Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

6. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения (10.16)

Построенная теория п.5 базируется на переключении диффузионной модели на сепарационную, причем момент переключения определяется по обращению в нуль кинетической энергии области турбулентного перемешивания. В таком приближении полная сепарация наступит через конечный промежуток времени.

Однако от этого, видимо, неестественного свойства можно легко избавиться, если в рамках рассматриваемых моделей предположить, что переключение определяется по некоторому ненулевому значению кинетической энергии области турбулентного перемешивания. Для этого

следует определить это значение, например, как часть N от кинетической энергии в момент переключения ускорения:

Vc2 = NV02 ,

N 1, и это значение может быть подсказано экспериментом.

Если дальнейшее поведение кинетической энергии области турбулентного перемешивания предположить известным и постоянным, то естественно на сепарационном этапе, в отличие от проведенного выше рассмотрения, учесть диффузионный член (уравнение (10.16)), где

D = α 0 LVc ,

т. е. турбулентная скорость на всем интервале сепарации полагается постоянной.

Такая постановка приводит к тому, что на сепарационном этапе полного разделения смеси не происходит, а при t → ∞ устанавливается некоторый асимптотический профиль плотности, определяемый уравнением

∂ ρ

α s

− 2g1L

( ρ

1−

) (ρ − ρ

2) .

∂ x

α s LVc

(ρ 1−ρ 2 ρ) (

+1ρ

При этом эффективная ширина

L∞

установившегося профиля будет

связана с параметрами задачи следующим образом:

2α

02 ( Φη( 1) ) 3

L .

∞

3η α

N = 0

Очевидно, при

получается

рассмотренное в п.5 решение.

Выбор параметра N остается свободным. На этапе сепарации уравнение для кинетической энергии турбулентности нуждается в уточнении.

Заключение

Проведен анализ модели турбулентного перемешивания Янгса, основанной на использовании системы уравнений многокомпонентной многоскоростной жидкости.

Показано, что в случае несжимаемых жидкостей уравнения модели могут быть сведены к квазилинейному уравнению переноса, свойства которого хорошо изучены. Проанализирована несимметрия перемешивания и установлено, что при больших числах Атвуда она существенно отличается от экспериментальной. Сделано предложение по совершенствованию модели.

Изучена сепарация в условиях применения диффузионных k и kε моделей. Задача сведена к известному уравнению Бюргерса. Показано, что сепарационную добавку следует учитывать только на устойчивом этапе действия ускорения, причем не сразу, а с некоторой затяжкой, определяемой из решения уравнения для кинетической энергии турбулентности.

Проанализированы опыты с сепарацией Янгса и Кучеренко–Пылаева.

В результате анализа определена постоянная сепарации α s :

d	h1	= − α	s A ,	α s = 0.01
d 2 ( s − sc )−	2sc ( −t tc)	= − α	s A ,	α s = 0.01
	&

(10.25)

На основании построенных точных решений возникают следующие вопросы и предложения:

1)Справедлива ли зависимость (10.25) для произвольного числа Атвуда?

Здесь постоянная α s вычислена при значении A = 0.5.

2)Какое решение установится на устойчивом этапе при достаточно большом времени? Для этого в опытах Кучеренко–Пылаева следует продолжить интервал действия устойчивого этапа по сравнению с неустойчивым более чем в 2 раза.

3)Проверить вывод теории об автомодельном характере плотности: в безразмерных переменных он остается одним и тем же на всех этапах. В зависимости от знака ускорения профиль плотности самоподобно «расширяется» либо «сужается».

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Рекомендации для самостоятельного изучения:

1.Условия на ударной волне и контактном разрыве.

2.Уравнения газовой динамики в Эйлеровых координатах.

3.Одномерный случай: независимые переменные x и t.

4.Разрывные решения. Понятия об ударной волне и контактном разрыве. Задача о поршне.

5.Литература: А.А. Самарский, Ю.П.Попов, Разрывные схемы газовой динамики. Глава 1.

6.Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. Глава 2. § 4.

Условия на ударной волне

Уравнения:

∂ ρ

∂

( ρ U ) = 0 −

закон сохранения массы,

∂ t

∂

∂ ρ u

+ ∂

( ρ U )+

∂

0−

закон сохранения импульса,

∂

∂ t

∂

∂ s

u∂

0, или

∂ t

∂

∂ ρ

U 2

−

ε+

−0

закон сохранения энергии.

∂

(П.1.1)

Здесь

– плотность, U – скорость, Р – давление, ε – внутренняя энергия,

ε =

(ρ

,T ) ;

P =

P ( ρ ,T )

– уравнения состояния для идеального газа.

P =

( cp−

cv )

ρ T ; ε =

cvT ; γ=

;

s ( ρ ,T ) . Для идеального газа

и cv – постоянные. s – энтропия s =

S =	R	ln	P	; R= c−	c .	(П.1.2)
	γ − 1		ρ γ
				p	v

В (П.1.2) опущена произвольная постоянная, с точностью до которой определяется энтропия каждой частицы газа.

