- •Кинематика материальной точки
- •1. Механическое движение.
- •Скорость
- •Сравнение выражений (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям
- •В математике выражение вида
- •Ускорение
- •Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что
- •Лекция 2 кинематика вращательного движения
- •Движение по криволинейной траектории
- •Поступательное движение твердого тела
- •Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим
- •Лекция 3 Динамика материальной точки Инерциальные системы отсчета. Закон инерции.
- •Сила и масса.
- •Второй закон Ньютона
- •Единицы и размерности физических величин.
- •Третий закон Ньютона
- •Сила тяжести и вес
- •Упругие силы.
- •Силы трения.
- •Лекция 4 Сохраняющиеся величины.
- •Закон сохранения импульса
- •Энергия и работа.
- •Кинетическая энергия и работа.
- •Лекция 5 Консервативные силы
- •Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле
- •Лекция 6 Потенциальная энергия взаимодействия
- •В случае гравитационного притяжения частиц
- •Нетрудно убедится в том, что в этом случае
- •В этой сумме имеется n(n-1) слагаемых (каждая из n частиц взаимодействует с n-1 частицей).
- •Закон сохранения энергии
- •Где определяется формулой (3.30).
- •Соударения тел
- •Лекция 7 Момент силы
- •Закон сохранения момента импульса
- •Плоское движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 9 Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 10 Механические колебания Колебательное движение, общие сведения о колебаниях
- •Малые колебания
- •Гармонические колебания
- •Введя обозначения
- •Затухающие колебания.
- •Применив обозначения
- •Маятник
- •2.5. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
- •Лекция 11 Упругие волны Распространение волн в упругой среде
- •Уравнения плоской и сферической волн
- •Волновое уравнение
- •Стоячие волны
Лекция 9 Кинетическая энергия вращающегося тела
Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса mi, отстоящая от оси вращения на расстояние Ri, обладает скоростью vi=Ri.Следовательно, ее кинетическая энергия равна
(Еk)i=
Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
Ек=
Приняв во внимание формулу (8.16) , придем к выражению
Ек=I2. (9.1)
Это выражение аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки (и поступательно движущегося тела): Ек=mv2/2. Роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.
Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис.9.1). В этом случае силаF и перемещение ds точки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа dA=Fsds=FsRd. В случае а на рис. 9.1 сила действует в направлении перемещения, поэтому Fs равна модулю силы F и dA=FRd. В случае б сила и перемещение направлены в противоположные стороны, поэтому Fs=-F и dA=-FRd. Как следует из рисунка, оба выражения для работы можно представить одной формулой
dA=Mzd (9.2)
В общем случае, когда внешняя сила направлена произвольно, ее можно разложить на три составляющих. Составляющие FII и F перпендикулярны к перемещению ds и поэтому работы не совершают. Они также не вносят вклада в Мz. Следовательно, и в этом случае работа определяется формулой (9.2).
Поскольку направление оси z и вектора совпадают, формулу (9.2) можно представить в виде
dA=Md (9.3)
где M - проекция М на направление вектора .
Формула (9.3) сходна с формулой dA=Fsds. Сходство становится особенно наглядным, если написать последнюю формулу в виде dA=Fvds, где Fv – проекция силы F на направление скорости v точки приложения силы ( направления векторов v и ds совпадают).
Разделив работу (9.3) на время dt, за которое тело повернулось на угол d, получим мощность, развиваемую силой F:
P=dA/dt=M . (9.4)
Знак мощности зависит от взаимного направления векторов М и . Если эти векторы направлены в противоположные стороны, M< 0 и мощность отрицательна.
Формула (9.4) сходна с формулой Р=Fv=Fvv.
Таблица 9.1
Поступательное движение |
Вращение |
v– линейная скорость а=- линейное ускорение m –масса p=mv – импульс F- сила dp/dt=F – уравнение движения ma=F – уравнение движения Ек=mv2/2 – кинетическая энергия dA=Fsds=Fvds – работа P=Fvv -мощность |
- угловая скорость =- угловое ускорение I – момент инерции Lz=I - момент импульса М – момент силы dL/dt=M – уравнение движения Iz=Mz – уравнение движения Ек=I2/2 – кинетическая энергия dA=Md - работа Р= M - мощность |
В таблице 9.1 сопоставлены формулы механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси. Из этого сопоставления следует, что во всех случаях роль линейной скорости играет угловая скорость, роль линейного ускорения – угловое ускорение, роль массы – момент инерции, роль импульса – момент импульса, силы – момент силы.