Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

.pdf

Скачиваний:

1388

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

13.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 373 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

22	ГЛ I КЛАССИЧГСКАЯ КИНЕМАТИКА

движении не только оси координат, но и любая другая прямая, закрепленная в греческой среде, перемещается параллельно самой себе. Второй случай соответствует предположению, что во время движения точка О' неподвижна, а греческая среда вращается вокруг этой точки. В этом случае Vo' —O, и поэтому

di	dj	r dk
'It'	'dt'	si~dl'	(21)
dH			(21)
dH

Введем вспомогательную среду и соответствующую систему координат х', у', г' (рис. 1.12). Начало этой системы координат закреплено в точке О' греческой среды и движется вместе с ней, а оси х', у', г' все время остаются параллельными осям х, у, г

Рис. 1.11. Рис. 1.12.

соответственно. При рассмотрении движения греческой среды относительно вспомогательной среды точка О' неподвижна, и поэтому скорости и ускорения всех точек могут быгь определены по формулам (21).

Напомним, что точка О' была выбрана в греческой среде произвольно. Поэтому из сравнения формулы (19) с формулами (20) и (21) следует, что в любое мгновение скорость каждой точки греческой среды может быть подсчитана как сумма скоростей ее произвольно выбранной точки О' и той скорости, которую имеет рассматриваемая точка греческой среды относительно вспомогательной среды, движущейся с этой точкой О' поступательно.

Задача сводится, таким образом, к изучению распределения скоростей и ускорений в среде, имеющей одну неподвижную точку.

§4 ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

§ 4. Движение среды с неподвижной точкой

Прежде чем перейти к рассмотрению этого случая движения, рассмотрим более простое движение — вращение вокруг неподвижной оси (рис. 1.13). В этом простом случае каждая точка движется по окружности вокруг оси.

Поэтому скорость i-й точки равна

где р; —расстояние от этой точки до оси.
Величина			a = d(p/dl называется угловой
скоростью вращения среды.
	Введем		вектор		<о,	направленный
вдоль		оси вращения 1) так, чтобы
				О) X	Гь			(22)
где	rt	— радиус-вектор,				проведенный			Р и с j 1 3
к	1-й	точке		из	некоторой точки,
произвольно				выбранной		на оси		вращения. Модуль вектора ю
равен
					(о	= -	1_ =	!i!L! =	аЛ
					(о	= -	а,-	р,-	dt
							а,-	р,-	dt

а его направление определяется обычными правилами векторного умножения: для правой системы координат вектор ю направлен вдоль оси вращения так, чтобы из его конца любая точка среды, расположенная вне оси, казалась вращающейся против часовой стрелки.

Для ускорения имеем

Касательное ускорение равно

где е = da/dt = d2cp/c^2 —угловое ускорение. Если ввести в рассмотрение вектор е, определяемый так, чтобы

то распределение касательных ускорений в среде также представится векторным произведением. При е > 0 , т. е. при ускоренном

!) Точнее— псевдовехтор, так	как при	переходе от правой системы коор-
динат к левой вектор ю заменяется	вектором	—о».

24 ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТИКЛ

вращении среды, вектор Е направлен так же, как и пектор ю; он направлен вдоль оси вращения'противоположно вектору о при е < 0 , т. е. при замедленном вращении.

Нормальное ускорение

w«i = -vl я = »2рг/г

в данном случае направлено к центру кривизны траектории, т. е. к оси вращения, и для случая вращения вокруг оси называется

осестремител1 ным ускорением.

