2 курс / Численные методы / KurgDubrKurk_ChislMet_part3
.pdf
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
Он отличается от метода простой итерации тем, что, найдя очередную |
|||||||
компоненту |
вектора r k , |
мы |
сразу же используем ее при вычислени |
|||||
следующей. Другими словами, вычисления здесь ведутся по формуле |
|
|||||||
|
|
i-1 |
|
n |
|
(k = 1, 2, K ) . |
|
|
|
|
xik = ådij x kj + ådij x kj -1 + ci |
|
|||||
|
|
j=1 |
|
j=i |
|
|
|
|
|
Области сходимости метода простой итерации и метода Зейделя не |
|||||||
совпадают, а лишь пересекаются. |
Это значит, что существуют такие системы, |
|||||||
для |
которых |
метод |
Зейделя |
сходится, а |
метод простой итерации |
, нети |
||
наоборот. Однако можно показать, что первое и второе достаточные условия |
||||||||
для |
сходимости |
метода |
простой |
итерации |
одновременно |
являются |
||
достаточными |
условиями |
для |
сходимости процесса Зейделя. Часто метод |
|||||
Зейделя дает более быструю сходимость, чем простая итерация. |
|
6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. Постановка задачи
При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений . Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде
|
|
|
f (x) = 0 |
|
(6.1) |
|
Найти |
точные |
значения |
корней |
уравнения(6.1) можно |
только |
в |
исключительных случаях, кроме того коэффициенты некоторых уравнений являются приближенными числами, и, следовательно, вопрос о нахождении
точных корней вообще не может быть поставлен. |
|
|
|||
Поэтому |
большое |
значение |
приобретают |
методы |
приближенно |
вычисления корней уравнения(6.1). Задача нахождения корней считается
решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности. |
|
|
|||
Процесс |
нахождения |
приближенных |
значений |
корней |
уравнен |
разбивается на 2 этапа: |
|
|
|
|
1)отделение корней;
2)уточнение корней до заданной степени точности.
|
6.2. Отделение корней. |
Корень x |
уравнения f ( x) = 0 считается отделенным на отрезке[a,b]1, |
если на этом |
отрезке уравнениеf ( x) = 0 не имеет других корней. Отделить |
корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами - графическим и аналитическим.
1 Рассматривается случай действительной функции f (x) .
12
Графический метод. Строят график функции y = f (x) для уравнения (6.1) или представляют уравнение в виде j(x) = g(x) и строят графики функций
y = j( x) и y = g( x) . Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функцииy = f ( x) с осьюOx или абсциссами точек пересечения графиков функцийy = j( x) и y = g( x) . Отрезки,
в которых заключено только по одному корню, легко находятся.
Графический способ отделения корней не обладает большой точнос-тью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня.
Аналитический метод. Аналитически корни уравнения(6.1) можно отделить, используя свойства функций, известные из курса математического анализа.
àЕсли функция непрерывна на отрезке[a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения f ( x) = 0 .
àЕсли функция непрерывна и монотонна на отрезке[a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка[a, b] существует корень уравнения f ( x) = 0 и притом единственный.
Можно рекомендовать следующий порядок действий для отделения корней аналитическим методом.
1)Найти f ¢( x) - первую производную.
2)Составить таблицу знаков функции, полагая x равным : а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).
3)Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.
6.3.Уточнение корней.
Для уточнения корней, т.е. для доведения их до заданной степени точности, разработано много различных итерационных методов.
6.3.1. Метод деления пополам (метод бисекций).
Пусть корень x уравнения f ( x) = 0 отделен и находится на отрезке [a,b]. Итерационный метод бисекций состоит в построении последовательности
вложенных |
отрезков {[a n , bn ] Ì [an-1,bn-1 ] Ì....Ì [a, b]}, |
на |
концах |
которых |
||||
функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок |
||||||||
получают |
делением |
пополам |
предыдущего. Процесс |
построения |
||||
последовательности отрезков позволяет найти корень |
уравнения с любой |
|||||||
заданной точностью. |
итераций. Пусть на (n - 1) -ом шаге |
|
|
|
||||
Опишем один шаг |
|
найден |
отрезок |
|||||
[an-1,bn-1 ] Ì [a, b] , |
такой |
что f (an -1) f (bn -1 ) < 0 . Делим |
его |
пополам |
точкой |
|||
x = (an-1 + bn-1 ) / 2 |
и вычисляем f (x) . Если f (x) = 0 , то x |
- корень уравнения. |
13
Если f (x) ¹ 0 , то из двух половин отрезка выбираем ,туна концах которой функция имеет противоположные знаки. Таким образом,
an |
= an-1 , |
bn = x , |
если |
f (x) f (an-1 ) < 0 , |
|
|
an = x, bn |
= bn-1 , |
если |
f (x) f (an-1 ) > 0 . |
|
||
Если требуется найти корень с точностьюe , то деление пополам |
||||||
продолжается до тех пор, пока на |
каком-тоn-ом |
этапе середина x |
отрезка |
|||
будет точным корнем уравнения, т.е. |
f (x) = 0 |
(случай, весьма |
редко |
|||
встречающийся на |
практике), либо |
будет получен отрезок[an,bn ] , |
длина |
которого меньше 2e . Тогда координата середины этого отрезка и есть значение корня с требуемой точностью.
