Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

рис.6.1 также следует, что заметные отличия в профиле имеются, когда,

α 2

ln n .

и λ 31 – кривая 1 от ln n , β = 0 .

Из результатов численного интегрирования, представленных на рис.6.2,

Поэтому, как и раньше, в исходные уравнения нужно вместо полной ширины ввести эффективную. Такая замена сводится к тому, что в

модели настоящего параграфа несимметрия в перемешивании несколько

Рис.6.3. Профиль безразмерной плотности для различных n

при α 2 = 0.061 v

Существенная зависимость его от n имеет место, в основном, при

значениях n < 10 (кривые 2 и3). Если n > 10 , то профили слабо различаются между собой (кривые 1 и 2).

Исходные уравнения возьмем в автомодельных переменных. Это будет система (5.9) с граничными условиями (5.11) и (5.12). В коэффициенты

уравнений входят постоянные α , v, β . Как уже отмечалось, существует преобразование (6.1), приводящее к системе, в которой постоянные α и v

Здесь введена эффективная ширина L* , так как при полной ширине,

как и раньше, получается нефизичная зависимость решения от параметра

n .

Остановимся на изучении зависимости решения от параметра n .

Физический смысл этого закона будет пояснен в § 7.

Проведем анализ разложения решения в окрестности фронта перемешивания. Разложение при λ = λ i , i = 1,2 есть

Построение решения системы уравнений (6.11) и (6.3) с граничными условиями (6.12), (6.13) можно осуществить только численно. Появление

диффузионного члена с коэффициентом β в сравнении со случаем

β = 0 существенно усложнило задачу – повысился порядок одного из

уравнений.

С другой стороны, фронт перемешивания является особой точкой, причем характер ее таков, что вести численное интегрирование всей системы уравнений, выходя из этой точки, невозможно в силу расходящегося характера интегральных кривых. Это замечание относится и к правому и к левому фронту. Поэтому здесь применен специальный итерационный метод численного интегрирования системы (6.11), (6.3), предложенный Яковлевым В.Г. Суть его состоит в том, что исходная

v

система интегрируется поочередно: при заданном значении y

определяется решение ξv из (6.11). Последнее уравнение относительно ξ

второго порядка, и для его решения применяется метод прогонки. Затем с

Оказывается, что такой процесс не всегда сходится, поэтому применяются специальные меры, избавляющие от этого недостатка.

путем сравнения расчетного профиля с экспериментальным при n = 3 . Результаты этого сравнения представлены на рис. 6.4.

исследование зависимости несимметрии перемешивания и эффективной ширины от параметра n .

Рис. 6.5. Зависимость несимметрии перемешивания от числа Атвуда при

β = 0.2

На рис. 6.5 демонстрируется изменение несимметрии, измеренной по

9L*

параметра β , в основном, проявилось на фронтах перемешивания.

На рис. 6.4 приведен профиль плотности δ при n = 3 . Как следует из разложений (6.12) и (6.14), на фронтах перемешивания при β = 0.2

имеет место негладкое примыкание (первая производная терпит разрыв).

Õ 7. Приближение кусочно− постоянного коэффициента диффузии

Рассмотрим приближенную модель, в которой положено, что

турбулентная скорость V не зависит от пространственной переменной и изменяется только во времени [45]. Такое приближение позволяет построить решение в аналитическом виде для переменного ускорения и во всем диапазоне изменения чисел Атвуда. Тем самым предоставляется возможность теоретически изучить влияние постоянных теории на асимптотические свойства решения. В частности, комбинация из

v

экспериментальных результатов, устанавливающих закон затухания турбулентности при выключенных источниках.

Предлагаемое приближение оказывается весьма полезным для изучения свойств усложненной модели, а также для выявления роли

дополнительных постоянных, таких как α 2 . Это приближение также будет

широко применяться при изучении выхода на автомодельный режим и в задаче о перемешивании тонкого слоя.

Будем рассматривать перемешивание двух сред, имеющих постоянные начальные плотности ρ 10 и ρ 20 . Ускорение g полагаем функцией,

зависящей только от времени:

g = g(t) .

Сформулируем граничные условия. Как уже отмечалось ранее, естественно предположить, что на фронте перемешивания в обе стороны плотность непрерывно переходит в начальную, а кинетическая энергия равна нулю.

При постоянном ускорении эта задача автомодельна. Ее решения исследованы и приведены в §6. Фронт перемешивания развивается несимметрично, в сторону легкого вещества с большей скоростью. Влияние