крови - важный диагностический показатель состояния.

На практике вязкость жидкости определяется с помощью прибора – капиллярного вискозиметра, основанного на законе Гагена-Пуазейля.

(4),

где Р₁, Р₂ – давление (Па) в начале и конце трубы длины l (м); r - радиус трубы (м); v_cp- средняя скорость течения жидкости (м/с). Из закона Гагена-Пуазейля следует, что объем вязкой жидкости V = v_cp  S (где S – площадь поперечного сечения трубы, м²), протекающей по тонкой трубке в единицу времени, обратно пропорционален вязкости жидкости . Измеряя V, можно определить . Схему капиллярного вискозиметра и принцип действия подробно смотрите в учебнике.

Течение крови в сосудистой системе в нормальных условиях имеет в основном ламинарный характер. Оно может переходить в турбулентное при сужении просвета сосуда, при разветвлениях. Подобное явление происходит место при дефекте митральных или аортальных клапанов. При этом появляются звуки, называемые сердечными шумами, которые являются одним из признаков этого явления. Прослушивание звуков, сопровождающих турбулентное течение при прохождении крови по искусственно сжатой артерии, используется при измерении артериального давления. Знание свойств крови, в частности вязкости, позволяет рассчитывать движение крови по сосудам, создавать модель кровообращения, результатом которых может служить аппарат искусственного кровообращения.

ТЕОРИЯ МЕТОДА СТОКСА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

К оэффициент вязкости может быть определён методом падающего шарика в вязкой среде (метод Стокса). Рассмотрим падение шарика в вязкой покоящейся жидкости (рис. 1). На движущийся шарик действуют следующие силы:

Рис. 1

Сила тяжести:

P = mg или P =4/3r³₁g (5),

где r –радиус шарика (м); ₁ - плотность шарика (кг/м³); g - ускорение свободного падения (9,8 м/с²).

Выталкивающая сила (сила Архимеда):

F_A=4/3r³₂g (6),

где ₂ - плотность жидкости.

Сила сопротивления движению (сила Стокса)

F_С=6rv (7),

где  - коэффициент вязкости, v – скорость шарика.

Подчеркнем, что здесь играет роль не трение шарика о жидкость, а трение отдельных слоев жидкости друг о друга, так как при соприкосновении твердого тела с жидкостью к поверхности тела тотчас же прилипают молекулы жидкости. Тело обволакивается слоями жидкости, связанными с ним межмолекулярными силами. Непосредственно прилегающий к телу слой жидкости движется вместе с ним со скоростью движения тела. Этот слой увлекает в своём движении соседние слои жидкости, которые на некоторый период времени приходят в плавное безвихревое движение (при малых скоростях и малых размерах шарика), т.е. наблюдается явление вязкости. Направление этих сил показано на рисунке 1.

Равнодействующая сил, действующих на шарик, в векторной форме:

(8).

В скалярной форме с учётом направления сил, если направление силы тяжести принять за положительное (ось системы координат направлена вниз):

R = P - (F_A + F_C) (9).

В начале скорость движения шарика (10) будет возрастать, так как сила тяжести в этот момент больше суммы сил в скобках (9).

(10).

Но по мере увеличения скорости также будет возрастать сила сопротивления и наступит такой момент, когда сила тяжести Р будет уравновешена суммой F_A и F_C и равнодействующая сила станет равной нулю, т.е.:

P - (F_A + F_C) = 0 (11).

Время от начала движения в жидкости до установления равномерного движения определяется соотношением:

(12).

При t >>  движение шарика становится равномерным со скоростью v = v₀.

Подставляя в уравнение (11) соответствующие значения Р, F_A и F_C и считая движение жидкости относительно шарика ламинарным, получим для коэффициента вязкости  выражение:

(13).

