Айзерман М.А. Классическая механика (1980)

92

ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

величины

начальной скорости. «Граничной» является скорость')

т^Г=V* /

^

г0 =V2 VW.,

(49)

где ^ — отношение силы F = a/rl

к массе т, т. е. ускорение при

' Н е -

определим теперь, какой должна

быть скорость точки с мас-

сой т для того, чтобы траекторией была окружность радиуса

г0.

Это значение скорости

v = vi может

быть

найдено из равенства

е = 0. Его

проще сразу

определить

из условия,

что на круговой

траектории

с г = г0

точка

имеет

постоянное центростремительное

ускорение

v\/r0 и движется

под действием

центральной силы

mg,

т. е. что

— = mg

и

Vi= Vn£\

(50)

поэтому

vu

= V2vi.

(51)

Для

поверхности

Земли

g3«rf9,81

м/с2, г3 я=« 636 • 104

и

via=s

= "|/9,81 -636-10*^7,9 км/с, а

иИ з

= \f2

vl3^

11,2 км/с.

Скорости V\ и им называются

соответственно первой и второй

космической скоростью для

рассматриваемого

центрального

поля

в точках

г =/•(,.

!) Заметим, что начальная энергия равна

подставляя сюда

«граничное значение» у0

из формулы (49),

получаем

—

-

о

Таким образом, финитное движение возникает

при £0 <

0, а инфинитное —

при £0

5= 0.

Тот

факт, что

финитное движение

возникает лишь при £ 0 <; 0,

следует

сразу

и

из теоремы

о вириале. Выражение П (/•) = — а/г

является

однородной формой степени s = — 1. Подставляя s = — 1 в формулу (28),

верную

лишь для финитных движений, получаем

27\ + Л т

= 0,

или

ЕХ = ЕО =

—ТХ,

т. е. для финитных движений

Ео <

0, так как Tt

а значит и Тх, всегда поло-

жительны,

§ 7 ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

93

7,9 км/с

11,2 км/с,

Рис.

III 9

Рис. III

10.

E0

= T0

—mVtt/2 и кинетический

момент

Ko = tnv<x.p.

В последнем

выражении р — расстояние от

центра

до

направления

скорости

VOJ (его

иногда

называют прицельным расстоянием).

В

кулоновом

поле траекторией

инфинитного движения в общем

случае

является

гипербола,

асимптоты

которой

пересекаются

в точке А, расположенной на

направлении rm i n

(наименьшего

для этой

траектории

радиуса),

и образуют с этим направлением

одинаковые углы ф*. Нас будет интересовать угол х (см. рис. III.9),

равный

и = я - 2 ф * .

(52)

Если изменить р, сохранив величину скорости Уоо, то изменится

и угол и (рис. III.10). В связи

с этим

частицы, летящие с оди-

наковой скоростью у,» в «трубке» радиуса

Р , < Р < р г >

в резуль-

тате

инфинитного движения

в

поле

оказываются

в

«конусе»

с

углом

х2 <

у,<; хх

. Это

явление

называется

рассеянием

частиц.

Далее

будет

показано,

что

эффект этот

зависит от

96

ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

является

инерциальной,

так как в силу теоремы о движении

центра инерции скорость его постоянна: vc = rc

—сonst. Движение

точек т1

и тг мсжно рассматривать как сложное движение; тогда

переносным будет поступательное движение центральной системы

со скоростью ©с Центра инерции. Скорость vc

задается началь-

ными скоростями точек v10

и ©20 в момент /= О, и по определению

центра инерции

r

(58)

Задача сводится к определению движения точек т1 и тг относи-

тельно центральной системы х', у',

г''.

Введя

векторы

rlC

и

г2С

для

точек

т1

и т2 в центральной

системе х', у', г',

имеем

(см. рис. III.11)

/•1С-г1С = г.

(59)

С другой

стороны, в этой системе

= (m, + т*)r c

= 0,

(60)

так как начало координат выбрано в центре инерции С.

Решая

систему

Двух

алгебраических

уравнений (59)

и (60)

относительно векторов

rlC

и r.iC, получаем

98

ГЛ III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРСМЫ И 3\кОНЫ МЕХАНИКИ

что

при ti^t^t^

имело место временное центральное взаимо-

действие. Момент tY

назовем началом взаимодействия, а момент

t2 — моментом окончания

его.

Модель временного

центрального взаимодействия удобна, на-

(подробнее см. далее). Она

удобна для

описания взаимодействий

и в тех случаях, когда

не

возникает

непосредственный контакт

тел (как это имеет место

при соудареньях), если П (г) достаточно

быстро убывает с ростом

г

В таких случаях часто пренебрегают

ниях, т.

