Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

эффективно по значениям объемной концентрации f1 = f2 = 0.1 и 1.37

если f1 = f2= 0.01 . Функция кинетической энергии турбулентного перемешивания носит колоколообразный характер. Ранее была рассмотрена

приближенная модель, в которой функция V полагалась в области турбулентного перемешивания зависящей только от времени.

	V (t) ,			x	≤		L	,
							L

V =						2			(7.1)
V =						2			(7.1)
				>		L
						L
		0,	x			2 .
		0,	x

Такое приближение позволяет в аналитическом виде построить решение при произвольном от времени законе ускорения.

Здесь уточняется полученное ранее решение. Делается это за счет нового определения ширины области перемешивания L . Так как в

предположении (7.1) коэффициент диффузии D в уравнении (5.4) зависит только от времени, то решение для плотности не будет иметь фронта. Поэтому фронт вводится эффективно. Это приводит к необходимости пересчета эмпирической постоянной α и к некоторым неудобствам при сравнении с экспериментом.

Предлагается интегральный способ, основанный на законе сохранения перемешанной массы. Ширина области перемешивания определяется по следующему алгоритму:

f dx

∞

L =

2 ∫

∫

(7.2)

f1 (0)

− ∞

(0)

где f

– объемные концентрации

− ρ 2

;

1−ρ

− ρ

−ρ

Заметим, что эта формула может быть рекомендована как для обработки экспериментальных результатов, где точно определить фронт бывает трудно, так и для численного алгоритма, где те же трудности, что при экспериментальной обработке. Геометрический смысл формулы (7.2) демонстрируется на рис. 7.1.

Рис. 7.1 Профиль объемной концентрации f2 от безразмерного расстояния

η =	x
	2 τ .(1) – линейный профиль, полученный из условия сохранения

перемешанной массы.

1 Приближенные уравнения. Точное решение.

Получим вместо (5.5) приближенное уравнение. Для этого проинтегрируем обе части уравнения (5.5) по области перемешивания

x ≤ L . Предварительно определим L из уравнения (5.4), решение

которого может быть представлено аналитически. Перейдем к новой переменной

∂ τ =

D∂

t .

(7.3)

Тогда уравнение диффузии

∂ ρ

= ∂

2ρ

∂ τ

∂

будет иметь решение

0 +

ρ 0

−

ρ 0

(7.4)

2 Φ

где Φ(η ) =

∫ e− z2 dz – интеграл вероятности, η =

Обратим внимание, что для объемной концентрации f2	=	1	(1+ Φ )

	2

решение получается независимым от числа Атвуда.

Фронт перемешивания xi выбирается таким образом, чтобы площадь

на рис. 7.1 равнялась площади треугольника со стороной Oxi . Следует отметить, что в сформулированном выше приближении перемешивание

протекает	симметрично		влево и		вправо,	поэтому x1 = − x2 =		L	; а из
протекает	симметрично		влево и		вправо,	поэтому x1 = − x2 =		2	; а из
								2
равенства площадей следует формула:
∞		2
η 1 = 2∫ (1	− Φ)dη =	2		.

		π
0		π
Поэтому
			L = 2x1		= 4η 1	τ = 8	τ	(7.5)
							π

Ширина области перемешивания входит в уравнение баланса кинетической

энергии (5.5). Зная ее (7.5), усредним по области x ≤ L уравнение (5.5),

предварительно перейдя к переменной τ :

∂

ρ V

vρ V

g∂ρ +

β ∂

ρ∂

V +

1∂

ρ ∂

V −

∂

2∂ τ

α 2 L2

∂ x

2∂

∂x

(7.6)

∂ ln ρ

2 ∂ ρ

ρ V

−

∂ x

∂

В результате получим следующее уравнение:

Φ(

2 η 1 )

∂ (V

M )

) (ρ

0−)

= Φg (η

0− ρ

2 A2 M

2∂ τ

α 2 L2

12 2τ

, (7.7)

где

(ρ 10 +

ρ 20 )

M =

(7.8)

Здесь использованы соотношения:

a) ∫ ρ V 2dx = V 2 M ,

≤

∂ ρ

dx = gΦ (η 1) (ρ 10−ρ 20 )

б) ∫

≤

∂ x

∂ ρ ∂

V 2

в)

∫

dx 0 ,

(7.9)

≤

L ∂ x ∂

∂ ρ

∂ 2ρ

г) ∫ V 2

∫

dx=

0 ,

dx = V

∂ τ

∂

≤

x≤

∂ ln ρ 2

∂ lnρ

(

η2 1)

A2V

д)

ρ V

dx = V

ρ dx=

∫L

∂

∫L

∂

4τ

≤

x≤

При вычислении последнего интеграла принято следующее

приближение:

( ρ

20 )

∂ ln

10 + ρ

2 2

η 1

e− 2η 2 dη

∫

d x =

Aη 1

∫

∂

− η 1 1+ ΦA (η )

≤

( ρ

10 + ρ 20 )

η 1

e−

2η

(η

) dη

A2 M

(

2η

A2η

∫

1 − AΦ

2 τ

− η 1

Уравнение (7.7) преобразуется к виду:

Φ(η 1)

gA ,

(7.10)

2dτ

2η 1 τ

k =

0.25+

Φ(

2η 1)

A2 .

