шпоргалки по логике

18. Сложным называется суждение, в составе которого можно выделить хотя бы одно простое суждение. В зависимости от союза, с помощью которого простые суждения входят в состав сложного, выделяется, как правило, шесть видов сложных суждений.

1. Конъюнктивное суждение или конъюнкция — это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком «/\». С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы а /\ в (читается «а и в»), где а и в — это два каких-либо простых суждения. «Сверкнула молния, и загремел гром» является конъюнктивным или конъюнкцией.

2. Дизъюнктивное суждение или дизъюнкция — это сложное суждение с разделительным союзом «или». Этот союз может использоваться как в неисключающем значении, так и в исключающем.

Нестрогая дизъюнкция — это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его неисключающем значении, который обозначается условным знаком \/. «Он изучает английский, или он изучает немецкий» является нестрогим дизъюнктивным или нестрогой дизъюнкцией двух простых суждений.

Строгая дизъюнкция — это сложное суждение с разделительным союзом «или» в его исключающем значении, который обозначается условным знаком «\/». «Он учится в 9 классе, или он учится в 11 классе» является строгим дизъюнктивным или строгой дизъюнкцией двух простых суждений.

19.

3. Импликативное суждение или импликация — это сложное суждение с условным союзом «если… то». «Если вещество является металлом, то оно электропроводно» представляет собой импликативное суждение или импликацию двух простых суждений.

4. Эквивалентное суждение или эквиваленция — это сложное суждение с союзом «если… то» не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентом). «Если число является четным, то оно делится без остатка на 2» представляет собой эквивалентное суждение или эквиваленцию (равенство, тождество) двух простых суждений.

5. Отрицательное суждение — это сложное суждение с союзом «неверно, что…», который обозначается условным знаком ¬. С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы ¬а (читается «неверно, что а»), где а — это какое-либо простое суждение. «Неверно, что все мухи являются птицами».

Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Таблица истинности:

1) оба простых суждения истинные;

2) первое суждение истинное, а второе ложное;

3) первое суждение ложное, а второе истинное;

4) оба суждения ложные.

20. Отношения между сложными суждениями.

Сложные суждения также могут быть сравнимыми и несравнимыми.

Несравнимые — это суждения, которые не имеют общих пропозициональных переменных. Сравнимые — это суждения, которые имеют одинаковые пропозиционные переменные и различаются логическими связками. Например, сравнимым является: «Норвегия или Швеция имеют выход в Балтийское море» (А v В); «Ни Норвегия, ни Швеция не имеют выхода в Балтийское море» (¬А ˄ ¬В). Хотя эти суждения различны по логической форме (первое из них — дизъюнктивное суждение, а второе — конъюнкция отрицаний), вместе с тем они сравнимы, поскольку включают одинаковые переменные.

По значению истинности формулы бывают совместимые и несовместимые.

Совместимыми называются суждения, которые могут принимать одинаковое значение истинности. Несовместимыми называются суждения, которые не могут принимать одинакового значения истинности.

В качестве фундаментальных логических отношений выделяют отношения совместимости по истине, совместимости по лжи и отношение логического следования.

Формулы называются совместимыми по истине, если и только если, в совместной таблице истинности есть хоть одна строка, где они одновременно истинны.

Формулы называются совместимыми по лжи, если и только если, в совместной таблице истинности есть хоть одна строка, где они одновременно ложны.

На основе фундаментальных логических отношений могут быть определены другие логические отношения между формулами

Отношения противоречия – отношение между формулами не совместимыми ни по истине, ни по лжи. Отношение противоположности – отношение между формулами совместимыми не совместимыми по истине, но совместимыми по лжи.

Отношение логической эквивалентности – это отношение между формулами, которые принимают одинаковое значение истинности. Отношение частичной совместимости – отношение между формулами совместимыми по истине и не совместимыми по лжи (в совместной таблице есть хоть одна строка, где они одновременно истинны, но нет ни одной строки, где они одновременно ложны).

Отношение логического подчинения – это отношение между формулами, в которых одна следует из другой, но не наоборот.

Отношение логической независимости – это отношение между формулами, которые совместимы по истине, совместимы по лжи и не следуют одна из другой.

