Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Как и раньше, рассмотрим сперва уравнение для плотности смеси (2.1), которое с учетом допущения (8.4) перейдет в следующее:

∂ ρ

= ∂

при

∂ τ

∂

∂ ρ

∂

2ρ

(8.5)

при

∂ τ

2 ∂

∂ τ=

cµ

∂

ε t

Эти уравнения совпадают с ранее полученными (7.32). Определение

эффективной ширины остается прежним [см. (7.2)]:

β 2 )

L1 = 2η 1 τ;

L2=

2η1

β 2τ ; L=

L+ 1

=L2

2η+1 (1

τ .

(8.6)

Прежде чем провести осреднение уравнений (8.1) и (8.2) разделим их

на коэффициент диффузии Dε +

. Аналогично мы поступали в §7 для k–

модели.

Перейдем к эйлеровым координатам и получим:

∂ ρ k

+ ρ

ε t

Dε

∂

ρ +

α 8 ∂

ρ D∂

∂ τ

∂ x D ∂

x ∂

ε +

ε+

∂ ln ρ

∂ ρ k

∂ lnρ

∂ ρ

−

;

∂ x

∂

x 3

∂

(8.7)

∂ ρε

c ρε

cµ cε 1k

∂ ρ α

∂

ε ∂

ε 2

∂ τ

∂

x D

ε∂

ε +

ε+

∂ ln ρ

∂ ρε

∂

lnρ

t +

ε t

∂

−

Dε +

∂ x

Dε +

∂

∂ x 3

∂

Здесь, согласно (8.5)

t .

∂ τ=

Dε + dt=

cµ

ε∂t

Dε +

Как уже отмечалось, значок «+» в коэффициенте диффузии

означает,

что из формулы (8.4) берется только верхнее значение при x > 0 .

Проведем осреднение по области [ − L2 ,				L1 ] . Значения L1	и L2 связаны с
переменной τ соотношениями			(8.6).	Здесь следует	заметить,	что
отношение коэффициентов	Dε	,	входящее в (8.7), будет в точке x =			0

	Dε +

иметь разрыв, а это нужно учитывать при получении осредненных формул. Окончательный результат после осреднения получим в виде:

−

;

4η 12 (1 + β 2 )

2η 1L (1 +

2 )

cµ k

dε

−

ε 2

ε 1 1

; (8.8)

4η 12 (1 +

2η 1L (1 +

β 2 )

dL2

2 L2

β 2 ) 2 cµ k 3

dL2

= 4η 12 (1+

2 )

cµ

;

ε t

где

Φ(

2η 1)

P = −

0.5−

A02

;

Φ(η

)

P =

;

2η 1

P = −

0.5−

Φ(

2 η 1)

A02

Теперь поясним алгоритм получения выше приведенных формул. Он во многом напоминает процедуру осреднения для k–модели. А именно, использованы следующие формулы:

(

2 )

∫

а)

ρ kdx = kM ;

где M =

2η

τ ;

+ ρ

− L2

Dε

∂ ρ

gΦ (η

) β

ρ(

2 )

б)

∫

dx =

−ρ

gAΦρ

+1β

;

Dε +

∂ x

0 1

2 (

− L2

∫∂ ρ ∂ ε

dx≈

0 ;

в) ∫ ∂ ρ ∂ k dx ≈ 0;

∂

− L2

∂ x

∂

−

x∂

∂ ρ

г) ∫

dx =

0 ;

∂ τ

− L2

Φ(

2η 1 )

∂ ln ρ

X P Mk

д) ∫

ρ k

dx =

;

∂ x

− L2

Dε +

4 2

Φ(

2η 1 )

∂ ln ρ

X P M ε

е) ∫

ρε t

dx =

∂ x

− L2

Dε +

4 2

Возвращаясь к системе уравнений (8.7) с учетом соотношений а) – е)

получим:

Φ(

2η 1 )

d (

kM )

ε t

M = Φ

(η

) β ρ( −ρ

) −g

k ;

A2 MX

dτ

6 2

Φ(

2η 1 )

d ( ε t M )

(η

) g β

ρ(

)

ε 2

M =

cΦ

−ρ

−t

dτ

P τ

c k 3

3 2

2η 1 (1+

2 )

Используя соотношение L =

τ , получим (8.8).

