Статический расчет арки

Расчет арки выполняется на следующие сочетания нагрузок: постоянной и снеговой; постоянной, снеговой, ветровой и от загрузочной тележки (см. рис. 50).

Опорные реакции от постоянной нагрузки на всем пролете

V_А = V_В = q^р_нl/2; H = q^р_нl²/(8f).

Опорные реакции от снеговой нагрузки по пролету в пределах уклона кровли α = 50°:

V_А = V_В = q^р_снx_с; H = q^р_снx_с(l - x_с)/(2f),

где x_с - горизонтальная проекция участка кровли с уклоном до 50°, равная 5,9 м (см. рис. 50).

Опорные реакции от снеговой нагрузки на половине пролета:

V_А = q^р_снx_с(l + x_с)/(2l); V_В = q^р_снx_с(l - x_с)/(2l); H = V_Вl/(2f).

Реакции от ветровой нагрузки:

вертикальные

V_А = [P₁a₁ - P₂(a₂ + a₃) - P₄a₄]/l;

V_В =[P₁a₄ - P₂(a₃ + a₂) - P₄a₁]/l;

горизонтальные

H_А = (V_А0,5l - P₁b₁ + P₂b₂)/f;

H_В = (V_В0,5l + P₄b₁ + P₃b₂)/f,

где P₁, P₂, P₃, P₄ - равнодействующие соответствующих зон ветрового давления; a₁, a₂, a₃, a₄ - плечи равнодействующих относительно опорных шарниров; b₁, b₂ - то же, относительно ключевого шарнира. Вычислим плечи равнодействующих ветрового давления.

a₁ = asin (3,37φ₁ - β₁) = 16,4sin 21°8' = 16,4×0,3606 = 5,91 м;

a₂ = asin (0,87φ₁ - β₁) = 16,4sin 5°10' = 16,4×0,0901 = 1,48 м;

a₃ = rsin (4,13φ₁) = 36,4sin 26°22' = 36,4×0,4441 = 16,2 м;

a₄ = rsin (1,63φ₁) = 36,4sin 10°25' = 36,4×0,1808 = 6,6 м;

b₁ = rsin (3,37φ₁) = 3,64sin 21°31 = 36,4×0,3668 = 13,35 м;

b₂ = rsin (0,87φ₁) = 36,4sin 5°33 = 36,4×0,0967 = 3,52 м,

где

β = arctg [(x₀ - l)/y₀] = arctg [(34 - 24)/13] = 37°34';

ψ = 90° - (φ₀ + φ) = 90° - 20° 55' - 31°54' = 37°11';

β₁ = β - φ = 37°34' -37°11' = 0°23'.

Таблица 31

Вид нагрузки и нагружения	Нагрузка, кН/м	Опорные реакции, кН
		VА	VВ	HА	HB
Постоянная, равномерно распределенная	2,37	28,4	28,4	10,7	10,7
Постоянная сосредоточенная		11,1	11,1	6,9	6,9
Снеговая, равномерно распределенная:
в пределах уклона кровли до 50°	3,6	21,1	21,1	11,9	11,9
на левом полупролете		13,1	8	6	6
Временная сосредоточенная	-	30	30	18,8	18,8
Ветровая (слева)	-	-7,4	-7	-10,4	1,4

Таблица 32

№ сечения	Координаты, м			Изгибающие моменты от вертикальных нагрузок, кН×м
	x	y	постоянной gn		снеговой на левой полуарке Pс	снеговой на правой полуарке Pс	снеговой на всем пролете Pс	временной Pвр	постоянной Pп
1	1,65	3,69	4		-0,5	-9	-9,1	-19,9	-7,1
2	3,72	7,19	12		5,6	-13,4	-7,1	-23,6	-8,3
3	6,15	10,44	17,6		17,9	-13,4	5,5	-11,8	-3,8
4	8,92	13,39	15,4		22,2	-8,9	14,6	15,9	6,1
5	12	16	0		0	0	0	0	0

Нагрузки и опорные реакции приведены в табл. 31, а изгибающий момент от вертикальных нагрузок - в табл.32и вычислены по формулеM_x = M⁰_x - Hy_x, где M⁰ - изгибающий момент простой балки от рассматриваемой нагрузки.

Вычисление изгибающих моментов, кН×м, от ветровой нагрузки приведено в табл. 33и выполнено по формулам

в левой полуарке M_n = V_Аx_n - H_Аy_n ± M^b_n;

в правой полуарке M'_n = V_Вx_n - H_Вy_n ± M^b'_n,

где M^b_n и M^b'_n - моменты от ветровой нагрузки, расположенной слева и справа от сечения n:

M^b₁ = -P₁rsin (φ₁/2)3,26; M^b'₁ = P₄rsin (φ₁/2)/3,26;

M^b₂ = -2P₁rsin φ₁/3,26; M^b'₂ = 2P₄rsin φ₁/3,26;

M^b₃ = -3P₁rsin (1,37φ₁)/3,26; M^b'₃ = 3P₄rsin (1,37φ₁)/3,26;

M^b₄ = -P₁rsin (2,37φ₁) + 0,74P₂rsin (0,37φ₁)/2;

M^b'₄= P₄rsin (2,37φ₁) + 0,74P₃rsin (0,37φ₁)/2;

M^b₅ = -P₁b₁ + P₂b'₂; M^b'₅ = P₄b₁ + P₃b₂.

