Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определённый интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

1.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

1в) Следствие. Линейная комбинация ci fi ( x) интегрируемых на [a,b]

k 1

функций является интегрируемой функцией.

2. Интегрируемость произведения. Пусть функции f ( x) и g(x) интегри-

руемы на сегменте [a,b], тогда произведение f (x) g(x) тоже является на [a,b] интегрируемой функцией.

Доказательство. Запишем тождество

4 f (x)g(x) [ f (x) g(x)]2 [ f (x) g(x)]2 .

По следствию из теоремы об интегрируемости сложной функции квадрат

интегрируемой функции является интегрируемой функцией.	Но	функции
f ( x) g(x) интегрируемы по свойству линейности.
3. Интегрируемость на подмножествах. Пусть функция	f (x)	интегри-

руема на сегменте [a,b]. Тогда она интегрируема на любом сегменте [c, d ] , со-

держащемся в сегменте [a,b].
Доказательство.	Выберем произвольно					0 и такое разбиение
xk kn 0 , что S s	. Добавим к точкам разбиения еще и точки c и d. В
силу свойства монотонности сумм Дарбу имеем
		s s S			S ,
где - разбиение, полученное из разбиения					добавлением точек c и d.. По-
этому будет выполняться неравенство
			S s .
Пусть означает разбиение отрезка [c, d ] ,						полученное точками разбиения
отрезка [a,b]. Тогда
	S		s	S s ,

так как каждое неотрицательное слагаемое (M k mk ) xk в выражении S s будет входить и в сумму S s . Поэтому функция f (x) интегрируема на

[c, d ] .

Определение.

adef

f (x)dx 0 .

a	def	b
	def
При a<b f (x)dx f (x)dx .
b		a

4. Аддитивность интеграла. Если функция f (x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b], то функция интегрируема и на сегменте [a,b] , причем

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

Доказательство. При a=b это свойство справедливо в силу определения.

Предположим

сначала,

что

a<c<b. Выберем произвольное

число

0 .

Пусть

и [c,b] , что

xk k 0

k 0 - такие разбиения сегментов [a,c]

на каждом

из

этих

сегментов S s

Пусть разбиение

xk kn 0

(n n

- разбиение сегмента

[a,b], состоящее из точек разбиений

n )

Тогда

S s

S s S s .

Поэтому функция

f (x)

интегрируема на [a,b]. Пусть теперь xk kn 0 -

любое разбиение сегмента [a,b], содержащее точку c. Тогда

f ( k ) xk f ( k ) xk f ( k )xk .

k 1

[a,c]

[c,b]

При стремлении мелкости разбиения к нулю в пределе

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

Если c [a,b], то либо

[a,b] [c,b] ,

либо

[a,b] [a,c] . Пусть,

например

c<a<b. В силу свойства интегрируемости по подмножествам функция

f (x)

интегрируема на

[a,b]

как на подмножестве. В силу уже доказанного, посколь-

ку c<a<b,

f (x)dx f (x)dx f (x)dx .

По принятому соглашению

f (x)dx f (x)dx .

Свойство полностью доказано. Отметим, что формулу для этого свойства можно записать в виде

c b a

f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0.

a c b

Оценки интегралов.

Теорема. Если функция f ( x) интегрируема на [a,b] и для всех x [a, b] f ( x) 0 , то

f (x)dx 0 .

Доказательство. Для любого разбиения xk nk 0 и любого выбора промежуточных точек k xk 1, xk по условию имеем

f ( k ) xk 0 .

k 1

Пусть d - мелкость разбиения . Предположим противное, то есть, что

A lim

d 0

Пусть

. Выберем разбиение

xk kn 0 таким образом,

чтобы

. Но A 0 , 0 , поэтому

A ( A)

. Это

неравенство возможно только при 0 . Противоречие. Теорема доказана.

Следствие (интегрирование неравенства). Если функции f ( x) и

g( x)

интегрируемы на [a,b] и для всех x [a, b]

f (x) g(x) , то

f (x)dx g(x)dx .

Доказательство. Функция g(x) f (x) интегрируема и неотрицательна на [a,b], причем

b	b	b
0 (g(x) f (x))dx g(x)dx f (x)dx .
a	a	a

Следствие доказано.

Теорема. Пусть функция f ( x) непрерывна и неотрицательна на сегменте [a,b]. Пусть существует хотя бы одна точка x0 [a, b] , в которой f ( x0 ) 0 . Тогда найдется такое число 0, для которого

f (x)dx 0

Доказательство. Пусть f ( x0 ) 0 . Тогда в силу непрерывности функции f ( x) в точке x0 найдется такая окрестность точки x0 , что для любого от-

резка [c, d ] , лежащего в этой окрестности, будет выполнено неравенство

f (x)

Зафиксируем 0 . В силу непрерывности в точке x0

найдется 0 такое,

что при

x x0

выполняется неравенство

f ( x) f (x0)

, то есть

f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) .