Ударная волна – разрыв, перемещающийся со скоростью D по массе вещества. Все величины на фронте УВ терпят разрыв.

	Условия на разрыве – условия Гюгонио:
1)	условие сохранения массы:
					ρ 1 (U1 − D) = ρ 0( U−0					D)
2)	условие сохранения импульса:
	ρ	1	(U	1	− D) 2+ P= ρ	0	( U−	0	D+) 2	P
		1		1	1	0		0		0
3)	условие сохранения энергии:

− D) 2

(U −

D) 2

− D) ε

(U−

D)ε+

ρ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Вывод дисперсионного уравнения (3.6)

В § 3 после подстановки (3.5) в (3.6) получена система шести уравнений относительно шести неизвестных функций

U I ′bx1 g, i = 1,2,3, ρ ′bx1 g, P′bx1 g, s′bx1 g :

′

∂

′I

iωρ

′ +

ikρ 3 U3

+ ρik2 U

∂ x

ρ U1

= 0 ,

iω U1′ = −

∂ P−′

ρ ′

g0 ,

∂

iω

U ′

= −

P′

iω

U ′

= −

P′

(П.2.1)

(П.2.2)

(П.2.3)

(П.2.4)

iω s′ = −					′		∂ s
iω s′ = −				U1					,
							∂ x
						1
	∂ρ				F		∂ρ I
	∂ρ				F		∂ρ I
ρ ′ = +			s′ +		G			J P′ .
ρ ′ = +			s′ +		G			J P′ .
	∂ s	P			H		∂ PK s
	∂ s	P			H		∂ PK s

С учетом введенных ранее обозначений

(П.2.5)

(П.2.6)

1 ∂

∂ ln ρ

= −

;

c0=

;

a=0

∂

∂ρ

∂ x1

∂ P

ϕ 0 = − g0 c g+0

c02a0 h .

из (П.2.5) и (П.2.6) следует:

ϕ 0

P′

ρ ′ =

′

iω

При выводе (П.2.7) использовано равенство

∂ρ

∂ s +

∂ρ

∂ P

∂

∂ P

∂ x

или

∂ρ

∂ s

ρ∂ s

∂ x

= a0+

c2=

−

g c2

0 0

Из (П.2.1), (П.2.3), (П.2.4) следует:

2 P′

∂

′I

i ω ρ ′ −

ik1

∂ x

Hρ U1 K

= 0

В (П.2.8) подставим ρ ′

из (П.2.7) и получим

−

k12

I iω P′ +

∂

Fρ

′I

ϕ 0

ρ U ′ =

∂ x1

H c

cω

g0c0

2 J

Последнее уравнение преобразуется в (П.2.10):

F 1

−

iω P′ +ρ

∂ U ′

−

ρ g

′ = 0

H c

∂ x1

;

0 .

(П.2.7)

(П.2.8)

(П.2.9)

(П.2.10)

Уравнение (П.2.10) продифференцируем по x1 и получим (П.2.11):

F 1

−

k 2

∂ P′

∂

′I

−

∂ F

∂ U

′ I

J iω

Gρ

J . (П.2.11)

H c

∂ x

∂

c0 ∂ x1

x1 H

∂ x1 K

Подставим ρ

′

из (П.2.7) в (П.2.2) и получим:

F iω

ρ U

′ = −

∂ P′

−

P′

(П.2.12)

iω

∂ x1

∂ P′

Наконец, находим

из

(П.2.10)

(П.2.11)

P′ и

подставляем в

∂ x

(П.2.12). Тем самым получаем уравнение (3.6).

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Покажем, что искомое решение должно выходить из точки (6.4) и входить в точку (6.5). Для этого нужно установить, что

2λ

1 g

y1 = 0;

y1= ∞

; >y1

Рассмотрим все допустимые

значения

y1:

0 и

конечно.

4) y1 = 0 . Система уравнений (6.2)–(6.3) в окрестности точки bλ

1, 0, 0g

примет вид

2 I

λ 1

ξ ′ =

−

J ,

y′ = −

Можно показать, что среди решений, выходящих из точки bλ 1, 0, 0g нет

искомого, удовлетворяющего очевидным условиям ξ

0, y>

0 .

Действительно, разделив одно уравнение на другое, получим

dξ

3y2 − ξ

ξ .

Видно, что среди кривых, лежащих в квадранте ξ > 0, y> 0 , нет решения, проходящего через начало координат.

5)y1 = ∞ . В этом случае уравнения (6.2)–(6.3) эквивалентны урезанной

системе

+ y2ξ ξI

′ +

F1−

yξ

2 2 I y2 =

H 3

(П.3.1)

2 y′I

−

λ 1+ ξ

′J

=ξ

G y

Безразмерная

комбинация

y2ξ

точке λ = λ 1

равна

нулю.