Соотношение (13) и используется в методе Стокса для определения вязкости жидкости. Следовательно, чтобы рассчитать значение вязкости, нужно предварительно определить r, v₀, ₁ и ₂. Значение ₁ и ₂ даны (см. на установку), r или d (диаметр шарика) шарика определяется с помощью штангенциркуля с точностью до 0,1 мм и погрешностью х = 0,05 мм, скорость шарика определяется экспериментально, как v₀=, t – время движения шарика в жидкости по секундомеру. Соотношение (13) можно упростить и рассчитать  как:

(14),

где

(15).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Расчетные значения должны округляться согласно точности используемых приборов. Так точность измерения штангенциркуля равна 0,1 мм, погрешность 0,05 мм; секундомера 0.01 с; линейки 1 см и погрешность 0,5 см с сантиметровыми делениями или 1 мм и погрешность 0,5 мм для линейки с миллиметровыми делениями. Следовательно, при переводе всех значений в систему СИ величина вязкости будет иметь только две значащие цифры после запятой. Число значащих цифр определяется наиболее грубым измерением в выбранной системе единиц, в данном случае или секундомером или линейкой с сантиметровыми делениями.

Предполагая, что все определённые числовые значения величин распределены по нормальному закону, рассчитаем экспериментальные погрешности. Для определения абсолютной погрешности косвенных измерений вязкости сначала требуется найти частные производные по всем переменным (16).

(16)

или косвенная абсолютная погрешность одного определения вязкости равна

(17).

Абсолютные погрешности прямых измерений х некоторой величины х определяют по соотношению (18)

(18),

если х оказывается меньше погрешности используемого измерительного прибора, то в качестве абсолютной погрешности х используется погрешность данного прибора (см. выше). Здесь k – количество измерений, t_,k-1 – коэффициент Стьюдента (берется из соответствующих таблиц).

Если проводится несколько опытов определения величины _i и в каждом рассчитывается абсолютная погрешность _i, то погрешность среднего арифметического _ср искомой величины  не может быть меньше

(19)

Относительная ошибка (погрешность) эксперимента равна

(20).

ИЗМЕРЕНИЕ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Измерить диаметр шарика штангенциркулем три раза в разных местах и записать среднее значение d_cp в таблицу 1, в расчетах использовать среднее значение диаметра.

2. Опустить шарик в жидкость как можно ближе к оси цилиндра (глаз наблюдателя должен быть при этом установлен против верхней метки а так, чтобы она сливалась в одну линию), в момент прохождения шариком верхней метки а включить секундомер, в момент прохождения нижней метки b – остановить. Наблюдение прохождение шариком метки «b» аналогично описанному выше. Время t прохождения шариком пути l между метками «а» и «b» занести в таблицу 1.

3. Провести не менее десяти опытов.

4. Измерить линейкой расстояние l между метками «а» и «b».

5. Показать полученные результаты преподавателю.

6. В каждом опыте рассчитать значение вязкости _i и абсолютную ошибку вязкости _i согласно (15) и (17), в качестве абсолютных погрешностей (d, t, l) используются погрешности приборов.

7. Рассчитать абсолютную ошибку среднего арифметического опытов _cp по соотношению (19).

8. Рассчитать абсолютную ошибку среднего арифметического опытов _cp по соотношению (18), взяв .

9. За абсолютную ошибку величины _cp принять наибольшую из величин пунктов 7 и 8.

10. Определить относительную погрешность .

11. Занести все полученные значения в таблицу 1.

12. В каждом опыте определить число Рейнолдса, приняв за r средний радиус шарика, а за плотность глицерина _cp. Определите характер течения жидкости вокруг шарика.

13. Сделать вывод. Записать ответ.

Таблица 1.

№	dcp, м	t, с	l, м	v0, м/с	 Пас	cp Пас	 Пас	cp Пас (см. пункт 7)	cp Пас (см. пункт 8)	, %	Re
1
…
10

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Напишите и объясните условие неразрывности струи.

2. Напишите уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.

3. Напишите уравнение зависимости величины скорости от оси круглой трубы.

4. Написать и объяснить формулу Ньютона для силы внутреннего трения (вязкость жидкости). Что называется турбулентным и ламинарным течением? Для чего служит число Рейнольдса?

