Плоское движение твердого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения (рис. 7.7). Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов (на рис. 7.7 показаны три из них), отличающихся значениями скорости поступательного движения, но соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая, через какую точку проходит ось вращения.

Положим скорость поступательного движения равной v₀. Примем одну из точек, лежащих на оси вращения, за начало координат О. Согласно формуле

v=[r]

составляющую скорости точек тела, обусловленную вращением, можно представить в виде [r], где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в данную точку тела. Следовательно, для скорости точек тела относительно неподвижной системы отсчета получается формула

v=v₀+[r] (7.19)

Особенно удобным оказывается разбиение произвольного плоского движения на поступательное, происходящее со скоростью центра масс v_с, и вращение вокруг оси, проходящей через этот центр (рис. 7.7 б).

Элементарное перемещение твердого тела при плоском движении всегда можно представить как поворот вокруг так называемой мгновенной оси вращения (рис. 7.7 а). Эта ось может находиться внутри либо вне тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и относительно тела, вообще говоря, изменяется со временем. В случае, изображенном на рис. 7.7, мгновенная ось совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью (ось А). Эта ось перемещается как по плоскости (относительно системы отсчета), так и по поверхности цилиндра. Таким образом, плоское движение можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

Л Е К Ц И Я 8

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Разобъем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , на элементарные массы m_i (рис.8.1).

Момент импульса i – й элементарной массы относительно точки О, лежащей на оси вращения, равен

L_i=m_i[r_iv_i] (8.1)

Момент импульса тела L равен сумме моментов импульса элементарных масс:

L= 8.2)

Из рисунка 8.2 следует, что в случае несимметричного тела векторы и L неколлинеарны. Поэтому при равномерном вращении момент импульса описывает конус вокруг оси вращения

(рис. 8 3). При неравномерном вращении тела вектор L, поворачиваясь вместе с телом, изменяет свою «длину».

Из соображений симметрии ясно, что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения (для тела вращения), момент импульса относительно лежащей на этой оси точки 0 совпадает по направлению с вектором  (рис.8.4).

Для твердого тела, как для системы материальных точек, справедливо соотношение

,

согласно которому производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил, действующих на тело:

(8.3)

МоментыL и M_внеш берутся относительно одной и той же точки 0.

Найдем момент импульса твердого тела относительно оси вращенияz, т.е. проекцию вектора L на ось z. На рис 8.1 видно, что проекция L_zi момента L_i на ось z равна его модулю L_i, умноженному на косинус угла _i: L_zi=L_i cos _i. Поскольку угол между векторами r_i и v_i прямой, L_i=m_ir_iv_i. Следовательно,

L_zi=m_ir_iv_i cos _i=m_iR_iv_i,

где R_i – расстояние массы m_i от оси вращения (см. рис. 8.1). Согласно формуле

v_i=R_i.

С учетом этого

L_zi=R_i². m_i.

Проекция момента импульса тела L_z равна сумме проекций L_zi:

L_z= (8.4)

Полученное выражение не зависит от положения на оси вращения точки 0, относительно которой определяется момент импульса тела L. Таким образом, значение L_z в случаях а и б на рис. 8.2 одно и то же.

Величина

I= (8.5)

равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Мы пришли к понятию момента инерции, рассматривая вращение твердого тела. Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в покое.

Воспользовавшись понятием момента инерции, представим выражение (8.5) для момента импульса относительно оси z в виде

L_z=I (8.6)

В этой формуле I есть момент инерции тела относительно оси вращения z.

Для момента импульса относительно оси справедлива формула

Следовательно,

Приняв во внимание, что I =const, а =_z – проекции углового ускорения на ось z получим:

I_z= (8.7)

Это уравнение называют уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона ma_z=Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение и, наконец, роль результирующей силы – суммарный момент внешних сил.