Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

Волны / Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2013

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

t ≤ t0 будет неустойчивой. На этой стадии граница раздела разрушится и

начнется перемешивание. После смены знака ускорения наступит II устойчивая стадия. Как будет вести себя турбулизовавшаяся смесь? Для ответа на этот вопрос были поставлены эксперименты вначале в Алдермастоне [6], затем в Снежинске [14].

В экспериментах ампула с двумя несжимаемыми жидкостями сперва ускорялась до t = t0 . В этот момент ускорение меняло знак, и затем при

t = t1 снова происходила смена знака ускорения. В [14] были предприняты

попытки сделать ускорение на каждом этапе по возможности постоянным. Это обеспечивало автомодельность процесса турбулентного перемешивания на I стадии:

h1 = α m Ag0t2 .

В [14] показано, что и на II стадии устанавливается режим, описывается следующей формулой:

h =	h −	α	2 −s s−		s −( t t		) ,
1	max	s		c	&	c
					c

который

(10.1)

где α s – новая эмпирическая постоянная сепарации в отличие от

постоянной перемешивания α m метится индексом	&
	“s”, hmax, sc и sc

соответственно максимальное значение ширины области смеси в сторону тяжелого, координата первоначальной границы раздела и ее скорость в

момент tc . Последняя формула является обобщением на случай переменного ускорения. Обработка экспериментов [14], проведенных для

A = 0.5 , дала α s = 0.01. Постоянная сепарация оказалась в 7 раз меньше постоянной перемешивания α m = 0.07 .

В экспериментах на III этапе, когда ускорение снова сменило знак [14], наблюдается рост ширины области перемешивания после прохождения

второй экстремальной точки, когда h1 принимает максимальное значение.

Также отметим, что в экспериментах [14] было показано, что максимальное значение ширины hmax наступает через некоторое время

tc − t0 после смены знака ускорением. предлагаемые ниже ks и kε s

модели передают и эту особенность эксперимента.

3. Модель Янгса. Аналитические решения

Анализ системы уравнений для многокомпонентной жидкости [ ] приводит в частном случае двух несжимаемых жидкостей к системе двух уравнений для плотности ρ и для масштаба длины L :

∂ ρ

∂

g0 L

( ρ − ρ

) (ρ

− ρ

)

(10.2)

∂ x ( ρ 1− ρ 2 ρ)

∂ t

∂ L

( ρ 1+ ρ −2

ρ2 )

g0 L

∂ L

2 ( ρ 1 − ρ 2 ) g0 L

∂ t

( ρ 1− ρ 2 ρ)

c1∂

ρ( +1ρ

2 ) c1

(10.3)

Эти уравнения

получены

в предположении,

что

g0 ( ρ 1 − ρ

2 )> 0 . В

противном случае выражение под корнем должно браться по модулю, а перед корнем знак меняется на противоположный. Напомним, что знак

выражения g0 ( ρ 1 − ρ

2 )

связан

со

знаком инкремента и характеризует

соответственно неустойчивую

( >

устойчивую ( < 0)

ситуации.

первом случае ширина области перемешивания возрастает и масштаб

растет, во втором случае имеет место сепарация и L убывает. Это следует

из уравнения (10.3). c1

– дополнительная

эмпирическая

постоянная,

введенная в работе [ ].

Для уравнений (10.2), (10.3) рассмотрим простейшую задачу. Будем

полагать, что при t =

0 имеем две несжимаемые жидкости, граничащие в

точке x0 = 0 :

= ρ

при

(10.4)

= ρ

при

причем, как и раньше,

ρ 2 <

. Пусть ускорение g0 со временем дважды

меняет знак:

0≤

≤t

t ;

g =

t≤

≤t

(10.5)

t ;

t ≤

t. 1

Заметим, что сформулированный пример необходим для оценки влияния сепарации. В эксперименте при таком законе ускорения ширина на первом этапе будет расти, достигнув максимального значения начнет уменьшаться, и затем снова расти.

Цель настоящего параграфа – построить точное решение при постоянном ускорении; на основании профиля смеси получить формулу для ширины области смеси и сравнить ее с известной зависимостью

h = α	m	Ag	t2 ,	(10.6)
1	m	0

где h1 – ширина области перемешивания в сторону тяжелого вещества.

Соответственно, через h2 обозначим ширину в сторону легкого вещества.

