1.3.Разделы математической логики

• Алгебра логики

• Логика высказываний

• Теория доказательств

• Теория моделей

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными, то есть используется так называемая бинарная или двоичная логика, в отличие от, например, троичной логики.

Законы алгебры логики

Для логических величин обычно используются три операции:

• Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧.

• Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

• Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики:

• Законы рефлексивности

a ∨ a = a

a ∧ a = a

• Законы коммутативности

a ∨ b = b ∨ a

a ∧ b = b ∧ a

• Законы ассоциативности

(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)

(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

• Законы дистрибутивности

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

• Закон отрицания отрицания

¬ (¬ a) = a

• Законы де Моргана

¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b

¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

• Законы поглощения

a ∨ (a ∧ b) = a

a ∧ (a ∨ b) = a

Логика высказываний, или пропозициональная логика (лат. propositio -«высказывание»), или исчисление высказываний — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, внутренняя структура простых высказываний не рассматривается, а учитывается лишь, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

С точки зрения выразительности, логику высказываний можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка.

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений.

Язык логики высказываний (пропозициональный язык) — искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний.

Алфавит языка логики высказываний

Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний, разделены на следующие три категории:

• пропозициональные буквы (пропозициональные переменные):

• логические знаки (логические союзы)

• технические знаки: — левая скобка,— правая скобка.

Других знаков в алфавите языка логики высказываний нет.

Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей, аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, теория доказательств является одним из так называемых «четырёх столпов» математики.

Теория моделей — раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.