Если положить β 2

= 1,

что справедливо при числах Атвуда близких к

нулю, то

системе (8.8)

следует

положить

X P =

и A0

= A . Такой

симметричный случай был изучен в работе [ ].

3. Свойства решений системы (8.8). Решение при кусочно–постоянном ускорении

Исследуем свойства решений системы уравнений (8.8). Заметим, что эти уравнения интегрируются в двух случаях: при постоянном ускорении

	=	const	( P = const) , а также при отключенном ускорении
g
			1
	=	0 ( P=	0) . Последний случай отвечает асимптотическому режиму,
g
		1

на который выходит решение задачи о перемешивании слоя смеси с начальной кинетической энергией k ( 0) , имеющего в начальный момент

конечную ширину L0 .

	Пусть		= const .	В этом случае, естественно при	L = 0 принять
		g
ε t
	= k = 0 .	Эта точка		является особой для системы	уравнений (8.8).

Исследование поведения интегральных кривых, проведенное в Приложении 5, показывает, что при нулевых начальных данных решение многозначно: существует однопараметрическое семейство интегральных кривых, удовлетворяющее нулевым начальным данным. Кроме того, помимо этого свойства, есть единственное решение, которое при постоянном ускорении обеспечивает квадратичный закон от времени. Это решение получено в Приложении 5 и имеет вид:

0.5η

(

2 )

( c

−

) 2

Pt 2

L =

ε 2

(8.9)

(1− 2P )−

0.5+

∏

ε i

i= 1

Пусть

= 0 ,

( P =

0) .Система

уравнений (8.8)

значительно

упрощается

ε t

P0−

;

dτ

cµ k

dε t

cε 2ε

P −

dτ

cµ

k 3

ε	2		3P − 1−	2P
		=			k
t			0	2
Эта система имеет интеграл

cµ k P0 ( 3 − 2cε 2 ) τ

Используя его, получим решения системы уравнений (8.10).

Bε

− 1

Bε

k =

τ1

3P − 1−

2 Bε − 3

2 B

ε t =

cµ P ( 3

− 2c )

ε 2

Bε

1.5 −

cε 2

1 − P2+

cε 2 ( P−0

(8.10)

(8.11)

(8.12)

k1 и τ1 вычисляются согласно формулам

(П.5.3) и (П.5.4) в конце

интервала t0 , на котором ускорение постоянно:

( c

−

)

k1 =

ε 2

τ1 ;

cε 2

( 0.5 −

P0 )−

0.25+

c P ( c

−

) 2 t 2

τ1

P +

( P−

0.5)

0.25 −

∏

ε i

i= 1

Получим формулу для ширины

L . Решение (8.12) подставим в третье

уравнение (8.8), которое может быть представлено в виде:

dτ

ε t

τ , а затем для ширины L

Окончательно получим сперва выражение для

при t ≥

t0 :

cµ k1

( 3

− 2cε 2 )

Bε

τ =

(−t t

) ;

( 3P

−

1−

2P )

			1
L = L	1+		1

			B
10			B
			ε
где L10 = L ( t=		t0 ) .

Обратим внимание,

принимает значение k1 ,

разрывным в силу того,

выражения (П.5.2) при t ≤

ε t2 ( t0 − 0)= ε

cµ k1 ( 3		− 2cε 2 )				Bε
				(−t	t	)	(8.13)
( 3P −	1−	2P )	τ
					0
0		2	1

t =

что

при

кинетическая

энергия

а значение

фиксированной функции ε t

будет

что

при

ее

вычислении

используются

разные

t0 и (8.11) при t =

t0 . Именно:

0.25 −

P +

( P−

0.5)

ε 1

cµ

− c

ε 1

ε 2

P −

( t0 + 0)=

ε t

P ( 3

−

) cµ

τ .

ε 2

Однако, значение ε t

будет в точке t =

непрерывным в частном случае

выбора постоянной cε = 1.5.