Обратимся теперь к основной задаче этого параграфа —к изу-

				чению движения среды, имею-
				щей	неподвижную точку.
				Т е о р е м а			1. При	движе-
				нии	среды с неподвижной				точ-
				кой в каждый момент существу-
				ет единственныйвектор ю та-
				кой,	что	мгновенная		скорость
				любойточки среды определяет-
				ся формулой
									(23)
		Рис.	t.14.	Д о к а з а т е л ь с т в о .				Выбе-
				Д о к а з а т е л ь с т в о .				Выбе-
				рем начало координат в непод-
вижной точке (рис. 1.14)				и обозначим через i,j		и k орты осей \| , г\
и £. Тогда		скорость произвольной /-й точки				равна
			vi = Ь di/dt+ г),dj/dt+ ^ dk/dt,
а ее проекция v^			на ось Ъ, равна
Vli	= v,-i = l, (di/dt) • < +1), (dj/dt) • i + £, (dk/dt) •i.								(24)
Ho / •/ =	1	и поэтому		(di/dt) • / = 0, а из		тождества /•/ = 0 сле-
дует, что		(dj/dt)	i —— (di/dt) j . Поэтому			равенство (24) можно
записать так:					(dk/dt) i		(dl/dt)-j
					(dk/dt) i		(dl/dt)-j		(25)
vtl		= ^ (dk/dt) -i-rit (di/dt)• / =							(25)
Проекции vir[			n'	век гора v определяются аналогично1):
				\ (di/dt)-J	(djldt)-k				(26)
				Ь	Ь				(26)
				Ь	Ь
				(dj/dt) • k	(dk/dt) • I				(27)
				li	Ai

l) Равенство (25) содержит лишь проекции векторов на ортогональные оси

ипоэтому сохраняется при циклической перестановке осей. Дважды выполняя циклическую перестановку, можно сразу из (25) получичь равенства (26) и (27),

§ 4 ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ								25
Поэтому вектор	vt	равен
(dk/dt)		I	(di/dt)-j		(dl/dt)-j (dj/dt		к J+
(dk/dt)		I	(di/dt)-j
(djjdt) • к	(dk/dt)		• I		l	j	к
			к	= (dj/dt).к		(dk/dt) I (di/dt)		j
где
= ((dj/dt)			k)i	+ ((dk/dt) • i) j+((d'/dt)			-j) k.	(28)

Теорема доказана. Более того, формула (28) позволяет определить (и притом единственным образом) вектор и, если известны скорости трех точек — концов ортов /, J и к «греческой» системы отсчета \, ц, t,. Выясним теперь, нельзя ли определить w на основе меньшей информации, например по скорости v только одной или двух точек.

На первый взгляд представляется, что для определения ю достаточно знать скорость vt какой-либо одной точки с г = гх . Действительно, векторное равенство

эквивалентно трем скалярным:

Однако из

полученных

так

трех

уравнений

нельзя

найти три

неизвестные

величины

поскольку

определитель

системы равен нулю:

п,

= 0.

Если же

кроме

скорости vt

(точки с г = гг)

известно направле-

ние скорости г»2

(точки с г

= г2),

неколлинеарной vlt

то вектор и

может быть

определен. Действительно,

рассмотрим

плоскости Ut

и П2, проходящие через вектор гх

перпендикулярно

и через г2

перпендикулярно ©2

соответственно. По свойству векторного про-

изведения

вектор

лежит

как

П^

так и в ГТ2, т. е. на пря-

мой, по

которой

пересекаются

эти плоскости. Модуль о легко

определить

по модулю

vx:

| siii a '


26	ГЛ	t КЛАССИЧЕСКАЯ КИНПМУГМКА
где а —угол между		вектором гх и			прямой, по которой пересе-
каются	плоскости Пх иП2.
Если в греческой		системе отсчета неподвижна неодна точка О,
а две точки О и 0t,		то неподвижны				и все точки, лежащие на
прямой ООХ> т. е. в этом случае имеется неподвижная ось. Напра-
вим ось- £ греческой системы отсчета					вдоль неподвижной оси OOi.
В этом	случае ft = const,		т. е. dk/dt = O; вектор dj'/dt						располо-
жен в	плоскости (§, т]) и		(dj'/dt)-k — O, а				модуль	\di/dt\ равен
d(f/dt, где ф—угол поворота				оси \|;	вектор		dl/dt коллинеарен J
и (di/dt)-J=d<p/dt. Поэтому в случае,						когда греческая			система
отсчета	имеет неподвижную ось, формула (28) сводится к виду
т. е., как уже было		указано		выше,	вектор со направлен вдоль
неподвижной оси, а		скорости		всех	точек		среды	распргделены
в соответствии с формулой			(23). Если			же	в греческой		системе

