Глава 4. Численное интерполирование

4.1. Справочный материал по численному интерполированию

4.1.1. Постановка задачи численного интерполирования

Пусть на отрезке [а; b] заданы точки, которые называются узлами интерполяции.Будем предполагать, что все точкиразличны и расположены в порядке возрастания.

Пусть известны значения некоторой функции в этих точках:

.(4.1)

Требуется в определенном классе функций построить такую функцию , значения которой в узлах интерполяции совпадают со значениями. Функциюбудем называть интерполирующей функцией.

Будем искать интерполирующую функцию в виде интерполяционного многочленаn-й степени:

. (4.2)

Условия (4.1) в данном случае перепишутся:

(4.3)

Коэффициенты многочлена (4.2) находятся единственным образом из условий (4.3). Рассмотрим различные способы записи интерполяционного многочлена.

4.1.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Схема Эйткена

Пусть функция задана условиями (4.1). Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен, представленный в виде:

. (4.4)

Оценка погрешности формулы Лагранжа: ,

где (4.5)

Пример 4.1. Для функции, имеющей аналитическое выражение , задана интерполяционная таблица:

	100	121	144
	10	11	12

а) Составить интерполяционный многочлен второго порядка.

б) Вычислить значение L₂(115).

в) Оценить погрешность полученного результата

,

Если надо вычислить не общее выражение , а лишь его значение на конкретноми при этом значения функции даны в достаточно большом количестве узлов, то можно использовать интерполяционную схему Эйткена.

Согласно данной схеме последовательно вычисляются многочлены:

,

,

и т.д.

Интерполяционный многочлен n-й степени, принимающий в точках значения(), запишется следующим образом:

.

Вычисления   по схеме Эйткена удобно расположить в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Интерполяционная схема Эйткена

						…
						…
						…

Вычисления по схеме Эйткена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения ине совпадут в пределах заданной точности. Схема Эйткена легко реализуется на ЭВМ и обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.

Пример 4.2. Функция задана таблицей.

	1.0	1.1	1.3	1.5	1.6
	1.000	1.032	1.091	1.145	1.170

Применив схему Эйткена, найти .

Решение: Записываем данные значения функции в табл. 4.2. и вычисляем разности при.

Таблица 4.2

Схема Эйткена для примера 4.2.

0 1 2 3 4	1,0 1,1 1,3 1,5 1,6	1,000 1,032 1,091 1,145 1.170	-0,15 -0,05 0,15 0,35 0,45	1,048 1,047 1,050 1,057	1,048

Затем последовательно находим:

Полученные значения L_i-1 заносим в таблицу, после чего вычисляем

Значения исовпадают до третьего знака. На этом вычисления можно прекратить и с точностью до 10^-3записать