е. вводят

в рассмотрение «предельное расстояние» г*

и

условно

считают,

что

П(л)5=0 при /•>/•*,

пренебрегая малыми

значениями

П (г) < П (/•*).

Рассматривая временное центральное взаимодействие, будем

интересоваться

лишь

тем,

как изменились скорости

точек

в ре-

зультате взаимодействия, а не деталями движения

в процессе

взаимодействия. Как

и в

общей задаче

двух

тел, сначала

будем

пользоваться

центральной системой, а затем перейдем к исходной

инерциальной системе

отсчета. Условимся приписывать индекс С

радиусам-векторам

и скоростям, подсчитанным относительно цент-

ральной

системы, т. е. примем обозначения, собранные в табл. II.

Т а б л и ц а

II

Центральная

Исходная

Виктор

MOM Hi временя

инерцнальная

система

система

В

момент

начала

взаимодейст-

Г 1О

Г2С

Г1<

Г 2

Г

вия

/,

В

момент

окончания

взаимо-

r\C>

riC

r'v г'*

действия <2

В

момент

начала

взаимодейст-

VV

Vi

вия

tx

V

В

момент

окончания

взаимо-

«1С» «Ic

действия

ta

100

ГЛ. III. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Соотношения

(67)

выражают

скорости в

момент

окончания

взаимодействия

в центральной

системе через

орт п'

и скорости

в момент начала взаимодействия в исходной

системе. Для того

чтобы найти

аналогичные соотношения для

скоростей v\ и 1)'.г

в исходной

системе,

надо добавить к правым частям соотноше-

ний

(67) переносную

скорость,

т. е.

скорость центра инерции.

Таким образом,

,

Шу

, |

ШуУt-[-т2р2

*~~

т,+т2

'

m7+m^

взаимодействия, полностью

определить скорости в момент его

окончания,

осталось

лишь

найти

орт

я' . Вспомним, однако, что рассматри-

вается

временное

взаимодействие в за-

даче двух тел,

и

поэтому

задача

сво-

дится к изучению движения одной точ-

ки с приведенной массой т —т 1 т г / ( т 1 +

+т2)

в

центральном

поле

II (г).

Ис-

пользуя

применительно к этому движе-

нию

равенство, из

которого

был полу-

чен ранее закон

площадей

Рис.

III.12.

тг2ф=

const,

приравняем

величину

тгг ф

в начале и в

конце взаимодействия,

т. е. в моменты tx

и

t2:

откуда

тг*2ц>

—

тг*2ц>',

Но q> = vsma/r*

(рис. II 1.12), так

что

v sin а

у'

sin

а'

В моменты ti и t2

точка

находится

на одной и той же поверх-

ности уровня П (г*) = 0,

и поэтому

значения кинетической

энер-

гии равны

tnv2j2 = mv'2/2,

т. е. с точностью до знака v = v', и,

§ 7. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ

101

Д е л я

это равенство

на

\v\ и

учитывая, что \<o\ = \v'\, получаем

•о'

•о

е)е'

или

п'~п

— 2(пе)е,

(69)

т. е.

если известен

орт

е — (гх — /*2)/| Л —/*21 направления г и

орт п направления V, то сразу находится и орт л' совпадающих

направлений v',

v[c

и DjC.

Теперь равенства

(68) и (69) полностью определяют скоро-

сти v[ и v'i в конце

взаимодействия, если известны скорости vt

и г>2

в момент начала взаимодействия.

Таким образом, изменение скорости за время временного цент-

рального взаимодействия

совершенноне зависит от видапотен-

циальной энергии П(г),

т. е.

от конкретного вида

центральной

силы F(r), и целиком определяется тем

фактом, что сила

центральная, а вза-

имодействие временное, и поэтому дви-

жение начинается

и

заканчивается на

одной и той же поверхности нулевого

уровня П(/-*) = 0.

В

качестве

примера

задачи, кото-

рую можно трактовать как задачу вре-

менного центрального

взаимодействия

двух тел, рассмотрим абсолютно упру-

гое соударение

двух

тел. В этой зада-

У

че уже нельзя пренебрегать размерами

рассматриваемых

материальных объек-

Рис. 111.13.

тов. Простоты ради ыы будем считать,

что соударяются

шарики радиусов р± и

ра, но чго до соударения

и после него они движутся

поступатель-

но по отношению к инерциальной системе отсчета,

и поэтому мо-