неподвижна	только одна точка, то из формулы (23) следует, что
ее скорости	в каждое мгновение распределены гак, как будто бы

в это мгновение система вращается вокруг некоторой воображаемой оси. Направление этой оси определяется направлением век-


тора со (формула (28)), а угловая скорость				вращения — модулем
этого вектора. Поэтому вектор		со называется		вектором мгновенной
угловой скорости, а линия	его действия —мгновенной осью враще-
ния. При Й ^ О В каждое	мгновение равны нулю скорости тех и
только тех точек, которые	лежат на мгновенной оси.
Различие между вращением вокруг			неподвижной осии движе-
нием с неподвижной точкой		состоит	в том, что ось вращения
в первом случае неподвижна,		а во втором случае перемещается,

проходя все время через неподвижную точку О'. Следы мгновенных осей образуют в неподвижном («латинском») пространстве коническую поверхность. Эта поверхность называетсянеподвижным аксоидом.Следы мгновенных осей в подвижном («греческом»)

пространстве также образуют коническую поверхность — подвижный аксоид. Каждое мгновение подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга по общей образующей— ею служит мгновенная ось. Можно доказать, что при любом движении среды вокруг


неподвижной точки	подвижный аксоид		катится без скольжения
по неподвижному.	Вектор со меняется		по направлению и вели-
чине, но всегда лежит на неподвижном			аксоиде (см. рис. 1.15—
этот рисунок соответствует		случаю, когда неподвижный и под-
вижный аксоиды	являются	круговыми конусами с осями г
и £,соответственно). Годограф вектора			се, т. е. кривая, описы-

ваемая его концом, целиком лежит на неподвижном аксоиде (кривая Г на рис. 1.15).

Выше мы рассмотрели распределение скоростей в среде снеподвижной точкой О', так какк этой задаче свелась общая задача

§ 4 flBUNCFHIIF СРЕДЫ Г НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

о распределении скоростей при произвольном движении среды При этом точка О' греческой среды была выбрана произвольно.

Естественно возникает вопрос, зависит ли вектор « от выбора точки О'. Ответ на этот вопрос устанавливает следующая

	Рис.	1.15.	Рис. 1.16.
Т е о р е м а	2.	Вектор	ю не зависит от выбораточки О'.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Предположим, что утверждение теоремы
неверно и что	при различных исходных точках О' надо брать

различные векторы ш. Выберем в греческой среде две произвольные точки 01 и О* (рис. 1.16) и допустим, что им соответствуют

векторы <•>, и (о2. Тогда скорость произвольно выбранной точки А
можно записать двояко:
Но
поэтому		(ог	х (0\А-		ОЮо) = «>гX O

или			((!>!- (02) X 61Л = 0 .

Точка А		выбрана	произвольно. Поэтому в последнем равен-
стве	вектор	0'iA также		произволен и равенство может выпол-
няться только тогда,			когда		«1 = (02. Теорема доказана.
В	силу этой теоремы			поле скоростей геометрической твердой

среды в ее произвольном движении задается двумя векторами: вектором ю в данный момент и скоростью одной (произвольно выбранной) точки среды.

В заключение этого раздела докажем упоминавшееся ранее важное свойство распределения скоростей в произвольно движущейся твердой среде.

28ГЛ I КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТИКЛ

Те о р е м а 3. Две произвольно выбранные точки твердой среды могут иметь лишь такие скорости, что проекции их на прямую, соединяющую эти точки, равнымежду собой.

Д о к а з а т е л ь с т в	о . Выберем в греческой среде произволь-
ные точки А и В и в	качестве О' возьмем точку А. Тогда

Проектируя это равенство на направление прямой АВ, получаем

так как вектор <ахАВ ортогонален-этому направлению. Теорема доказана.