Умозаключение форма мышления в которой из одного или нескольких суждений на основе определенных правил вывода получаем новое суждение с необходимой или определенной степенью вероятности следования из них. Умозаключение бывает непосредственным и опосредствованные. В непосредственном вывод строится и по первому суждению путем его преобразования истинности и ложности подчинения и несовместимых суждений. В опосредствованных вывод делается из двух или нескольких суждений лог связанных между собой. Также умозаключения различают 3 составных компонента: исходное значение (посылка), обосновывающее значение (лог основа вывода), выводное значение (заключение).

Умозаключение и виды:

1) Дедуктивное - умозаключение у которой между посылками и заключением имеется отношения лог следования (все рыбы дышат жабрами. Все окуни – рыбы. Все окуни дышат жабрами.)

2) Индуктивное – умозаключение в ходе которой используемое значение частного порядка мы получаем возможность делать общее заключения.

3) По аналогии – рассуждение в ходе которой сопоставляя различные явления мы обнаруживаем в них новые свойства на основе сходства между объектами, по ранее изученным признакам.

В структуре умозаключения различают два основных более или менее сложных элемента: посылки (одна или несколько) и заключение, между которыми, конечно, существует определенная связь.

Посылки – это исходное, уже известное знание, служащее основанием для умозаключения.

Заключение (или вывод) – производное и притом новое знание, полученное из посылок и выступающее их следствием.

Связь между посылками и умозаключением есть необходимое отношение между ними, делающее возможным переход от одного к другому, – отношение логического следования.

22. Суждение, полученное в результате преобразования, — как заключение, умозаключения, построенные посредством преобразования суждений, называются непосредственными. К ним относятся: 1)превращение, 2) обращение, 3) противопоставление предикату, 4)умозаключения по логическому квадрату.

Выводы в каждом из этих умозаключений получаются в соответствии с логическими правилами, которые обусловлены видом суждения — его количественными и качественными характеристиками.

1. Превращение.Преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения, называется превращением. Превращение опирается на правило: двойное отрицание равносильно утверждению: m р= р. Превращать можно общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные суждения.

1. Общеутвердительное суждение превращается в общеотрицательное. Например: «Все сотрудники нашего коллектива — квалифицированные специалисты. Следовательно, ни один сотрудник нашего коллектива не является неквалифицированным специалистом».

2. Общеотрицательное суждение превращается в общеутвердительное. Например: «Ни одно религиозное учение не является научным. Следовательно, всякое религиозное учение является ненаучным».

3. Частноутвердительное суждение превращается в частно-отрицательное . Например: «Некоторые государства являются федеративными. Следовательно, некоторые государства не являются нефедеративными».

4. Частноотрицательное суждение превращается в частноутвердительное. Например: «Некоторые преступления не явля ются умышленными. Следовательно, некоторые преступления являются неумышленными».

2. Обращение.

Преобразование суждения, в результате которого субъект исходного суждения становится предикатом, а предикат — субъектом заключения, называется обращением. Различают простое (чистое) обращение и обращение с ограничением. Простым, или чистым, называется обращение без изменения количества суждения. Так обращаются суждения, оба термина которых распределены или оба не распределены. Если же предикат исходного суждения не распределен, то он не будет распределен и в заключении, где он становится субъектом. Поэтому его объем ограничивается. Такое обращение называется обращением с ограничением.

22. 1.Общеутвердительное суждение обращается в частноутвердительное, т.е. с ограничением. Например: «Все студенты нашей группы сдали экзамены). Следовательно, некоторые сдавшие экзамены— студенты нашей группы ». В исходном суждении предикат не распределен, поэтому он, становясь субъектом заключения, также не распределен. Его объем ограничивается («некоторые сдавшие экзамены»).

2.Общеотрицательное суждение обращается в общеотрицательное , т.е. без ограничения. Например: «Ни один студент нашей группы не является неуспевающим . Следовательно, ни один неуспевающий не является студентом нашей группы». Простое обращение этого суждения возможно потому, что его предикат («неуспевающие») распределен.

3.Частноутвердительное суждение обращается в частноутвердительное . Это простое (чистое) обращение. Предикат, не распределенный в исходном суждении, не распределен и в заключении. Количество суждения не изменяется. Например: «Некоторые студенты нашей группы— отличники Следовательно, некоторые отличники— студенты нашей группы.