Действительно, если вернуться к исходным величинам, то

y2ξ

≈ D

∂ ρ

ρ∂ x

т.е. выражение

y2ξ

есть поток смеси и поэтому на фронте перемешивания

равно нулю.

Система (П.3.1) после сделанного замечания заметно упрощается:

2	λ ξ1 ′ = − y2 ,	y′ =	3	y3	.
3
			4λ 1 ξ

Поделив одно уравнение на другое и проинтегрировав, получим:

dy	= −	y	,	y=	cξ	− 1
						2 .
dξ		2ξ

6)y1 > 0 . y1 – постоянная. Урезанная система примет вид

2			2			F
	λ ξ1	′ = −	y1	,	−	G
3	λ ξ1	′ = −	y1	,	−	G
3						H

2				I		F	2	2 y′I
λ	+	1	ξ	′J	ξ=	G y1 +			J ,

3				K		H		y1 K

откуда неминуемо следует, что

y1	=		2		λ	1,	ξ ′λb 1 g = − λ2	1 .

	3						3
Аналогично исследуется другая точка и показывает, что
y2	=	2		λ		2 ,	ξ ′λb 2 g = − λ2	2 .

	3						3
ПРИЛОЖЕНИЕ 4.
Усреднение уравнения (9.7) по области − Lm≤								x≤ L0 .

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

	L0		L0
a)			zρ∂ x .
	z ρ V 2dx = V	2m, где m=
	− Lm		− Lm

При больших временах Lm >> 1 :

в)

d )

ρ 10 − ρ 20

F L0

I I

ΦG

J J Lm

ρ 1 Lm

H 2

τK K

− ρ

;

g ∂ρ dx = gcρ 1

2 hL0 1 − e− π

∂ x

τπ

− Lm

∂ρ

∂ V 2

0 ;

zLm ∂ x

−

∂ x

2 F ∂ lnρ

cρ

− ρ

2 h

ρ V

;

− L

H ∂ x

τ2

∂ρ

dx cρ 10− ρ

L e− π

zLm

20 h

−

∂τ

2τ

Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

∂

ρ 0 − ρ

1−

e− π

2 h

0 c

α 2 L2m =

2∂τ

τπ

Если в это уравнение подставить вместо массы

m ее значение ρ 10 Lm , а

вместо ширины Lm

2η

, то получим уравнение (9.8).

m τ

Приложение 5

Исследование поведения интегральных кривых системы уравнений

(8.8) в окрестности точки L =

ε=t

0 .

В уравнении (8.8) перейдем от L к τ . Получим:

−

;

dτ

cµ k

(П.5.1)

dε

Pε

;

− P

ε 2

t =

ε 1 1

dτ

cµ k

а) Пусть в окрестности нуля

< P

cµ k 2

Тогда систему уравнений (П.5.1) можно заменить следующей

P0+

dτ

dε

ε 1

Полученные уравнения имеют семейство интегральных кривых, выходящее из нуля.

k =

1 −

2P0

;

(П.5.2)

(

0.5− P +

ε t = constτ

ε 1

б) пусть в окрестности нуля

k 2

τ2

Тогда от (П.5.1) перейдем к урезанной системе уравнений.

ε t

= −

;

dτ

cµ k

dε t

cε 2

= −

dτ

cµ

Решения полученной системы уравнений приводят к отрицательным

значениям k , поэтому не рассматриваются.

в) Наконец, остается случай, когда имеет место равенство, т.е.

ε t

= c0 P0

cµ

где

Из первого уравнения системы (П.5.1)

c0 – постоянная. Найдем ее.

следует

∂

= −

∂ τ

0 0

Решением, выходящим из нуля, будет

k =

1 − 2P

(1−

)

Из второго уравнения системы (П.5.1) получаем выражение для

0.25 − P2+

cε 1 ( P−0

0.5)

c0 =

P0 ( cε 1

− cε 2 )

Таким образом, в случае «в» получается единственное нетривиальное решение, имеющее вид

( c

−

)

k =

ε 2

cε 2

( 0 / 5

− P0 )−

0.25+

( c

) 2

0.25 −

P2+

cε 1 ( P−0

0.5)

−

P +

( P−

0.5)

ε 2

1 0.25 −

ε 2

(П.5.3)

К этому следует добавить, что помимо решения (П.5.3), будет также существовать бесчисленное множество решений, имеющих разложение (П.5.2).Естественно, возникает вопрос о выборе нужного решения. Квадратичный закон развития ширины области перемешивания от времени

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Волны

#
15.08.201330.89 Mб136Крауфорд Ф. Волны.pdf
#
15.08.201330.99 Mб93Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.pdf
#
15.08.20131.54 Mб45Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000).pdf
#
15.08.201323.96 Mб576Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.pdf