Таким образом, решение для полной ширины будет определяться формулой (8.9). на интервале [ 0,t0 ] постоянного ускорения и (8.13) при

выключенном ускорении. Формулу (8.10) можно представить в более общем виде, пригодном в и случае медленно изменяющегося ускорения,

если перейти, как и раньше в

§7

для

lv–модели, от времени

t к

перемещению s =

gt 2

)

Φ A (1 + β

( c

− c

) 2 s

L =

1 0

ε 1

(8.14)

( 2P− 1)

0.5 −

2P +

∏

ε 1

Обратим внимание,

что зависимость от числа Атвуда A проявляется через

параметры

A0 ,

β 2 ,

P0 ,

P2 ,

которые определены выше.

Позже

эта зависимость будет исследована более детально.

Из формул (8.13) и (8.14) вытекают важные следствия относительно постоянных ke –модели:

1) степень затухания турбулентного перемешивания при выключенном

ускорении определяется	только	постоянной		cε 2 , 2)интенсивность
турбулентного перемешивания J =		dL	зависит линейно от постоянной
турбулентного перемешивания J =		2α s	зависит линейно от постоянной
		2α s
cµ и разности ( cε 2 − cε 1) , входящей в степени 2. 3) степень затухания
турбулентности Bε и интенсивности турбулентного перемешивания J
зависят от числа Атвуда	A через параметры			A0 , P0 , P2 . Однако,

чтобы получить окончательные формулы, следует как и в §7 уточнить решение за счет учета дополнительного ускорения.

4. Учет дополнительного ускорения

Прежде чем это сделать, перейдем к частному случаю модели, когда cε 1 = 1.5 . Тогда уравнения (8.8) допускают интеграл, верный как при постоянном ускорении, так и при нулевом. Эта будет формула (8.11). Ее можно переписать, если перейти от τ к L :

2 18 − 2Φ

A2 X

ε t = η

1 cµ (1+

2 )

(8.15)

3( 2c

−

ε 2

Значения

A0 и X P

определены

в §7

(7.39).

Учтем дополнительное

ускорение, возникающее за счет перемещения u :

u = − D

∂

ln ρ

∂ x

[ − L2≤

x≤

L1 ] ,

Усредним

эту скорость

по

области перемешивания

предварительно умножив обе части равенства на

ρ . Как и раньше в §7,

учтем разрывность коэффициента Dε

. Получим

A β + (1

)

= −

∫

d ρ+

∫

dρ

= − Φc

−

ε −

ε +

1 0

−

ε t L

− cµ β

Φ1 A0

3( 2cε 2 − 3)

k .

2 η

18 − 2Φ

A2 X

Здесь использовано соотношение (8.15). Дифференцируя полученную

скорость по времени, получим значение дополнительного ускорения

= − cµ β 2 (1+

β 2 )

6( 2c

− 3) AΦ

ε 2

18 − 2Φ 2 A02 X P

Если его добавить к ускорению g в правые части системы уравнений (8.8),

то окончательно получим:

Φ1g0 A0

β 2

;

(8.16)

2η 12 (1 +

2 )

= 4η

cµ (1+

β 2 )

3( 2cε 2

−

k ;

(8.17)

18 − 2Φ

2 A02 X P

P = −

P+

18 −

2Φ

A2 X

;

( 2cε 2 −

3( 2cε 2−

3 ) β 2cµ Φ12 A02

η 12 (18 −

2Φ 2 A02 X P )

Уравнение для интенсивности ε t исключено из рассмотрения с помощью соотношения (8.15). Таким образом, получим систему уравнений (8.16) и (8.17) в переменных k , L, t . Свойства подобных уравнений хорошо

изучены в §7. В том числе и зависимость от ненулевых начальных данных. Вернемся к решению уравнений (8.8) для ускорения, заданного

ступенчатой функцией (7.17), описываемого формулами (8.13) и (8.14). Уточним за счет дополнительного ускорения. Получим, что формула (8.13) и (8.14)перейдут соответственно в следующее:

2η 1 (1 +

2 )

( 3 −

)

(−t t

)

Bε

L =

ε 2

;

(8.19)

3P − 1−

L B

12c

(1 + β

)

β Φ A

( c

− c

) 2

( 2cε 2

− 3)

L =

2 1 0

ε 2

. (8.20)

Θ + 2P

18 − 2Φ

A2 X

Обратим внимание, что вид решения (8.13)сохранился за исключением степени Bε .