4.Частноутвердительное выделяющее суждение (предикат распределен) обращается в общеутвердительное. Например: «Некоторые общественно опасные деяния являются преступлениями против правосудия .Следовательно, все преступления против правосудия являются общественно опасными деяниями».

3. Противопоставление предикату.

Преобразование суждения, в результате которого субъекта становится понятие, противоречащее предикату, а предикат том — субъект исходного суждения, называется, противопоставлением предикату.

Противопоставление предикату может рассматриваться как результат превращения и обращения: превращая исходное суждений S — Р, устанавливаем отношение S к не-Р; суждение, получение путем превращения, обращается, в результате устанавливается отношение Р к S.

Заключение, полученное посредством противопоставления предикату, зависит от количества и качества исходного суждения.

4. Умозаключения по логическому квадрату.

Учитывая свойства отношений между категорическими суждениями А, Е, I, О, можно строить выводы, устанавливая следование истинности или ложности одного суждения из истинности или ложности другого суждения.

23. Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями. Например:

Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея

Петр — брат Сергея

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным, если оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Записывается: xRy -> yRx.

2. Отношение называется рефлексивным, если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а=Ь, то а=а и Ь=Ь) и одновременности. Записывается: xRy -> xRx л yRy.

3. Отношение называется транзитивным, если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является переходным тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.

Записывается: (xRy л yRz) -> xRz.

Истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным.

24. Силлогизм – это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений – посылок, связанных общим термином, получается третье суждение – вывод.

Простой категорический силлогизм — рассуждение, состоящее из трёх простых атрибутивных высказываний: двух посылок и одного заключения. Посылки силлогизма разделяются на большую (которая содержит предикат заключения) и меньшую (которая содержит субъект заключения). По положению среднего термина силлогизмы делятся на фигуры, а последние по логической форме посылок и заключения — на модусы.

Пример силлогизма:

Всякий человек смертен (большая посылка)

Сократ — человек (меньшая посылка)

Сократ смертен (заключение)

В силлогизм входит ровно три термина:

S — меньший термин: субъект заключения (входит также в меньшую посылку);

P — больший термин: предикат заключения (входит также в большую посылку);

M — средний термин: входит в обе посылки, но не входит в заключение.

Аксиома силлогизма выражается так: все, что утверждается относительно всего класса предметов, распространяется на любой предмет этого класса. Что верно относительно рода, то верно и относительно всех предметов или видов этого рода. И наоборот – не присуще роду, то не присуще и видам, входящим в данный род.

Отражая объективные свойства и отношения вещей, аксиома силлогизма выражает связь понятий – терминов прежде всего по их содержанию. Но так как связь понятий по содержанию определяет их отношение по объему, то аксиома выражает также объемные отношения терминов силлогизма. Эти отношения можно выразить круговыми схемами, показав несовместимость или совместимость объемов понятий, отражающих признаки определенных классов предметов.

25. Силлогизм – дедуктивное умозаключение, в котором из двух суждений следует третье суждение. В зависимости от вида суждений, входящих в силлогизм, различают:простой категорический силлогизм – дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических посылок (суждений), связанных средним термином (при соблюдении определенных правил), обязательно следует заключение. Например:

Все люди (М) дышат кислородом (Р)

Р кислородом дышу S Я

М человек S Я

Анализ структуры силлогизма следует начинать с заключения. Субъект заключения называется меньшим термином и обозначается буквой S; предикат заключения называется большим термином и обозначается буквой Р; термин, связывающий две посылки и не входящий в заключение, называется средним термином и обозначается буквой М

S – меньший термин – «Я»;

Р – больший термин – «дышат кислородом»;

М – средний термин – «человек».

Посылка, содержащая больший термин, называется «большой посылкой» («Все люди дышат кислородом»). Посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой («Я - человек»).

Существуют правила терминов простого категорического силлогизма:

1. В силлогизме должно быть только три термина (меньший, больший, средний). Нарушение этого правила приводит к логической ошибке, которая называется «учетверением терминов».

2. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок.

Выделяют также правила посылок категорического силлогизма:

1. Из двух частных посылок нельзя сделать заключение.

2. Если одна из посылок частная, то и заключение должно быть частным.

3. Из двух отрицательных посылок заключение сделать нельзя.

4. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.

26, 27. Фигура силлогизма – разновидность силлогизма в зависимости от местоположения среднего термина в посылках.