(7.11)

16η 12a2

Возвращаясь с помощью (7.3) и (7.5) к исходной переменной t ,

получим:

Φ(η 1)

gA,

(7.12)

2η 12

dL	= 8η
		12aV	.	(7.13)

dt

Решение последних уравнений представляется в интегральной форме:

Φ(η

)

− 4k

∫ gL

dL ,

(7.14)

2η 1

t =

L dL

(7.15)

8aη 12

L∫ V

Здесь ради общности положено, что в начальный момент есть область

турбулентного перемешивания		L0 c		начальной турбулентной скоростью

V0 :
	t = 0;		=		L = L0 .
	t = 0;	V	=	V0 ;	L = L0 .	(7.16)

Заметим, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (7.12)–(7.13) сводится к одному уравнению второго порядка:

	&2				&2	= 32η 1 aΦΦ(η		1) gA ,
		dL	+	4k	L	= 32η 1 aΦΦ(η		1) gA ,
						2	2
	&				L
где ( )		Ldt			L
где ( )	означает дифференцирование по времени. Тем самым получаем

замкнутое уравнение для определения ширины области перемешивания, содержащее две эмпирические постоянные a и v . Напомним, что

параметр k , согласно (7.11), зависит от a, v и A .

2 Точное решение при кусочно–постоянном ускорении. Неустойчивость Рихтмайера–Мешкова.

Этот вид неустойчивости получается при прохождении через границу раздела ударной волны. В рамках рассмотренной выше модели возникающее перемешивание будем характеризовать числом Атвуда,

устанавливающимся после прохождения ударной волны, и δ –образным ускорением, сообщающим границе некоторую скорость U0 :

U0 = ∫ gdt .

Обратим внимание на действие генерационного члена

ω	2 = g	∂ ρ	,
		∂ x

который работает как источник только в случае его положительного значения. Если ускорение изменяется плавно, то отрицательное его значение приводит к убыванию энергии. При перемешивании, вызванном ударной волной, неустойчивость возникает при любом знаке выражения

g	∂ ρ	, поэтому при δ – образном законе ускорения генерационный член
g	∂ x
	∂ x
следует брать по модулю:
				∂ρ
		ω 2 =	g	∂ρ		,
		ω 2 =	g	∂	x	,
				∂	x
если		g – δ –функция. Поскольку неустойчивость Рихмайера–Мешкова

связана с ударной волной, следует учитывать сжимаемость. Поэтому здесь

нужно	вспомнить	выражение	для			инкремента ω 2 в общем случае
сжимаемого газа – формула (3.9). Для удобства перепишем ее вновь:
		ω 2 = − g		0	∂ ln ρ−			g02	,

						∂ x		c2
							0
где c0	– скорость звука в газе,		g0			– ускорение. Заметим, что если g0
достаточно велико,		а c0 – конечно,				то второй член в инкременте будет

преобладающим и неустойчивость будет иметь место всегда не зависимо от

знака ускорения, т.к. в этом случае ω 2 < 0 .

Получим решение для ударной волны из общего решения (7.14), (7.15), построив его для ускорения, заданного ступенчатой функцией

g =

R g0 , 0

≤ t≤

t0 ,

(7.17)

t0 ,

T0,

а затем найдем предел при условии, что lim g0t0 =

U0 .

→

Вначале рассмотрим нулевые начальные данные:

t =

L0=

V0=

0 .

(7.18)

Тогда из (7.14) и (7.15) следует аналитическое решение:

Φ(η

1) g0 AL

, 0 ≤ t≤

t0 ,

2η

12 (

1 + 4k)

V 2 =

(7.19)

t > t

8a2η 12Φη(

1) g0 At 2

0 ≤

t≤

t0 ,

L =

2 ( t − t

) B

(7.20)

Bt0

L =

8a2η 12Φη( 1) g0 At02

2aΦη( ) g At

, V

1 0 0

; B =

+ 4k

1+ 2k

= U0 , то

Очевидно, если lim g0t0

→

2aΦ η

1 g

lim V =

(7.21)

t0 → +0

1 +

Если теперь предположить, что граница раздела имеет начальную шероховатость, эффективно характеризуемую начальной шириной L0 , то

проходящая ударная волна приведет к появлению турбулентной скорости шероховатой зоны, равной

V1 ( L0 ) = 2αΦ (η 1) AU0 .