		Θ	0
Теперь	Bε =				.
		Θ 0+
				P3

Получились довольно громоздкие формулы. Чтобы установить

зависимость

интенсивности

турбулентного перемешивания J =

2ds

степени затухания турбулентности

Bε

как и в §7. Построим графики при

фиксированных

эмпирических

постоянных.

cµ =

= 1.5, c

, η =

2 Φ,

0.89,Φ =

0.97 .

ε 1

ε 2

Подчеркнем еще раз, что постоянная cµ

выбрана так, чтобы интенсивность

перемешивания J для ke и k моделей совпадали при малых числах Атвуда

A . Тогда приходим к следующим простым апроксимационным формулам:

J1	=	dL1			=	0.06(1+ 0.42 A) A ;	(8.21)
J1	=				=	0.06(1+ 0.42 A) A ;	(8.21)
		2ds
				=		2+ 0.05A2 L.
			B	=		2+ 0.05A2 L.	(8.22)
			ε			7
						7

Сравнение результатов двух моделей показывает, что зависимость интенсивности перемешивания от числа Атвуда получается фактически одной и той же, степень затухания в ke модели – несколько ниже. Эту несущественную разницу трудно заметить экспериментально.

Подчеркнем основной результат, следующий из полученных аналитических формул, как для ke модели – (формулы (8.19), (8.20)), так и для k модели (формулы (7.48) и (7.54)). Интенсивность турбулентного

перемешивания J1 и степень затухания турбулентности Bε довольно заметно зависят от числа Атвуда. Для J1 в литературе принято считать зависимость от числа Атвуда линейной. Здесь установлена нелинейность, из которой следует, что при A = 1, постоянная перемешивания как бы возрастает на 42%. Также степень затухания Bε возрастает на 18%.

5. Влияние начальных возмущений

Ограничимся частным случаем ke уравнений, когда cε 1 = 1.5 , т.е.

будем изучать поведение решения уравнений (8.16), (8.17). Сперва заметим, что подобная система уравнений уже была исследована в §7. (уравнения

(7.12), (7.13), а с учетом несимметрии это система (7.44). Здесь будем исследовать систему уравнений (8.16), (8.17) при ненулевых начальных условиях

t = 0; L=

L0 ; k=

k0 .

При постоянном ускорении из (8.16) имеем решение для

2 Φ1 A0 L

k =

4P3 ) +

2(1 +

β 2 )η 12 (Θ +0

β Φ g A L

4 P .

(8.23)

L Θ 0

−

2 1 0 0 0

2(1 +

β 2 )η 1

(Θ +0

4P3 )

Заметим, что при определенных начальных данных, приводящих к

занулению квадратной скобки, получается сразу автомодельное решение. В

других случаях будет иметь место выход на автомодельное решение,

которое определяется первым слагаемым в выражении (8.23). Второе

слагаемое с ростом L стремится к нулю.

Уравнение для ширины (8.17) после подстановки в него решения (8.23)

примет вид:

4(1 +

β 2 )

3( 2c

− 3)

cµ

d 2s

18 − 2Φ 2 A0 X P

β Φ A L

Θ 0

2 1 0

12−

2 1 0 0

4 P3

(1 +

β 2 ) (Θ +0

4P3)

+(1

β 2Θ) (+ 0

4P3)

(8.24)

Из полученного уравнения видно, как происходит выход на автомодельное

решение. Пусть начальные данные таковы, что

2 Φ1 A0 L0

(1 +

β 2 )η 12 (Θ +0

4P3 )

Тогда (8.24) можно проинтегрировать и получить

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Волны

#
15.08.201330.89 Mб136Крауфорд Ф. Волны.pdf
#
15.08.201330.99 Mб94Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.pdf
#
15.08.20131.54 Mб45Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000).pdf
#
15.08.201323.96 Mб578Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.pdf