Таблица 33

№ сечения	VАxn	-HАyn	Mbn	Mn	VВxn	-HВyn	Mbn'	Mn'
1	-12,1	38,6	-5,4	21,1	-11,5	-5,2	3,1	-13,6
2	-27,5	74,9	-21,6	25,8	-26	-10,1	12,4	-23,7
3	-45,5	108,6	-44,5	18,0	-43,1	-14,6	25,6	-32,1
4	-66	139,3	-76,5	-3,2	-62,4	-18,7	53,8	-27,3
5	-88,8	166,4	-77,3	0	-84	-22,4	106	0

Таблица 34

№ сечения	Изгибающие моменты, кН×м, от												Расчетные величины моментов, кН×м
	от собственного веса	снеговой нагрузки				ветровой нагрузки			веса оборудования
		слева	справа	полная	слева		справа	постоянные		временные
1	4	-0,5	-9	-9,1	21,1		-13,6	-7,1		-19,9	22,5/-41,4
2	12	5,6	-13,4	-7,1	25,8		-23,7	-8,3		-23,6	40,3/-50,9
3	17,6	17,9	-13,4	5,5	18,6		-32,1	-3,8		-11,8	50,5/-46,8
4	15,4	22,2	-8,9	14,6	-3,2		-27,3	6,1		15,9	53,4/-17,2
5	0	0	0	0	0		0	0		0	0

В табл. 34приведены значения изгибающих моментов от постоянной, снеговой, ветровой нагрузки и от веса технологического оборудования, а также расчетные значения моментов при неблагоприятных сочетаниях постоянных и временных нагрузок. При учете одновременно двух и более временных нагрузок вводился коэффициент сочетанииn_с = 0,9.

Как видно из табл. 34, наибольший положительный момент в сечении4, а отрицательный - в сечении 2. Для расчетных сечений 4 и 2 определим значения нормальных сил по формуле

N = Q^оsin φ_n + Hcos φ_n.

Сечение 4

x = 8,92 м; φ₄ = 46°27'; sin φ₄ = 0,725; cos φ₄ = 0,69.

Для вертикальных нагрузок определяем значения балочных поперечных сил от:

собственного веса Q^о₁ = 28,4 - 8,92×2,37 = 7,3 кН;

постоянной сосредоточенной нагрузки Q^о₂ = 11,1 кН;

снеговой нагрузки на левом полупролете Q^о₃ = (13,1 - 3,6×2,82)0,9 = 2,7 кН;

временной сосредоточенной нагрузки Q^о₄ = 30×0,9 = 27 кН.

Суммарное значение балочной поперечной силы в сечении 4 Q^о = 48,1 кН.

Суммарный распор от тех же загружений

H = 10,7 + 6,9 + 0,9(6 + 18,8) = 39,9 кН.

Нормальная сжимающая сила от вертикальных нагрузок будет равна: N_р = (48,1×0,725 + 39,9×0,69) = 62,4 кН.

Нормальная сила от ветровой нагрузки определяется по формуле

N^b₄ = V_Аsin φ₄ + P₁sin (2,37φ₁) + 0,74P₂sin (0,37φ₁) + H_Аcos φ₄.

По табл. 31находимV_А = -7,4 кН; H_А = -10,4 кН.

Остальные входящие в формулу величины равны:

P₁ = 8,71 кН; P₂ = -11,1 кН; 2,37φ₁ = 15°8';

sin (2,37φ₁) = 0,261; 0,37φ₁ = 2°22'; sin (0,37φ₁) = 0,0413,

тогда с учетом коэффициента сочетания нагрузок

N^b₄ = -0,9(-7,4×0,725 + 8,71×0,261 - 0,74×11,1×0,0413 - 10,4×0,69) = 9,5 кН.

Суммарное значение нормальной силы в сечении 4 равно:

N₄ = N_р + N^b₄ = -62,4 + 9,5 = -52,9 кН.

Сечение 2

x₂ = 3,72 м; φ₂ = 33°41'; sin φ₂ = 0,555; cos φ₂ = 0,832.

Для этого сечения получаем аналогично сечению 4:

поперечную балочную силу Q^°₂ = 69,5 кН;

суммарный распор H = 39,9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N_р = -71,8 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b₂ = 4 кН;

суммарную нормальную силу N₂ = -67,8 кН.

Поскольку при определении коэффициента ξ, согласно СНиП II-25-80, п. 6.27, необходима сжимающая сила в ключе, то определим ее так же, как и для сечений4 и 2.

Сечение 5. X₅ = 12 м; φ₅ = 52°50'; sin φ₅ = 0,797; cos φ₅ = 0,604.

Получаем:

поперечную балочную силу Q^°₅ = -7,3 кН;

суммарный распор H = 39,9 кН;

нормальную силу от вертикальных нагрузок N_р = -18,2 кН;

нормальную силу от ветровых нагрузок N^b₅ = -12,3 кН;

суммарную нормальную силу N₅ = -30,6 кН.

Расчетные усилия в сечения 2 и 4:

M₂ = -50,9 кН×м; N₂ = -67,8 кН;

M₄ = +53,4 кН×м; N₄ = -52,9 кН.