Выбрав

f (x0 )

0 , получим

f (x )

f (x) f (x )

f (x0 )

При f ( x

) 0 получим при

x x

неравенство

f ( x) . Отсюда имеем

(d c) 0.

f (x)dx f (x)dx

Теорема. Если функция f ( x)			интегрируема на отрезке [a,b] , то функция

f (x)	тоже интегрируема на отрезке [a,b] и справедливо неравенство
		b		b

		f (x)dx			f (x)	dx .

		a		a

Доказательство. Интегрируемость функции f (x) вытекает из следствия

из теоремы об интегрируемости сложной функции. Выберем число 1

так,

чтобы f (x)dx 0 .

Справедливы следующие

неравенства

f (x)

для

всех

x [a, b] .

Поэтому в силу свойства интегрирования неравенств получаем

f ( x)dx

f ( x)dx f ( x)dx

f ( x)

dx .

Следствие. Если M sup

f (x)

, где

f ( x)

- интегрируемая на [a,b] функ-

[a,b]

ция, то

f (x)dx

f (x)

dx M (b a) .

Формула среднего значения.

Теорема. Пусть каждая из функций		f ( x) и g(x) интегрируема на сегменте
[a,b] и, кроме того, g( x) 0	(g(x) 0),	x a, b .

Пусть M sup f (x), m inf f (x) (напомним, что интегрируемая функция

[a,b]	[a,b]

ограничена). Тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам m M , для которого выполняется равенство

b	b
f (x)g(x)dx g(x)dx .
a	a

При дополнительном предположении о непрерывности функции f (x) на сегменте [a,b] найдется такая точка [a, b], что

b	b
f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx
a	a
b
В частности, при g(x)=1,	f ( x)dx f ( )(b a)
a

Доказательство. По определению точных граней m f (x) M . Пусть g(x) 0 . Тогда

mg(x) f (x)g(x) Mg(x) .

Причем все функции в этом неравенстве интегрируемы на [a,b]. Интегрируя это неравенство, получаем

b			b		b
m g( x)dx f ( x)g( x)dx M g( x)dx .
a			a		a
b	b
Если g(x)dx 0 , то	f (x)g(x)dx 0 , то есть утверждение теоремы верно
a	a
		b
при любом . Пусть теперь		g(x)dx 0 .		Тогда при делении неравенства на
		a
этот интеграл, получим
			b
			f ( x)g(x)dx
		m	a		M .

g( x)dx

Обозначим символом число

f ( x)g( x)dx

a		.
	b	.
	b
	g( x)dx
	a

Тем самым первая часть теоремы доказана. Если же функция f(x) непрерывна на [a,b], то по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется такая точка [a, b], для которой f ( ) . Теорема доказана.

Приведем без доказательства еще одну теорему о среднем значении.

Теорема (вторая формула среднего значения).

Пусть функция f(x)	интегрируема, а функция	g( x) монотонна на отрезке
[a,b]. Тогда на этом отрезке найдется такое число , что
b		b
f (x)g(x)dx g(a) f (x)dx g(b) f (x)dx .
a	a

Интеграл с переменным верхним пределом. Первообразная функции.

Определение. Пусть функция f ( x) интегрируема на сегменте [a,b] или на каждом конечном сегменте интервала (a,b) . Пусть p - фиксированная точка сегмента или интервала.

Тогда для любого x [a, b] (x (a,b)) функция интегрируема на сегменте

[ p, x]. Поэтому определена функция F (x) f (t)dt , которая называется инте-

гралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Если функция f ( x) интегрируема на сегменте [a,b] (или на каждом конечном сегменте интервала (a,b) ), а точка p [a, b](p (a,b)) то произ-

водная функции F (x) f (t)dt существует в каждой точке x0 непрерывности

	p
функции
	f ( x) , причем F ( x) f ( x0 ) . Если x0 совпадает с концом сегмента, то
это утверждение остается справедливым для односторонней производной.
Доказательство. В силу непрерывности функции		f ( x) в точке x0 для лю-
бого 0	найдется такое 0 , что f ( x0 ) f ( x)	f ( x0 ) при	x x0	.

Для

всех

t [x0 , x] [x0 , x0 x]

выполняется

неравенство

t x0

x x0

. Поэтому для всех таких t имеем

f ( x0 ) f (t) f ( x0 ) .

При интегрировании по отрезку

[x0 , x]

или [x, x0 ] и делении на x x0 (то

есть x ) знаки этих неравенств не меняются. Отсюда

f ( x0 )

0 f (t)dt f ( x0 ) при

F ( x0 x) F ( x0 )

f (t)dt f (t)dt

f (t)dt .

Поэтому полученное нами неравенство означает, что при

x x0

f ( x

)

F ( x0 x) F ( x0 )

f ( x

)

что и означает существование F (x0 ) и равенство F ( x0 ) f ( x0 ) . Теорема доказана.