Выясним теперь, как распределены ускорения точек среды при ее движении с неподвижной точкой. Дифференцируя равенство (23) по времени, получаем

Введем вектор z —d&ldt, называемый вектором мгновенного угловогоускорения.Направление вектора г совпадает с направлением

касательной к годографу вектора (о (см. рис. 1.15),	отклады-
вается же он из неподвижной точки О'.
Вектор полного ускорения можно теперь представить так:
i = 8 X П + 0> X V{ = WBp + W0CI	(30)
где
а»ос =гах z>* = их(<ахг,).
Вектор wBp называется вращательным ускорением. Оннаправ-
лен перпендикулярно плоскости, проходящей через	векторы г
и Г(, и по величине и направлению совпадает с касательным

ускорением, которое имела бы та же самая точка при вращении с угловым ускорением е = |8 | вокруг оси, совпадающей с направлением вектора е. Эту ось называют иногда осью ускорений.

Напомним теперь (см. начало этого параграфа), что при		вра-
щении	вокруг неподвижной оси направления векторов «	и 8
всегда	совпадают и в связи с этим в каждой точке векторы ско-
рости	и касательного ускорения направлены вдоль одной и той же

прямой —касательной к траектории. При движении среды с не-


подвижной точкой вектор е не совпадает			по направлению свек-
тором со, и	поэтому	£ХГ/ уже не направлено по касательной
к траектории	и не	является поэтому касательным ускорением.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,			ему и присвоено особое
наименование —вращательное' ускорение.			При движении среды
с неподвижной точкой удобнее выделять			вращательную (а не ка-

§ 4. ДВИЖЕНИЕ СРЕДЫ С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

сательную) составляющую ускорения, так как это позволяет сохранить внешнее сходство формул со случаем вращения вокруг

неподвижной оси.

Рассмотрим

теперь

второе

слагаемое

в формуле (30). Век-

тор

woc

называют

осестремительным

ускорением. В

соответствии

с формулой для разложения двойного

векторного

произведения

имеем

= (0 ((О

Г()

— Г;((й • (0).

Пусть ш0 —орт

мгновенной

оси

вращения; тогда

ft) =

| G) [ . ( i ) 0 =

СОШО

и выражение для

woc

можно

переписать

так:

w o c

= со2 [<о0 (<*>„•/-,)-г,].

Но

(<о0

• ri)

= г1а> — проекция

вектора

на направление

мгновен-

ной

оси.

Поэтому

е = (ло((лог1)

— вектор,

направленный

вдоль

мгновенной

оси, длина

которого

равна

этой проекции (рис. 1.17),

а е — г{

— вектор,

направленный

из рассматриваемой точки к мгно-

венной

оси

и перпендикулярный

последней:

0)Q (G)Q * F\)

—

f*{

UI/IQ,

где АО~~°РТ этого «направления

мгновенной оси», a ht

— рас-

стояние

до

нее. Следовательно,

вектор

wOi

= со2й,Ло,

отложенный

из

любой

точки,

направлен

мгновенной

оси. Это

и предопреде-

лило название

вектора

woc

— oce-

стремительное

ускорение.

Таким

образом, при

движении

с неподвижной

точкой

ускорение

каждой

точки

можно

представить

как

сумму

двух

ускорений.

Первое — вращательное

ускоре-

Р и с - 1 1 7 -

ние —по

величине

направлению

совпадает с тем касательным ускорением, которое получалось бы

при	вращении среды		с угловым ускорением 8 вокруг оси ускоре-
ний,	а	второе — осестремительное — с тем				нормальным ускорением,
которое		получалось	бы	при	вращении	среды	с угловой ско-
ростью		о вокруг мгновенной оси			вращения.
	В точках мгновенной			оси вращения скорости			и. осестремитель-

ные ускорения равны нулю, но вращательные ускорения отличны

от нуля. Именно в		силу этих	ускорений мгновенная ось враще-
ния перемещается:		благодаря	им ее точки, скорости которых
в данный	момент равны нулю, в следующий момент приобретают
скорости,	отличные	от нуля.

30	ГЛ Г КЛАССИЧЕСКАЯ КИНГМАТПКА

Вточках оси ускорений равны нулю вращательные ускорения, но скорости и осестремительные ускорения отличны от нуля. Этим обусловлено движение оси ускорений.