5. Что называется явлением вязкости? В каких единицах измеряется величина вязкости?

6. Что такое относительная вязкость? Кинематическая вязкость?

7. Какой характер имеет течение крови по сосудам и чем сопровождается турбулентное течение крови? От чего зависит коэффициент вязкости крови и какова относительная вязкость крови в норме?

8. От чего зависит коэффициент вязкости различных жидкостей? Что такое относительная вязкость жидкости?

9. Пояснить закон Гагена-Пуазейля. Нарисовать, как зависит скорость течения крови в сосуде от расстояния до стенок сосуда.

10. Что называется гидравлическим сопротивлением? Как определит объёмную скорость жидкости?

11. Изменится ли значение коэффициента вязкости, получаемое в вашем эксперименте, если вместо свинцового шарика, использовать, например, стеклянный? Можно ли в вашем эксперименте за верхнюю риску принять поверхность жидкости?

12. Расскажите метод Стокса по измерению вязкости жидкости.

13. Как рассчитать абсолютную и относительную погрешность величины при прямых измерениях?

14. Как рассчитать абсолютную и относительную погрешность величины при косвенных измерениях?

15. Что принимается за абсолютную ошибку вязкости? Как рассчитать абсолютную ошибку вязкости?

ЗАДАЧИ

1.Площадь соприкосновения слоев текущей жидкости 10^-3 м², относительная вязкость жидкости равна 1, а возникающие силы трения между слоями равны 10^-3 Н. Чему равен градиент скорости (в с^-1).

Ответ; 1000 с^-1

2. Пользуясь капиллярным вискозиметром, коэффициент вязкости определяют по формуле  = ₀ , где ₀ - коэффициент вязкости дистиллированной воды при данной температуре, t₀ - время истечения дистиллированной воды через капилляр определенного объема, ₀ - плотность дистиллированной воды при данной температуре,  и t - соответственно плотность исследуемой жидкости и время ее истечения через капилляр того же объема.

а) определить вязкость раствора белка в (Паc), если он через капилляр вискозиметра вытекает за 30 с, а вода - за 15 с. Коэффициент вязкости воды равен 10^-3 Пас, плотность раствора белка 10³ кг/м³, плотность воды 10³ кг/м³. Ответ дать в системе СИ.

Ответ: 210^-3 Пас.

б) Определить время протекания крови через капилляр вискозиметра в (с) при следующих данных: коэффициент вязкости воды равен 10^-3 Пас, крови - 510^-3 Пас, плотность воды - 10³ кг/м³, крови – 1,0510³ кг/м³, время протекания воды через капилляр 5 с.

Ответ; 23,8 с.

3. Вычислить горизонтальную силу, действующую на площадь S = 2 м² дна русла, если по нему перемещается поток воды высотой 2 м. Скорость от дна вверх увеличивается линейно и у верхнего слоя воды v = 0,3 м/с. Коэффициент вязкости воды равен 10^-3 Пас.

Ответ: 310^–4 Н.

4. Определить характер течения крови через аорту диаметром 0,02 м, если скорость течения крови через аорту 0,4 м/с, плотность крови – 1,0510³ кг/м³, а вязкость крови - 510^-3 Пас.

Ответ: ламинарный; т.к. Re = 840.

5. Определить объёмную скорость кровотока через аорту, если диаметр аорты 0,02 м. а скорость течения крови 0,5 м/с.

Ответ:  0,00016 м³/c.

6. Определить максимальное количество крови (массу), которое может пройти через аорту за 1 с. Диаметр аорты 0,02 м, скорость течения крови в аорте 0,4 м/с, плотность крови - 1,0510³ кг/м³. Ответ дать в системе СИ.

Ответ:  0,13 кг.

7. Определить относительную вязкость крови, если коэффициент вязкости крови - 510^-3 Пас, коэффициент вязкости воды - 10^-3 Пас.

Ответ: 5.