Метод бисекций - простой и надежный метод поиска простогокорня уравнения (6.1) (корень x = x называют простым корнем дифференцируемой
функции f ( x) , если |
f (x) = 0 |
и f |
¢(x) ¹ 0 ). Он сходится |
для любых |
непрерывных функций |
f (x) , в |
том |
числе недифференцируемых. Скорость |
|
сходимости невелика. Для достижения |
точности e необходимо |
совершитьN |
||
итераций, где |
|
|
|
|
b - a N » log2 e .
6.3.2. Метод простых итераций (метод последовательных приближений).
Обычно в итерационных методах уравнение (6.1) сводят к равносильному ему уравнению вида
|
|
|
|
|
|
|
|
x = j( x) |
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
||
таким образом, |
что |
искомый |
корень x = x уравнения (6.1) является |
и корнем |
|||||||||||||
уравнения (6.2). Затем |
на |
|
отрезке[a,b] |
|
|
выбирается x0 - |
начальное |
||||||||||
приближение, и строится последовательность |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xk = j(xk -1), |
|
|
k = 1,2,... |
(6.3) |
||||||
При определенных условиях эта последовательность сходится к корнюx . |
|||||||||||||||||
Определение. |
Если |
|
существует |
|
некоторая |
окрестность(круг) R |
корня x |
||||||||||
(R = { |
|
x - x |
|
£ r}) , такая, что для любых |
x¢ и x¢¢ ÎR |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
j(x¢) - j( x¢¢) |
|
£ |
M |
|
x¢ - x¢¢ |
|
, |
(6.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где M = const , то говорят, что j(x) удовлетворяет условию Липшица. Замечание. Условие Липшица с константойM будет иметь место, если в
некоторой окрестности корня x = x производная |
|
j¢( x) £ M . |
(6.5) |
Теорема (без доказательства). |
Каково бы ни было x0 ÎR , последовательность |
xk = j( xk -1 ), k = 1,2,... сходится |
к корнюx уравнения x = j( x) , если только |
14
j(x) в круге R корня x удовлетворяет условию Липшица с константой M < 1. При этом скорость сходимости характеризуется неравенством
|
|
|
|
|
xk - x |
|
£ M k |
|
x0 - x |
|
. |
|
|
|
|
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
На практике для выполнения этого условия достаточно оценитьj ¢(x) . |
||||||||||||||
Если |
|
j¢(x) |
|
<1, то такая окрестность, в которой |
|
j¢( x) |
|
£ M <1, существует. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
y =x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y =x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =j( |
x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =j( x ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ) |
x x2 |
x1 |
|
x0 x |
|
|
б ) |
x1 x3 x |
|
x2 |
x0 |
x |
|
|||||||||||
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
случая, |
когда |
j(x) – |
действительная |
функция |
переменнойx , |
|||||||||||||||||
описанный |
|
метод |
простых |
|
|
итераций |
имеет |
|
|
ясную |
геометри |
|||||||||||||
интерпретацию. |
|
Построим |
|
графики |
функцийy = x |
и |
y = j( x) . Корнем |
x |
||||||||||||||||
уравнения |
x = j( x) |
является абсцисса точки пересечения |
|
кривойy = j( x) |
с |
|||||||||||||||||||
прямой y = x (рис.1). Взяв в качестве начальной произвольную точку x0 Î[a,b], |
||||||||||||||||||||||||
строим ломаную линию (рис.1 а,б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные |
|||||||||||||||||||||||
приближения корня x . Из рис. видно, |
что если j ¢(x) < 0 |
|
на отрезке [a,b], |
то |
||||||||||||||||||||
последовательные приближения xk |
= j(xk -1 ) |
колеблются около корня x , если |
||||||||||||||||||||||
же |
производная j ¢( x) |
положительна, то |
последовательные |
приближения |
||||||||||||||||||||
сходятся к корню монотонно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Рассмотрим вопрос о способах построения функцииj(x) . Поступают |
|||||||||||||||||||||||
следующим образом. Если уравнение f ( x) = 0 имеет корень x = x , а функция |
||||||||||||||||||||||||
j(x) |
непрерывна и не обращается в 0 в окрестности x = x , |
то очевидно, что |
||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x - y (x) f (x) |
|
|
|
|
|
(6.8) |
||||||||||
также имеет единственный корень |
x = x . Обозначая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x - y (x) f ( x) º j( x) , |
|
|
|
|
|
(6.9) |
получаем требуемый вид уравнения(6.2). Различные итерационные методы различаются выбором функции y ( x) .
