Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

постоянные величины. Легко заметить, что это возможно, когда начальное распределение плотности имеет экспоненциальный вид. Также использовано равенство:

Любую функцию–решение можно разложить в ряд Фурье. Полагаем, что

корень ω с чисто мнимой отрицательной частью и согласно (3.5) решение будет экспоненциально возрастать.

поэтому все четыре корня уравнения (3.7) будут вещественны и решение устойчиво.

3 Свойства дисперсионного уравнения (3.7)

Дисперсионное уравнение (3.7) получено для общего случая.

Рассмотрим предельный случай c0 → ∞ , отвечающий несжимаемой жидкости. Уравнение (3.7) перейдет в следующее соотношение:

что совпадает с результатом Забабахина Е.И. Формула (3.8) дает наглядное представление зависимости инкремента от начальных условий задачи, в частности, от длины начальных продольных ( n ) и поперечных

(k12 = k22 + k32 ) возмущений.

2

всегда так как в этом случае ω 2 ≈ − g0< 0 . Другими словами, с учетом

c02

сжимаемости для достаточно больших ускорений (замедлений) движение неустойчиво всегда.

ситуации: как устойчивые, так и неустойчивые, определяемые знаком выражения ϕ 0 .

В дальнейшем полученное выражение (3.9) используется при выводе уравнения турбулентной энергии, а именно для записи члена,

генерирующего Условие ϕ 0 < 0 отвечает неустойчивому случаю, приводящему к турбулентному перемешиванию.

изотермического случая [50] и совпадает с частотой колебаний внутренних волн, полученной в [52].

4. Совместное действие гравитационной и сдвиговой неустойчивостей

Если дополнительно к распределению плотности и давления имеет место еще поперечное течение, например, в направлении оси

ox3 U 3 ≠ 0, U1 = U 2 = 0 , то вопрос об устойчивости такого

течения усложняется.

Известны условия устойчивости для границы раздела в предположении

составляющие скорости, то инкремент роста малых возмущений выражается формулой [61]

Jmω из размерных соображений и на основании формул (3.10) и (3.11), по–видимому, будет эквивалентно выражению

Хотя, конечно, эту формулу следовало бы получить строго, осуществив вывод дисперсионного уравнения. Последнее выражение можно переписать в виде:

В п.4 условие неустойчивости произвольного течения будет получено из энергетических соображений.

§ 4. Методы изучения турбулентных течений

1. Стадии развития начальных возмущений. Переход к турбулентности

Покажем, как развиваются возмущения в неустойчивом случае.

В предыдущем параграфе найдены условия, при которых начальные возмущения растут. Для того чтобы определить, как эти возмущения

развиваются во времени, нужно иметь дело с исходной системой уравнений (3.1)–(3.3) не переходя к линеаризованным уравнениям. Эта задача может быть решена только с помощью численных методов. Или постановкой соответствующего эксперимента.

Исторически сперва были поставлены опыты, затем результаты этих опытов многократно использовались для проверки численных программ. В качестве примера можно привести фотографии границы раздела двух жидкостей, полученные в экспериментах Льюиса [ ], и газов – в экспериментах Василенко [ ] и Зайцева [ ].

Общая картина движения такова: амплитуда первоначально

растет сперва симметрично, а затем несимметрично вверх и вниз, в сторону легкого с большей скоростью, с некоторого момента гладкость поверхности теряется и образуются вихри. Возникает сложное течение, переходящее в турбулентное. Условно можно выделить три стадии.

1) Линейная стадия, когда 0 ≤ ηλ ≤ 0.1 . В этом случае справедливы

линеаризованные уравнения. Возмущение на этой стадии растет вверх и вниз симметрично согласно формуле η = η 0ch gkA t . Однако вскоре

наступает несимметрия и признаки нелинейности – негладкость в поведении границы.

2) На второй стадии, когда 0.1 ≤ ηλ ≤ 0.4 , имеет место образование

пузырей в сторону тяжелого вещества и с выходом на закон η 1 gλ t , и

струй в сторону легкого η 2 gt2 . Время выхода существенно зависит от

регулярной структуры, которое возникает в силу общей неустойчивости течения. Она длится ограниченное время по двум причинам.

Во–первых, при проваливании тяжелых струй в легкое вещество происходит скольжение слоев относительно друг друга, которое приводит к гельмгольцевой неустойчивости и к разрушению границы. На концах тяжелых струй образуются вихри, приводящие в конце концов к

разрушению струи. Ширина зоны, в которой происходит это перемешивание, будет возрастать.

Во–вторых, всплывающие пузыри легкого вещества также неустойчивы: в процессе всплывания будет происходить их объединение

[63].

Эти два неустойчивых процесса приводят к разрушению границы раздела и появлению турбулентного характера перемешивания. Скорость фронта возмущения в сторону тяжелого вещества при каждом укрупнении (объединении) должна возрастать, выходя со временем на линейный закон. В целом возникает область турбулентного перемешивания, развивающаяся, вообще говоря, несимметрично, но по одному и тому же квадратичному закону.

Если при t = 0 начальные данные заданы не в виде синусоиды, а хаотическим образом, то турбулентное течение возникает сразу при t > 0 .

Мы здесь пренебрегли вязкостью, которая может существенно изменить картину течения, затянув ее развитие во времени. Но полностью сделать течение устойчивым вязкость не может.

2. Осреднение по Рейнольдсу

Как описать турбулентность? Это можно сделать на основании уравнений гидродинамики, если произвести их осреднение. Все характеристики движения представляются в виде двух слагаемых: гладкое, отвечающее некоторому осреднению–сглаживанию, и второе слагаемое – включает в себя весь хаос – так называемая пульсационная добавка:

Выпишем четыре очевидных следствия из этих гипотез:

1) f = f ; 2) f ′ = f − f= 0 ; 3) f h = f h ; 4) fh′ = f h ′ = 0 .