Этот результат следует из соотношения:

1 g

0 I

1+ 4k O

V =

Φ η

LM1

−

J P ,

2η

1 b

H L K

1 +

являющегося

решением

уравнения

(7.12).

Вблизи

( L0 ) = 0

L = L0 ; V

решение (7.23) можно приближенно

следующим:

2 ≈

Φ(η )

A( L−

L ) .

2η 12

(7.22)

(7.23)

точки

заменить

Тогда ширина L вблизи L0 представляется выражением:

L =

b 1 g

At 2 .

L +

8a2η 2Φη

(7.24)

С учетом того, что g0t0 →

U0 , получим (7.22).

( L0 ,U0 )

Следовательно, имеем интервал значений

от (7.21) до

bβ g

(7.22). Определенное значение скорости V1

получается зависящим от

параметра β =

0t0

, где

t0 – некоторое время,

которое можно трактовать

как время прохождения ударной волной области шириной L0 . Получим общую формулу для определения V1 ( L0 ,U0 ) = V1 ( β ) . Для этого в (7.23)


заменим g0 =		U0	и введем параметр β
заменим g0 =			и введем параметр β
		t0
		( β )					AΦ1
V1		( β )		=			AΦ1
	U0			=		2η 12	(1 + 4k)β
	U0					2η 12	(1 + 4k)β
Значение L10		= L ( t=			t0 )		определим
приближенное решение:

		L10	− (1+ 4k)
L10
	1−			.
L		L

0		0

из	(7.15),	подставляя вместо V

Φ1β A

1 + 4k

− 1

;

2η 12

Φ1β

A L

+ 4k

2η 2 (1

4k)

Полученное приближение наглядно демонстрируется на рис.7.3, где решение (кривая (1)) заменено двумя прямыми (2) и (3).

Рис. 7.2. Точное решение (1) заменено двумя отрезками прямых

(2) и (3).

Окончательно имеем:

1+ 8η 1α2

2Φ 1βA

еслиβ

A≤

;

32kη α2

2Φ

L10 =

Φ1 Aβ

4ηα1

если β

A≥

1+ 4k

2 (1+

4k)

32kη α2

Φ2

После ударной волны перемешивание будет развиваться согласно

решению:

L10

( β ) ,

(7.25)

8η

(β

) ( t − t0)

L =

1 aV1

(7.26)

BL10

Отметим одну важную особенность полученного решения: в случае перемешивания Рихтмайера–Мешкова ширина области перемешивания

существенно зависит от начальной		шероховатости	L0 , в отличие	от
перемешивания Релея–Тейлора,	когда при L0 → 0		решение стремится к
автомодельному закону [(7.20),	0 ≤ t≤	t0 ]. В рассмотренном случае (7.26)
при L0 → 0 решение стремится к тривиальному за счет того, что L10 →				0 .

3 Влияние начальных данных на развитие турбулентного перемешивания при постоянном ускорении

Установим зависимость решения от начальной ширины

перемешивания

L0 , когда ускорение

g0 постоянно. Как только что было

отмечено, при L0 →

0 решение стремится к автомодельному.

Выпишем решение (7.14) для постоянного ускорения

g0 в общем

случае произвольных (ненулевых) начальных данных (7.16):

Φ(η

) g

Φη(

) g

V 2 =

V −2

(1 + 4k)

2η 12 (1+

4k)

2η 12

от ширины L и

Определим в явном виде зависимость скорости V

подставим в уравнение для ширины (7.13)

Φ(

)

Φη(

) AL

= 8η

1α

g0 −

d 2s

2η 12 (

1+ 4k)

2η 12 (1+

4k)

(7.27)

что при L0 →

Очевидно,

0 решение стремится к автомодельному, чего нет

Φ(η 1) AL0

при импульсном законе ускорения. Если

, то уравнение

2η 12 (1+

4k)

(7.27) имеет решение

Φ(η 1)

L =

L0+

4ηα1

(7.28)

1 +

≠

В случае,

если

и умеренных

значениях

безразмерного

параметра

V02

g0 L0

выход на решение (7.28) происходит довольно быстро в силу того, что, как будет показано ниже, степень 4k велика: 4k = 5 . Выше были представлены рассуждения в рамках приближенного рассмотрения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Волны

#
15.08.201330.89 Mб136Крауфорд Ф. Волны.pdf
#
15.08.201330.99 Mб93Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.pdf
#
15.08.20131.54 Mб45Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000).pdf
#
15.08.201323.96 Mб576Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.pdf