Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

0.25c

µ

( c

1

−

c

) 2 Pt2

τ =

ε

ε 2

1

0.5 +

c

( 2P − 1−)

2P

0+.5

c

( 2−P

− 1)

2P

ε 1

0

2

ε 1

0

2

(П.5.4)

точки τ = τ0 ;

=

ε=t

0 системы уравнений (8.8).

k

а) Пусть ε t

→

0 . Тогда урезанная система имеет вид

k

∂

P

k

=

1

;

∂ τ

τ0

∂ ε

Pc

ε

t

=

1 ε 1

;

∂ τ

τ0

k

а ее решением будет

P

(τ− τ ) .

ε

=

const k cε 1 ;

k =

1

τ0

t

0

Из точки τ =

τ0 ;

=

ε=t

0 выходит однопараметрическое семейство

k

интегральных кривых.

б) пусть

ε t

→ ∞

. Тогда систему (П.5.1)

приближенно можно заменить

k

следующей:

∂

ε t

2

k

= −

;

∂ τ

2

cµ k

∂ ε t

cε 2

ε

3

= −

;

∂ τ

cµ k

3

Ее решение ε t =

const

cε 2 противоречит нашему предположению «б».

k

в) пусть

ε t

→

const . В

этом

случае

из

нуля выходит единственное

k

решение

Pc

( c

−

1)

1 µ

ε 2

ε t

=

k ;

τ0

( cε 2

−

1)

P

c

−

c

(τ− τ ) .

k =

1

ε 2

ε 1

τ0

cε 2 −

1

0

Таким образом, поведение интегральных кривых в окрестности

(

,ε t )

изучаемой точки на плоскости

k

будет иметь вид, изображенный на

−

τ0 ε

2+

P τ

2

k

dk

t

1

0

k 2

=

cµ

,

dε t

−

cε 2τ0

ε

2+

Pc

τ

2

ε

0

k

t

1 ε 1

cµ

L0

L0

a)

z

ρ

V 2dx =

2m,

m=

zρ∂

x .

V

где

−

Lm

−

Lm

При больших временах

Lm

>>

1 :

L

ρ 0

− ρ

0

L

m

ρ

20+

1

2Φ

0

Lm

ρ 20 Lm ,

2

2 τ

в)

g ∂ρ dx = gcρ

0

− ρ

0

;

L0

1

2 hL0 1 − e− π

−

z

∂ x

τπ

c

h

Lm

c)

L0 ∂ρ

∂ V 2

dx 0 ;

−

zLm ∂ x

∂ x

2 F ∂ lnρ

I

2

cρ

0

− ρ

0

2

V

L0

dx

2

1

2 h

d )

z

ρ V

G

J

3

;

0

−

L

H

∂

x

K

ρ

1

τ2

m

L0

∂ρ

dx

L e− π

e)

zLm

cρ 10− ρ

20 h

0

.

−

∂τ

2τ

d (

Vm)

2m

g ( ρ 10 − ρ

20 ) L0

( 1− e− π )

+

vV

=

.

2dτ

α 2 L2m

τπ

Если в это уравнение подставить вместо массы

m ее значение ρ 0 L , а

2 m

вместо ширины Lm 2η

, то получим уравнение (9.8).

m τ

−

B

yλ =

y+3

2 y′ ;

(П8.1)

( B +

1)

ς

0

(1 +

B) ς0=

1 −

1.5B

.

(П8.2)

ν

+

y04

2

2

ς

4α λ

0.1

Последнее соотношение получено следующим образом. Уравнение

(9.19) умножено на

ς

и от обеих частей его взят интеграл по области

[ − λ 0.1,λ

0.1 ] , при этом использованы приближенные равенства

λ 0.1

B

(1+

2β )ς

B

∫

λ +

y2 ςς′d λ −

λ ς2 ,

1

B+

1

0.1 0

B +

− λ 0.1

B

λ 0.1

2 y4 ( 0) ς03λ 0.1 .

∫ ς2 y2

λ + ς y2

d

λ

− λ

0.1

B + 1

Дифференциальное уравнение (П8.1) для функции

y есть уравнение

Бернулли. Оно интегрируется,

и

решение

представляется

в виде

1

1 +

B

ς π

0.5

λ B0.5

∆ =

+

Φ

.

( 2 ( B

+ 1)

ς0 )

y

2

( 0)

2B

0

0.5

Удовлетворяя граничным условиям (9.20), имеем

y2

=

2n ( n+

1)

,

2(

1+

B)

ς π

0=.5

n − 1

.

(П8.3)

0

0

n

(λ

0.1)

Из условия δ

=

0.1 находим

λ

=

η 0 ( n − 1)

.

(П8.4)

0.1

π 0.5n