Следствие. Любая непрерывная на сегменте [a,b] (интервале (a,b) ) функция f ( x) имеет на этом сегменте (интервале) первообразную. Одной из этих

первообразных является функция F (x) f (t)dt , где p - фиксированная точка

отрезка [a,b] (интервала (a,b) ).

Замечание. Можно рассматривать и функцию переменного нижнего преде-

	g
ла интеграла от функции	f ( x) , то есть функцию (x) f (t)dt . Для такой
	x

функции ( x) f ( x) F ( x) .

Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом).

Если функция f ( x)		интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интер-
			x
вале (a,b)	то функция F (x) f (t)dt, p (a,b) является непрерывной на (a,b) .
			p
Доказательство.
			x x
F F(x x) F(x)			f (t)dt x ,
			x
где inf	f (t)	sup	f (t) , по формуле среднего значения.
[ x, x x]		[ x, x x]
		[ x, x x]

В силу ограниченности интегрируемой функции f (x) для достаточно малыхx величина тоже ограничена, то есть для любого фиксированного сегмента

[c, d ] (a, b),		x c,d ,	x x c,d
			inf f sup f .
			x [c,d ]	x [c,d ]
				x [c,d ]
Поэтому	lim	F 0. Теорема доказана.
	x 0

Основная формула интегрального исчисления. Методы вычисления определенных интегралов.

Теорема. Для того, чтобы вычислить определенный интеграл по отрезкуa,b от непрерывной функции f x , следует вычислить значение ее произвольной первообразной в точке b и вычесть из него значение этой первообраз-

ной в точке a , то есть, если x - первообразная функции	f x на отрезке
a,b , то

f (x)dx (x) ba

(b) (a) .

Доказательство. Как было установлено ранее, функция F (x) f (t)dt яв-

		a
ляется первообразной функции f x на отрезке a,b . Пусть x - любая дру-
	x
гая первообразная. Тогда x F ( x) C const , то есть (x)		f (t)dt C .
	a
Поэтому
b	b
(a) C , (b) f (x)dx C f (x)dx (a) .
a	a

Отсюда следует утверждение теоремы.

Установленная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема (формула замены переменной под знаком определенного инте-
грала). Пусть функция	x g t имеет непрерывную производную на сегменте
m, M и min g(t) a ,	max g(t) b ,	причем g m a,	g(M ) b . Пусть функ-
t m,M	t m, M
ция f ( x) непрерывна на отрезке a,b . Тогда
	b	M

	f (x)dx f (g(t))g (t)dt .
	a	m

Доказательство. Пусть x - некоторая первообразная функции f x . Функции x и x g t дифференцируемы на сегментах a, b и m, M соответственно. По правилу вычисления производной сложной функции имеем для всех t m, M :

	d
	d	(g(t)) (g(t))g (t) ( x)		x g (t ) g (t) f ( x)	x g (t ) g (t) f (g(t))g (t) .
		(g(t)) (g(t))g (t) ( x)		x g (t ) g (t) f ( x)	x g (t ) g (t) f (g(t))g (t) .
	dt
	dt		что функция (g(t)) является первообразной функцией для
Это означает,			что функция (g(t)) является первообразной функцией для

функции f (g(t))g (t) . Поэтому
		M
					(b) (a) .
			f (g(t))g (t)dt (g(M )) (g(m))		(b) (a) .
		m
С другой стороны
			b
			f (x)dx (b) (a) .

Отсюда следует утверждение теоремы

Теорема (правило интегрирования по частям для определенного инте-

грала). Пусть функции	f x и g( x)	имеют непрерывные производные на сег-
менте a,b . Тогда
b			b	b
			b
	f (x)g (x)dx f (x)g(x)		a	g(x) f (x)dx
a				a
или
	b		b

udv uv ab vdu .

a a

Доказательство.

dxd f ( x)g( x) f ( x)g ( x) f ( x)g( x) .

Поэтому функция f (x)g(x) является первообразной функции fg f g . Поэтому

fg f g dx fg ab .

Теорема доказана.

Литература.

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2-х ч. – М.,

2001.

2.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисле-

ния. В 3-х т., - М., 1997.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.05.20152.78 Mб358ОП 2.1 Л.rtf
#
20.05.2015331.74 Кб171ОП 3.1 Л.rtf
#
20.05.20152.06 Mб230ОП 4.1 Л.rtf
#
19.03.2016298.69 Кб65ОППТ.docx
#
19.03.2016205.82 Кб36Определение периода полураспада долгоживущего изотопа.doc
#
21.05.20151.15 Mб37Определённый интеграл.pdf
#
19.03.2016103.42 Кб25Орг. труда.doc
#
20.05.201549.87 Кб19Организация информационного поиска.docx
#
21.05.2015271.51 Кб26ОС Linux. Мет. указ. к лаб. работам..pdf
#
21.05.2015793.6 Кб24ОС. Мет. указ-я по вып-ю лаб. работ на C++..pdf
#
21.05.2015979.06 Кб39ОС. Примеры прогр-ния потоков на C++..pdf