Это позволит получить связь введенной постоянной c1 с эмпирической постоянной α m .

Сделаем одно предположение, которое существенно упростит задачу. Анализируя поведение коэффициента при втором члене в уравнении (10.3), видим, что он в зоне перемешивания меняет знак и обращается в нуль при

ρ =	ρ 1 + ρ 2	. Изменение коэффициента	ρ 1 + ρ 2−	ρ2	происходит в
			( ρ 1 − ρ	2ρ)
2

	−	ρ 1 − ρ 2	, ρ	1−ρ	2
интервале						. При малом числе Атвуда есть все

		ρ 1		ρ 2

основания этим членом пренебречь, но мы делаем это и в общем случае для любого A . Как легко видеть, при таком допущении уравнение (10.3) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для масштаба

длины Lt

и легко интегрируется.

В этом разделе, если масштаб длины

зависит только от времени, будем метить его индексом t

внизу. Значение

зависит только от времени,

поэтому уравнение (10.2) для плотности

смеси интегрируется.

Итак, при постоянном ускорении имеем

= L +

( ρ 1 − ρ

2 ) g0

(10.7)

( ρ 1 + ρ

2 ) 2c1

В уравнении (10.2) перейдем к автомодельной переменной

(10.8)

После несложных преобразований получим

(ρ

+ρ

)

ρ2

ρ( 2 ρ−

ρ−

ρ−)

ρ(− ρ ρ) (−

)

d ρ

−

= 0

2ρ (ρ

−ρ

) ρρ2

d λ

. (10.9)

Чтобы удовлетворить краевым условиям (10.4), достаточно приравнять нулю выражение в фигурных скобках.

Заметим, что устойчивое разрывное решение (10.4) имеет место при g0 < 0 . Это следует из поведения характеристик исходного уравнения

(10.3). В этом случае они будут пересекаться по оси x = 0 , и первоначально заданное разрывное решение будет сохраняться во времени.

Если g0 > 0 и согласно (10.4) легкое вещество находится слева от

начала координат, то разрывное решение неустойчиво. В этом случае решением будет функция

λ =

(ρ +ρ

) ρ2 ρ( 2 ρ−

ρ−

ρ−) ρ(−

ρ ρ) (−

)

2ρ (ρ 1 −ρ 2 ) ρρ2

(10.10)

Определим три характерные точки профиля

λ 1

и λ 2 ,

соответствующие фронтам перемешивания, и ρ 0

в точке λ

0 .

λ 2

= −

ρ 1 + ρ

2ρ 2

ρ 1 + ρ

λ 1

= −

(10.11)

2ρ 1

6 (

)

ρ 0 = ρ λ( =

0)=

+ 1ρ + 2 ρ (+ ρ 1

2 )ρ ρ

3 1 2

Если использовать (10.7) и (10.8), то получим

h1 =

λ 1Lt

+ ρ

−ρ

g t2

2ρ 1

ρ 1 +ρ 2

2c1

Сравнение с (10.6) дает искомое выражение для c1 :

c1 =

1 + ρ

2ρ 1

2α m

Рассмотрим решение при условии смены знака ускорения. Легко

заметить, что

при

t ≤ t0

оно будет

определяться

выше

полученными

формулами (10.8), (10.10), (10.11). После смены знака ускорения, согласно (10.8), будем иметь

L =

t +

( t−

t) .

2c1

Очевидно, разрыв восстановится при

= 1+

−

. Здесь, как и в

[6], использовано одно и то же значение постоянной c1

независимо от знака

ускорения, хотя, как показано выше, это не так.

4. Модификация модели Янгса

Для того, чтобы оценить свойства полученного решения, необходимо обратиться к результатам экспериментов Кучеренко–Пылаева [9] и Янгса– Рида [6]. Лучше всего сравнивать профили ρ для смеси. Выберем две

характеристики профиля: значение плотности смеси в точке начального

положения границы ( x = 0) и меру несимметрии h2 . Совокупный анализ h1

экспериментальных профилей вместе с теоретическим изучением приводит к выводу [2]: если ширины области перемешивания h1 и h2 определять эффективно, отходя от фронта перемешивания внутрь области

перемешивания, то несимметрия h2 изменяется в ограниченных пределах. h1

Несимметрия решения предыдущего пункта значительно отклоняется

от допустимой:

= −

λ=2

n .