Каждая из фигур силлогизма имеет свои правила:

для I фигуры – большая посылка должна быть общей, а меньшая – утвердительной;

для II фигуры – большая посылка должна быть общей, а одна из посылок – отрицательным суждением;

для III фигуры – меньшая посылка должна быть утвердительным, а заключение – частным суждениями;

для IV фигуры – вывод – всегда частное суждение. Она обычно не употребляется, ибо такое расположение терминов будет иметь слишком ограниченное познавательное значение.

Модусы силлогизма – разновидность силлогизма в зависимости от количественной и качественной характеристик суждений, входящих в его состав.

Каждая фигура силлогизма имеет свои правильные модусы:

I фигура – ААА, ЕАЕ, AII, EIO;

II фигура – ЕАЕ, АЕЕ, ЕIO, AOO;

III фигура – AAI, IAI, EAO, EIO, АII, ОАО;

IV фигура – ААI, IАI, АЕЕ, ЕАО, ЕIО.

28.Сложный силлогизм (полисиллогизм) – это сцепление ряда силлогизмов таким образом, что заключение одного становится посылкой другого силлогизма и т.д. Всякое научное мышление в развернутой или скрытой форме представляет собой полисиллогизм, вытекающий из целой системы умозаключений.

Отличают особый вид сложного силлогизма – сорит, состоящий из сокращенных силлогизмов. В сорите приводится только последнее заключение, а все промежуточные опускаются. Общая формула сорита такова: А-В, В-С, С-Д, следовательно, А-Д. Видно, что здесь прослеживается стойкая цепь причин и следствий, от чего обоснованность вывода усиливается, он становится особенно убедительным.

Сложно-сокращенный силлогизм, в котором посылками служат энтимемы, называется эпихейрема. Схема эпихейремы такова:

М есть (не есть) Р, так как она есть (не есть) N,

S есть М, так как оно есть О

S есть (не есть) Р.

Например:

Ни одна птица не примат, так как ни одна птица не млекопитающее.

Данные особи – птицы, так как они имеют перьевой покров.

Данные особи не приматы.

Каждая эпихейрема может быть превращена в сорит, если ее посылки превратить в полные силлогизмы и расположить их определенным образом.

29. Сокращенный силлогизм

Предложение с выраженными в нем двумя частями силлогизма может представлять сокращенное умозаключение. Такой сокращенный силлогизм называется энтимема - неполно, сокращенно приведенный аргумент, отсутствующие части которого подразумеваются очевидными. Чаще всего опускается большая посылка как наиболее легко подразумеваемая и высказывается только меньшая посылка и заключение. Например: «Алюминий - металл», говорит некто, имея в виду то, что алюминий проводник. Эта аргументация подлежит проверке с целью выяснить ее корректность. Для этого надо выяснить, что пропущено в аргументации: заключение или посылка (какая именно). Это можно сделать, если мы найдем формальные показатели наличия следования; таковыми являются слова и словосочетания «отсюда следует», «поэтому», «потому что», «ибо», «так как» и др. В нашем примере видно, что мы имеем дело с заключением, где термин «алюминий» - меньший, а термин «металл» - больший. Но тогда предложение «Алюминий - металл» - это меньшая посылки, где «проводник» - средний термин. Теперь можно попытаться восстановить полный модус следующим образом: «Всякий проводник – металл. Алюминий – проводник. Следовательно, алюминий - металл».

30.Чисто условное умозаключение.

Чисто условным называется умозаключение, обе посылки которого являются условными суждениями. Условным называется суждение, имеющее структуру: “Если а, то b”

Схема чисто условного умозаключения:

(р -» q) ^ (q -> г) р->г

Вывод в чисто условном умозаключении основывается на правиле: следствие следствия есть следствие основания.

Умозаключение, в котором заключение получается из двух условных посылок, относится к простым. Однако заключение может следовать из большего числа посылок, которые образуют цепь условных суждений. Такие умозаключения называются сложными.

31. Условно-категорическое умозаключение

Условно-категорическим называется умозаключение, в котором одна из посылок —условное, а другая посылка и заключение — категорические суждения.

Это умозаключение имеет два правильных модуса: 1) утверждающий и 2) отрицающий.

1. В утверждающем модусе посылка, выраженная категорическим суждением, утверждает истинность основания условной посылки, а заключение утверждает истинность следствия; рассуждение направлено от утверждения истинности основания к утверждению истинности следствия.