6.3.3. Метод хорд (метод секущих).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
метод |
|
хорд. Пусть f ( x) - |
действительная |
непрерывная |
|||||||||||||
функция действительной переменной, имеющая в интервале [a, b] непрерывные |
||||||||||||||||||||
производные первого и второго порядка, не меняющие своего знака в этом |
||||||||||||||||||||
интервале. |
(Будем |
считать, |
что |
корень |
уравнения(6.1) x = x |
- простой |
и |
|||||||||||||
находится на отрезке [a, b]). Пусть x* - произвольная точка из [a, b], в которой |
||||||||||||||||||||
f ( x* ) f ¢¢(x* ) > 0 (например, |
в |
качестве x* |
можно |
выбрать |
|
одну |
из |
границ |
||||||||||||
отрезка [a, b]). В качестве функции y ( x) возьмем функцию |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
( x) = |
x - x* |
|
|
. |
|
|
|
|
(6.10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (x) - f ( x*) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
x - x* |
|
|
x* f (x) - xf ( x* ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
j(x) = x - |
|
|
|
|
, |
|
(6.11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) = |
f (x) - f ( x* ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) - f ( x* ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и уравнение |
|
x* f (x) - xf (x* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x) - f (x* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
также |
имеет |
корень x = x . За |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
начальное |
|
приближение x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
примем |
любую |
точку |
|
из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[a, b], в которой f ( x0 ) имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
знак, |
противоположный знаку |
|
a=x 0 |
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||
f ( x |
* |
) |
(например, |
за |
x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
b=x * |
x |
|||||||||||
можно |
взять |
другую границу |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
отрезка [a, b]). Последующие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
приближения |
|
|
|
|
строим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
обычным образом: |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xk |
= |
x* f (xk -1) - xk -1 f (x* ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (xk -1) - f (x* ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Геометрическая интерпре-тация |
этого метода |
состоит |
в том, что через |
точки |
||||||||||||||||
(x* , f ( x* )) и |
(xk -1, f (xk -1)) |
проводится прямая(т.е. |
дуга кривой y = f (x) |
|||||||||||||||||
заменяется стягивающей ее хордой на малом отрезке[xk -1 , x* ]). За следующее |
||||||||||||||||||||
приближение |
xk берется точка пересечения этой прямой с осью абсцисс( |
м. |
||||||||||||||||||
рис.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6.3.4. Метод Ньютона (метод касательных). |
|
|
|
|
|
В методе Ньютона в качестве y ( x) выбираем
16
|
|
|
y ( x) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
(6.14) |
||||||
|
|
|
f ¢( x) |
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
f ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j(x) = x - |
. |
|
|
|
(6.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f ¢( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При этом полагаем, что |
функция f ( x) |
удовлетворяет тем же условиям, |
||||||||||||||
что и в предыдущем случае. Начальное |
приближение x0 |
целесообразно |
|||||||||||||||
выбирать так, |
чтобы f ( x0 ) f ¢¢(x0 ) > 0, хотя это и не обязательно. Итерационная |
||||||||||||||||
последовательность строится обычным образом: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
xk |
= xk -1 |
- |
|
f (xk -1 ) |
, |
k = 1,2,... |
|
|
(6.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f ¢(xk -1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Метод |
Ньютона также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
допускает |
|
|
y |
простую |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
геометрическую |
интерпре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тацию. Если через точку с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
координатами (xk -1, f (xk -1)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(рис. |
3) |
провести |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
касательную, |
то |
абсцисса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точки |
пересечения |
этой |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
касательной с осью Ox и есть |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
очередное приближение xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x x 3 |
x 2 |
x 1 x 0 x |
||||||||||
корня |
уравнения f ( x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Скорость |
сходимости |
|
|
в |
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
методе Ньютона выше, |
чем в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
методе хорд.
ЛИТЕРАТУРА
1.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. - М.: Наука, 1968. - 2 т.
2.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.:
Наука, 1970. - 664 с.
3.Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.:
Наука, 1970. - 564 с.
4.Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. - М.: Мир, 1980. - 279с.
5.Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 598 с.
6.Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высшая школа, 1994. - 416 с.
7.Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. - М.: Высшая школа, 1998. - 383 с.
17
Составители: Курганский Сергей Иванович Дубровский Олег Игоревич Куркина Лариса Ивановна
Редактор Бунина Т.Д.