Это видно из рис. 7.4. Так для

λ 1

n = 3 в экспериментах

[1.19÷

1.27] , в теории по Янгсу

= 1.73.

( 0)

Плотность

модели

Янгса

согласно

(10.11)

есть

lim ρ ( 0) =

0.33ρ

1 ,

тогда

как

из

[6]

и [9]

следует,

что

опытах.

ρ 2 → 0

lim ρ ( 0) =

0.45ρ

1 .

Таким

образом,

профиль с

симметричным

ρ 2 → 0

перемешиванием в обе стороны будет меньше отклоняться от

экспериментального, т.к. тогда lim ρ ( 0) = 0.5ρ	1 .
ρ 2 → 0

Модель с такими свойствами легко получается, если в формуле (10.2)

плотность

заменить ее средним значением

ρ 1 + ρ 2

Уравнение для

ширины L берется в форме (10.3). Уравнение для плотности смеси примет

вид

∂ ρ

∂

2g0 L

( ρ −

ρ ) (ρ − ρ

) .

(10.13)

∂ t ( ρ 1−

ρ 2 ) (ρ +1 ρ

∂ t

2) c1

Если, как и раньше, пренебречь переносным членом в (10.3) (второй член в

левой части), то решение получим в виде линейной функции от λ

ρ 1 + ρ

2 +

1−ρ

2λ

(10.14)

Очевидно, λ 1 = −

1 и

ρ 0

ρ 1 + ρ 2

Постоянная

связана с

равенством c =

Учет сепарации

k –модели

на

основании

уравнения

переноса ( ks – модель)

Выше было показано,

что диффузионные

k и kε модели вполне

удовлетворительно описывают широкий класс задач с переменным ускорением, в том числе задачи с выключенным ускорением и с тонким слоем. Сепарация может быть описана путем введения переносных членов по схеме предыдущего пункта, однако подключение ее требует особого

исследования.

Для написания исходных уравнений модели используем уравнение

(10.13). Запишем его вместе с диффузионным членом:

∂ ρ

∂

(ρ − ρ ρ) ( − ρ

)

∂

( ρ−

) (ρ +

)

∂ t

∂

(10.16)

где

D =

α 0 LV ; если

g >

0 , то берется знак “+”, если g <

0 , то берется

знак “–“.

Здесь учтены оба процесса: диффузии и переноса. Переносной член играет основную роль в определении решения. Это уравнение при некоторых ограничениях сводится к известному обобщенному уравнению

Бюргерса [13], свойства решений которого хорошо изучены. Переносной член с коэффициентом α s является главным в определении интенсивности

турбулентного перемешивания, диффузионный член становится добавкой, размывающей основное решение. Причем в нашем случае это размытие происходит на фронтах перемешивания.

Поэтому наиболее естественный способ учета сепарации раздельный.

	∂ ρ	>	0
На неустойчивой стадии g				следует применять только
На неустойчивой стадии g	∂ x			следует применять только
	∂ x

		∂ ρ
диффузионную модель (α s =	0) , на устойчивой g		<	0	–	только
диффузионную модель (α s =	0) , на устойчивой g	∂ x	<	0	–	только
		∂ x

сепарационную ( D = 0) . Как осуществлять переход с одних уравнений на

другие?

Для этого нужно привлечь уравнение баланса кинетической энергии

турбулентности (5.5). Отметим, что теперь генерационный член

∂ ρ

Dg ∂ x следует учитывать при любом знаке.

Переход к сепарационной модели ( D = 0, α s≠ 0) увяжем со

значением турбулентной скорости. После смены неустойчивой стадии на устойчивую скорость V начнет падать, стремясь к нулю. Сепарация, как показывают эксперименты, наступает не сразу после смены знака ускорения, а через некоторый промежуток времени. Этот промежуток определяется из уравнения (5.5), когда скорость на устойчивой стадии обратится в нуль. Конечно, обращение турбулентной скорости в нуль скорее всего является недостатком модели. Поэтому в п.6 рассматривается случай, когда эта скорость принимает некоторое постоянное значение.

Точные количественные соотношения будут получены после осреднения уравнения (5.5).

Осредненное уравнение для V и уравнение для ширины удобно записать в следующем виде: (7.12) и (7.13)

Φ(η 1)

V 2

gA ,

(10.17)

2η 12

8η 1α2

(10.18)

где α m =α .

Полученная система уравнений (10.17), (10.18) интегрируется при любом законе ускорения g . Рассмотрим ступенчатое ускорение согласно

получается интегрированием (10.18):

(10.5). Для простоты будем полагать в начальный момент нулевые начальные данные

		( 0) = 0, L( 0) = 0 .
V			(10.19)

Тогда из (10.17) и (10.18) следует решение I этапа. Мы продолжаем его во

второй этап до тех пор, пока скорость V не обратится в нуль. Этим самым определится переходное время tc , при котором происходит смена моделей.

Решение уравнений (10.17) и (10.18) при условии (10.19) и (10.5) есть

Φ(η 1)

g0 AL

0 ≤

t≤

t0 ,

2η 1 (1

+ 4k)

V 2 =

Φ(η

)

g AL

1+ 4k

1−

t≤

≤t t

2η

+ 4k)

	8α η2 2Φη			(	1	)	g	0	At2			0 ≤ t≤ t0 ,
L =		m	1		1			0			,
			1 +		4k						,
			1 +		4k
			L ≤	L≤			L		,	t≤		≤t t	.
			0				c			0		c

Зависимость ширины от времени на интервале t0 ≤ t≤ tc определится после интегрирования уравнения (10.18). Значение ширины Lc вычисляется как решение уравнения

При значении ширины L2


−			L0	4k = −		g0	.	(10.20)
−				4k = −			.	(10.20)
	Lc					g1
скорость V					обращается в нуль:
		( Lc ) = 0 ,
V		( Lc ) = 0 ,						(10.21)

поэтому согласно (10.18) при t = tc ширина достигает своего максимального значения.

Заметим, что экспериментально измеренные отношения Lc и tc

L0 t0

возможность дополнительного контроля правильности выбора степени которая на I этапе при A = 0 есть 5 .

Время tc

дают

4k ,

t =	t +	1		Lc	1	dL .
t =	t +	8η α2				dL .
c	0	8η α2		∫ V
c	0
		1	m L
			0

Подынтегральную

функцию

на

интервале

L0 ≤ L≤ Lc

можно

приближенно заменить следующей:

−

2η

(1 + 4k)

−

Φ(

)

g AL

L −

Тогда интеграл легко берется, и для tc имеем

tc = t0+

−

2 (1 +

4k)

( L−c

L0 ) .

Φη( 1) g1 AL0

4ηα1 m

Время tc

служит для переключения на сепарационное уравнение

∂ ρ

= −

− 2g1L

(ρ

−

ρ2

)∂

(10.22)

∂ t

( ρ 1− ρ 2 ) (ρ +1 ρ

∂

Начальными данными для этого уравнения будет распределение

плотности из (7.4) на момент t =

tc :

ρ (

x, tc ) =

ρ 1 + ρ 2

ρ 1−ρ

η 1Lc

Уравнение для ширины определится из характеристического

уравнения

= −

−

2gΦA

η(

)

(10.23)

при условии t = tc ,

L= Lc .

Очевидно, что на втором

этапе

при

t ≥

ширина

после

интегрирования (10.23) примет вид

η(

1) (−t

tc) .

L =

Lc −

α s −

2g1ΦA

(10.24)

Последнее уравнение дает выражение для следующей критической точки, когда L = 0 :

tcc =	tc+		Lc		.
		α s	− 2g1 AΦ η(	1)

В нашем случае при t = t1 ,			если ускорение снова меняет знак,

наступит неустойчивая стадия, на которой будут действовать уравнения диффузионной модели (10.17) и (10.18) при условии, что


	( t ) = 0; L = L( t )=			L−	α −	2Φg A η(		)−( t t ) ,
V	( t ) = 0; L = L( t )=			L−	α −	2Φg A η(	1	)−( t t ) ,
1		1	1	c	s	1	1	1	c

где ширина L1 заведомо не равна нулю.

Решением на этом этапе будет

1 + ρ

1−ρ 2

Φ(η 1) g2 A

, L=

L+1 4αη 1

−( t t1)

1 +

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Волны

#
15.08.201330.89 Mб136Крауфорд Ф. Волны.pdf
#
15.08.201330.99 Mб93Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.pdf
#
15.08.20131.54 Mб45Неуважев В.Е. Математическое моделирование турбулентного перемешивания (2000).pdf
#
15.08.201323.96 Mб576Рабинович М.И. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.pdf