2. В отрицающем модусе посылка, выраженная категорическим суждением, отрицает истинность следствия условной посылки, а заключение отрицает истинность основания. Рассуждение направлено от отрицания истинности следствия к отрицанию истинности основания.

32.Умозаключение, в котором одна из посылок – разделительное суждение, а другая посылка и заключение – категорические суждения, называется разделительно-категорическим.

Этот вид умозаключений имеет два модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.

1. В утверждающе-отрицающем модусе путем утверждения одного из членов дизъюнкции производится отрицание всех остальных дизъюнктов.

Разделительная посылка в утверждающе-отрицающем модусе должна представлять собой строгую дизъюнкцию.

2. Характер дизъюнкции на необходимость выводов по отрицающе-утверждающему модусу не влияет, т.е. разделительная посылка может представлять собой как строгую, так и нестрогую дизъюнкцию.

Важным условием правильности разделительно-категорических умозаключений является то, что в разделительной посылке должны быть перечислены все возможные альтернативы.

Возникающая при нарушении этого правила ошибка называется ’’неполный перечень альтернатив’’.

33. Условно-разделительные умозаключения

Умозаключение, в котором одна посылка состоит из нескольких условных суждений, а другая является разделительным суждением, называется условно разделительным.Умозаключения этого типа называют еще лемматическими. Это название указывает на то, что в этих умозаключениях рассматриваются различные предположения и вытекающие из них следствия.

Различают дилеммы, трилеммы и полилеммы. Дилемма содержит в себе две альтернативы. Трилемма – три, а полилемма – четыре и более. Дилемма является наиболее распространенной разновидностью условно-разделительных умозаключений. Дилеммы бывают конструктивные и деструктивные. Дилемма может быть простой либо сложной.

Простая конструктивная дилемма. В условной посылке простой конструктивной дилеммы утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. В разделительной посылке утверждается, что выбор ограничен только этими двумя основаниями. В заключении утверждается следствие условных посылок. Простая конструктивная дилемма применяется тогда, когда необходимо показать неизбежность какого-либо явления, события, решения. Данная цель достигается, когда мы показываем, что это явление может быть обусловлено двумя альтернативами, и что это – все возможные альтернативы.

Деструктивные дилеммы используются для опровержения какого-либо мнения.

Сложная конструктивная дилемма. Ее отличие от простой конструктивной дилеммы лишь в том, что в условной посылке указывается, что из двух оснований вытекает не одно и то же следствие, а два разных следствия. Схема этого способа рассуждений выглядит следующим образом.Сложные конструктивные дилеммы используются тогда, когда необходимо проанализировать какую-либо сложную ситуацию, взвесить различные последствия и уточнить какие решения возможны в данном случае. Сложная деструктивная дилемма. В условных посылках сложной деструктивной дилеммы указывается, что из двух разных оснований вытекают различные следствия. В разделительной же посылке отрицается одно из возможных следствий, а в заключении отрицается одно из возможных оснований.

34. Индукцию понимают как метод исследования, целью которого является анализ движения знания от единичного к общему суждению. Но индукция выступает и как определенная логическая форма, то есть такая устойчивая связь мыслимого содержания, в которой отражается и фиксируется восхождение мысли от менее общих положений к более общим положениям.

Познавательное значение индукции в общем и целом было уже отмечено Аристотелем. Ее связь с опытным наблюдением и возможность непосредственной проверки индуктивных обобщений делают ее простым и доступным методом, по сравнению с дедукцией.

Виды индуктивных умозаключений

Различают индукцию полную, если посылки исчерпывают весь класс предметов, подлежащих индуктивному обобщению, и неполную, если посылки не исчерпывают всего класса предметов, подлежащих индуктивному обобщению. Выводом как по полной, так и неполной индукции является общее суждение. Полная индукция. Ход мысли осуществляется здесь по схеме: S1 есть Р S2  есть Р Sn  есть Р Известно, что S1 , S2 … Sn  исчерпывают все предметы класса   . Следовательно, все S есть Р. Например:

Из этого примера видно, что общий вывод основан на знании всей совокупности предметов изучаемого класса и общий вывод представляет собой категорическое суждение, где предикат посылок и вывода один и тот же, как и вообще во всех индуктивных умозаключениях.