Механика. Теор. мех. и сопромат

Решение.

1. Находим площадь сечения:

A 2a 2 2 62 72 см2.

2.Определяем положение главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии, следовательно, центр тяжести расположен в точке их пересечения, а сами оси симметрии являются главными осями. Направляем главные центральные оси x, y таким образом, чтобы точка приложения силы (т. 1) располагалась в первой координатной четверти.

3.Вычисляем главные центральные моменты инерции Ix и Iy . Сечение представляет собой прямоугольник:

5. Определяем положение нейтральной (нулевой) линии (рис. 10, б):

20

28

Эпюра , МПа

Рис. 10, б

68

6. Вычисляем наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения. В сжатой зоне наиболее удалённой от нулевой линии является точка 1, а в растянутой – точка 2.

Окончательно за допускаемую нагрузку принимаем меньшее значе-

ние Pдоп 28,8 кН.

8. Построим эпюру напряжений от силы Pдоп 28,8 кН (рис. 10, б):

1 972,2 28,8 10 3 28,0 МПа;

2 694,4 28,8 10 3 20,0 МПа.

Задача 11

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Задание. На рисунке 11 изображена в аксонометрии ось ломаного стержня круглого поперечного сечения, расположенная в горизонтальной плоскости, с прямыми углами в точках А и В. На стержень действует вертикальная нагрузка. Требуется: построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов; установить опасное сечение и найти для него расчётный момент по III теории прочности. Данные взять из табл. 11.

69

Пример 11. На рисунке 11, а изображена в аксонометрии ось ломаного стержня. На стержень действует вертикальная нагрузка. Требуется: построить эпюры изгибающих и крутящих моментов; установить опасное сечение и найти для него расчётный момент по III теории прочности.

Рис. 11, а

71

Решение.

1)В первую очередь необходимо для каждого из стержней назначить оси координат. Обычно ось z направляют вдоль оси каждого участка.

2)Определяем изгибающие моменты M x на каждом участке и стро-

3. Определяем крутящие моменты M z на каждом участке и строим эпюру Мz (рис. 11, в).

Участок EA: M z 0.

Участок AB: M z 1,3ql 2 .

Участок DB: M z 0.

Участок BC: M z 1,3ql2 0,5ql2 0,8ql2.

1,3ql2

72

4.Изгибающие моменты Му на всех участках отсутствуют, так как все силы параллельны оси у.

5.Показываем возможные опасные сечения (рис. 11, г). Вычисляем в

Опасным является третье сечение, Mр 1,64ql2 .

Задача 12

РАСЧЁТ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Задание. Для криволинейного стержня (рис. 12) построить эпюры M, Q, N и найти нормальные напряжения в опасном сечении. Данные взять из табл. 12. Формы поперечных сечений изображены на рис. 12, а.

73

Пример 12. Для криволинейного стержня (рис. 12, б) построить эпюры Q, N, M и найти нормальные напряжения в опасном сечении, если: P = 1,2 кН; r = 16 см; = 45 . Сечение имеет форму трапеции с размерами: h = 6 см; b1 = 3 см; b2 = 6 см (рис. 12, г) Все размеры на рисунках указаны в сантиметрах.

= 45°

P Pв

Рис. 12, б

Решение.

1. Определим вертикальную и горизонтальную составляющие силы Р:

Pв P cos 1,2 0,707 0,849 кН;

Pг P sin 1,2 0,707 0,849 кН.

74

2. Запишем выражения для внутренних сил в произвольном сечении:

Q( ) Pг cos Pв sin ;

N( ) Pг sin Pв cos ;

M ( ) Pгr sin Pвr 1 cos ; Q( ) 0,849 cos 0,849sin ;

N ( ) 0,849sin 0,849 cos ;

M ( ) 0,136 sin 0,136 1 cos .

Полученные формулы используем для вычисления Q, N, M (табл. 12, а) с шагом угла = 30 .

Таблица 12, а

По данным табл. 12, а строим эпюры Q, N и М (рис. 12, в).

3. Определим напряжения в опасном сечении (рис. 12, г) при следующих значениях внутренних усилий: M = –272 Н м; N = –849 Н.

Нормальные напряжения вычисляются по формуле

Центр тяжести трапеции находится от основания на расстоянии

Внутренний и наружный радиусы криволинейного стержня rв r a 16 2,667 13,333 см;

rн r h a 16 6 2,667 19,333 см.

75

Радиус кривизны нейтрального слоя для сечения в форме трапеции

(при N = 0)

76