§5. Сложение движений

Вэтом параграфе будут рассмотрены третья и четвертая ситуации, о которых шла речь в § 1 (рис. 1.1,ей г). Исследованию этих ситуаций мы предпошлем формальное определение сложения движений.

Сложением двух движений называется процедура определения скорости и ускорения точек греческой среды (оси \, т], £) относительно некоторой латинской среды (оси х, у, г), если задано движение греческой среды относительно «промежуточной» среды (оси хи ylf Zi), которая сама движется заданным образом отно-

сительно латинской среды. Аналогично определяется сложение п движений —в этом случае рассматривается п сред, движущихся одна относительно другой. Во всех случаях такого рода движение называется


	сложным.
	Мы начнем			изучение		сложного
	движения		с простейшего			случая —
	сложного движения точки (рис. 1.1, в),
	затем	вернемся		к случаю	движения
	системы		отсчета	(который в начале
р и с lie.	этой	главы привел нас			к	задаче о
	сложении движений) и, наконец, рас-
смотрим общий случай	сложного	движения, в котором				рассмат-
ривается и систем отсчета (рис. 1.1, г).
1. Сложное движение	точки.	Рассмотрим		случай,	когда гео-

метрическая точка движется относительно некоторой системы отсчета, в свою очередь движущейся относительно «неподвижной» системы. Как и ранее, греческую систему координат £, г|, £

(начало О')	будем считать выбранной	в	«подвижной»	системе,
а латинскую	систему координат х, у,	г	(начало О) —в	«непод-
вижной» системе.

Орты греческой системы /', у, k и координаты ее начала О' являются функциями времени. Тогда А движется относительно греческой системы. При этом, вообще говоря, и греческие, и латинские ее координаты будут зависеть от времени. Движение точки А относительно греческой системы отсчета называется относительным движением;«сложное» движение точки А относительно латинской системы отсчета называется абсолютным движением, а движение

§ 5 СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ

греческой системы отсчета относительно латинской — переносным движением.

Пусгь ГА И рд — радиусы-векторы точки А в латинской и греческой системах отсчета соответственно. Тогда (рис. 1.18)

или

Вычислим

скорость

оаб1. точки А

абсолютном

движении.

С этой целью продифференцируем последнее

равенство

по /, счи-

тая

греческие

координаты точки I, т], £, радиус-вектор го> и орты /,

j и k функциями от t:

dr.

drn,

dfc

dr\

dt,

Для того чтобы вычислить скорость

в относительном

движе-

нии

(ее обозначают

г»отн),

надо при

дифференцировании

считать

функциями t лишь координаты | , t\ и £;

тогда

dro'/dt

= di/dt =

= dj/dt = dk/dt = 0 и

ф °т н =

~dll + ~dt ^ + "dT

fe"

^3 2 )

Скоростью

точки

называется скорость, которую имеет относительно латинской

системы отсчета та точка греческой системы,

в которой

в рас-

сматриваемый момент находится точка А.

Иначе

говоря,

это та

скорость,

которую

имела бы точка

А,

если в этот момент она

«примерзла» бы к

греческой системе

и далее

двигалась

бы вместе

с ней. Поэтому,

чтобы

определить

vnep,

надо при дифференциро-

вании ГА считать

dl/dt

= dr]/dt = dZ,/dt = O,

это дает

drn,

"»ep—ar+S-ar +IW +Cw

(3 3 >

Сравнивая найденные иыражения для о

а 6 с ,

оп е р

и г>отн,

устана-

вливаем, что

" п е р ~Г "отн>

(34)

т. е. скорость

точки

А относительно

латинской

системы

отсчета

(абсолютная

скорость)

равна ее скорости

относительно

греческой

системы

отсчета

(относительная

скорость)

плюс скорость

отно-

сительно

латинской

системы той точки

греческой системы,

в кото-

рой

находится

этот

момент

точка

(переносная

скорость).

При выводе этого правила сложения скоростей в сложном

движении мы существенно

использовали

основное

предположение

<<< < Предыдущая 1 23 / 373 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика