Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

464 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

´ Ys3s4 (x3 , x4 , t) - ys3 (x3 , t) ys4 (x4 , t)

èсовершим функциональное интегрирование по новому полю «пары» Y(x, s, x¢, s¢, t) и по электронному полю y. Это возможно, потому что добавка DL квадратична по полям пар, а коэффици-

ент при слагаемом второго порядка не зависит от поля, поэтому,

согласно приложению к гл. 9, интегрирование по Yss′(x, x¢, t) в функциональных интегралах сводится к тому, что Yss′(x, x¢, t)

надо положить равным значению в стационарной точке лагран-

жиана Yss′(x, x¢, t) = ys(x, t)ys′(x¢, t), в которой DL = 0. Дополни-

тельное слагаемое выбрано так, чтобы слагаемые в сумме L + DL, которые четвертичны по электронным полям, сократились, и

остались только квадратичные по этим полям члены:

Переходим к самому главному. Мы показали, что взаимодействие V несущественно, за исключением случаев, когда оно действует на пару электронных линий, переходящих в вакуум. Когда мы вычисляем квантовое эффективное действие G[Y] в присутствии внешнего медленно меняющегося поля пар Yss′(x, x¢, t), ýòî îçíà-

чает, что мы опускаем все диаграммы, за исключением тех, которые становятся несвязными после разрезания по любой внутренней линии Y. Однако общее определение квантового эффективного

действия требует, чтобы мы отбросили все диаграммы, которые

становятся несвязными после разрезания по любой внутренней линии. Следовательно, мы не должны вообще включать никаких внутренних линий Y. Так как электронное поле входит в выраже-

ние (21.6.50) квадратично, единственные выживающие диаграммы после интегрирования по электронным полям — это диаграмма с одной вершиной, возникающая от последнего слагаемого в квадратных скобках в (21.6.50), и однопетлевая диаграмма, которая по тем же соображениям, что и в разделе 16.2, дается логарифмом детерминанта от коэффициента при квадратичных по электронным полям слагаемых:

(Здесь и ниже мы игнорируем аддитивную постоянную в G, âîç-

никающую от тех мод, по которым произведено интегрирование.) Это одна из задач, в которой можно вычислить эффективное действие, не делая каких-либо предположений о малости взаимодействия в лагранжиане.

Чтобы упростить дальнейшее обсуждение, ограничимся слу- чаем синглетного по спину спаренного поля

466 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

где нижние индексы + и – соответствуют спиновым индексам +1/2 и –1/2, соответственно *. С учетом инвариантности относительно вращений по спиновым индексам, необходимые компоненты потенциала имеют вид

Используем сначала эти результаты для рассмотрения трансляционно инвариантного случая без внешних электромагнитных полей.

* В жидком Не3 неисчезающие компоненты спàренного ïоля образуют спиновый триплет с компонентами Ψ1 = Ψ+ + , Ψ0 = 2Ψ+ − = 2Ψ−+, Ψ−1 = Ψ− −

Тогда поля пары и щели можно записать как фурье-преобразо- вания

а электрон-электронный потенциал принимает в данном случае вид

После перехода в представление волновых чисел и частот «матрицы» (21.6.60) и (21.6.61) становятся диагональными, и вычисление детерминанта становится тривиальным. ффективный потенциал (не путать с электрон-электронным потенциалом) был определен в разделе 16.1 как взятое со обратным знаком эффективное действие в единице пространственно-временного объема:

V[Ψ] ≡ −Γ[Ψ] / V 4

(×ëåí iε может быть получен из фейнмановских правил для элект-

ронных петлевых диаграмм, и, как показано в разделе 9.2, он в конце концов возникает из условий на электронное поле при t → ±∞.) Совершая виковский поворот, интегрируя по ω и выражая Ψ через , получим

468 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Как мы видели в разделе 16.1, уравнения поля являются просто условием стационарности эффективного действия, которое в нашем случае приводит к знаменитому уравнению для щели для равновесной функции щели 0(p):

или, в более знакомом виде,

Везде выше все интегралы по импульсам неявно понимались как ограниченные импульсами вида (21.6.39) внутри тонкой оболочки толщиной κ вокруг поверхности Ферми. Тогда эффективный потен-

циал (21.6.69) имеет вид

Теперь эффективный потенциал следует понимать как функционал только от функции щели на поверхности Ферми.

Поскольку κ произвольно, потенциал V(k′, k) должен имет такую зависимость от κ, чтобы V[ ] был независим от κ. В большин-

стве приложений 44 методов ренормгруппы к сверхпроводимости используется описанный в разделе 12.4 подход Вильсона, заключа- ющийся в выводе дифференциального уравнения для зависимос-

470 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Конечно, зависимость от μ электрон-электронного потенциала Vμ должна быть выбрана так, чтобы удовлетворять уравне-

нию ренормгруппы, обеспечивающему выполнение условия, что эффективный потенциал (21.6.74) не зависит от произвольного масштаба перенормировки μ:

Поэтому собственные векторы un(k) ÿäðà Kμ(k, k′) не зависят от μ, в то время как собственные значения принимают вид 1/ln(Λn/μ), ãäå Λn — константы интегрирования типа Λ в квантовой хромоди-

намике. Таким образом, получаем следующее выражение для потенциала

где собственные векторы выбраны ортонормированными, так что условие полноты принимает вид

472 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Это свойство сверхпроводимости, заключающееся в том, что голдстоуновский бозон образует притягивающий потенциал, как бы слаб этот потенциал не был, есть следствие существования ферми-поверхности, усиливающей эффекты дальнодействия. В квантовых теориях поля, не содержащих элементарных бесспиновых полей типа рассмотренных в разделе 21.5, мы обычно не должны ожидать спонтанного нарушения симметрии в пустом пространстве, если только взаимодействия не достаточно сильны.

Вернемся к случаю внешнего электромагнитного поля. Как обычно, можно ввести поле голдстоуновского бозона j(x, t), çàïè-

сав каждое заряженное поле в теории, которым в данном случае является щелевое поле D(x, x¢, t) или спаренное поле Y(x, x¢, t),

как калибровочное преобразование с калибровочным параметром j(x, t), действующее на соответствующее калибровочно инвариан-

тное поле, которое мы отмечаем знаком тильды:

Y(x, x¢, t) = expb-ij(x, t)gY~ (x, x¢, t) expb-ij(x¢, t)g. (21.6.83)

После этого эффективное действие определяется подстановкой (21.6.83) в (21.6.59). С помощью калибровочного преобразования можно теперь устранить зависимость от j в выражении (21.6.83), подразумевая при этом, что Aμ(x) в формуле (21.6.60) заменено на Aμ(x) – ¶μj(x). Если вещество не только сверхпроводящее, но на-

ходится в состоянии, далеком от точки перехода между сверхпроводящим и нормальным состояниями, можно также проинтегрировать по калибровочно инвариантным степеням свободы, связанным с полем Ψ~ (x, x′, t) , что означает просто его замену на равновесное значение Y0(x,x¢, t). Зависящая от голдстоуновского и внешнего

электромагнитного полей часть эффективного действия имеет тогда вид