Определённый интеграл

удовлетворяет неравенству

d

. Пусть S - верхняя сумма этого

2l(M

m)

S S

, S Ι *

,

2

2

откуда при d получаем

S Ι * S S S Ι *

.

2

2

стремлении диаметра разбиений d к нулю. Это значит, что для любого 0

найдется такое , что для любого разбиения xk с диаметром d

и для

любого выбора промежуточных точек k выполняется неравенство

4

( 0 0 xk kn 0 , k : d

Ι

).

4

Для данного можно так выбрать промежуточные точки

и

в каж-

k

k

дом отрезке разбиения , что будут справедливы неравенства

S ( f , k )

,

( f , k ) s

.

4

4

Ι ( f , k )

,

4

Ι

( f ,

)

,

k

4

поскольку d . Тогда получим

)

) Ι Ι

)

) s

S

s

S

( f ,

( f ,

( f ,

( f ,

k

k

k

k

S

( f ,

)

( f ,

k

) Ι

Ι

( f ,

)

( f ,

k

) s

k

k

Таким образом, если d , то S s .

С другой стороны s

Ι

*

Ι * S

, поэтому Ι *

Ι

*

. В силу произволь-

ности

Ι

*

Ι * . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть

Ι

*

Ι *

A. Согласно

лемме Дарбу

Ι * lim S

,

d 0

Ι* lim

s . Поэтому для любого 0

можно указать такое 0 ,

что для лю-

d 0

бого разбиения при d

будут выполняться неравенства

Ι

*

s

A s

, S

Ι * S

A .

Для любого разбиения интегральная сумма Римана ( f , k )

удовлетво-

ряет неравенствам

s ( f , k ) S ,

A ( f , k )

при d

, а значит

lim ( f , k ) A .

Теорема доказана.

d 0

Теорема 2 (основная теорема). Для того, чтобы ограниченная функция

f x на отрезке [a,b]

была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы

для любого 0 нашлось такое разбиение

xk kn 0

(одно!), для которого

S s .

Доказательство.

Необходимость. Пусть функция f x интегрируема на отрезке [a,b]. Тогда

Ι

*

Ι * A,

Ι * lim S

, Ι

*

lim

s

.

d 0

d 0

Зафиксируем 0 . Тогда найдется такое 0 , что при всех разбиениях ,

таких, что d

S A , A - s .

2

2

Отсюда

S s S

A A s

2

2

Достаточность. Дано: 0 xk kn 0 ,

что S s .

Но s

Ι

*

Ι * S

, откуда Ι * Ι

*

.

В силу произвольности

получаем, что Ι * Ι

*

.

f x интегрируема на

По предыдущей теореме это означает, что функция

кое число 0 , что для любой пары точек

, [a, b] , удовлетворяющих не-

равенству

, выполняется неравенство

f ( ) f ( )

b a .

0

0

, [a,b]

-

f ( ) f ( )

b a

ном в отрезок [a, b] , функция f ( x)

достигает точной верхней и точной нижней

граней, так что, если [c, d ] [a, b] ,

d c , то

max f (x) min

f (x)

.

b a

[c,d ]

[c,d ]

Выберем теперь разбиение xk kn 0

сегмента [a, b] с диаметром d . Пусть

M k

sup f (x), mk

inf

f (x) . По определению сумм Дарбу имеем

[ xk 1 , xk ]

[ xk 1 , xk ]

n

S s (M k mk ) xk .

k 1

Используя неравенство M k

mk

, справедливое для данного разбие-

b a

ния, получаем

n

S

s

xk ,

b a k 1

то есть для произвольного 0

можно указать такое разбиение , для которо-

го S

s 0 . По основной теореме получаем, что функция f ( x) , интегрируе-

ма на [a, b] . Теорема доказана.

Доказательство. Пусть M k sup f (x),

mk

inf f (x) .

[a,b]

[a,b]

числом интервалов, сумма длин которых меньше числа 1

. Точки

2(M m)

число i

0 , что, если

, то f (

) f ( )

для всех пар то-

2(b a)

из i-го дополнительного сегмента.

чек ,

Пусть min i . Выберем на каждом i-м дополнительном сегменте разбие-

i

ние

i

x

k

ni

таким образом, чтобы диаметр d

i

каждого из этих разбиений

k 1

которое разбиение xk kn 1

всего сегмента [a, b] . Для этого разбиения имеем

n

S s (Mk mk ) xk ' (Mk mk ) xk '' (Mk mk ) xk ,

k 1

где в сумму ' вошли слагаемые,

отвечающие частичным сегментам, образо-

ванным из интервалов, покрывающих точки разрыва, а в сумму ''

все осталь-

ные. Рассмотрим отдельно каждую из этих сумм.

' : Поскольку M k mk

M m , для любого k, то

' (Mk mk ) xk

(M m) ' xk (M m)

.

2(M m)

2

'' : На дополнительных сегментах по построению имеем

M k mk

.

2(b a)

Отсюда

'' (Mk mk ) xk

'' xk

(b a)

.

2(b a)

2(b a)

2

дую точку разрыва покрыть интервалом длины, равной

. Тогда все точки

2 p

разрыва будут покрыты конечным числом интервалов с суммой длин

.

2

Следствие 2. Пусть функция

f ( x) интегрируема

на сегменте [a, b] , а

функция g( x) совпадает с функцией

f ( x) во всех точках сегмента [a, b] , кроме,

может быть, конечного числа точек. Тогда функция g( x)

тоже интегрируема на

отрезке [a, b] и

b

b

f (x)dx g(x)dx .

a

a

1

x , x (0,1]

f (x) sgn sin

0,

x 0

Эта функция имеет разрывы 1-го рода во всех точках x

1

, k 1,2,3...

k

k

и разрыв 2-го рода в точке x=0.

y

1

1

1

1

x

3

2

длины меньшей

.

Тогда все точки разрыва функции покрыты конечным

2 p

числом интервалов, сумма длин которых меньше, чем

p

. Значит, эта

2

2 p

функция интегрируема на сегменте [0,1] .

Теорема. Монотонная на сегменте [a, b] функция

f ( x) интегрируема по

Риману на этом сегменте.

Доказательство.

Случай, когда функция f ( x) постоянна, можно исклю-

чить. Пусть функция

f ( x) является неубывающей на отрезке [a, b] . Зафиксиру-

с диаметром d

.

Так как f ( x) const ,

то f (b) f (a) . Оценим

f (b) f (a)

разность S s . Пусть Mk

sup f (x), mk

inf

f (x) .

[ xk 1, xk ]

[ xk 1, xk ]

Тогда

n

n

S s

(Mk

mk ) xk

(Mk mk ) .

k 1

f (b) f (a) k 1

Для неубывающей функции

M k f ( xk ) mk 1,

k 1,2,..., n 1,

M n

f (b),

m1 f (a) .

Поэтому

S s

( f ( x1) f (a) f ( x2 ) f ( x1) ... f (b) f ( xn 1))

f (b)

f (a)

( f (b ) f (a))

f (b) f (a)

Таким образом, мы по заданному 0

построили разбиение , для которо-

Интегрируемость сложной функции.

Теорема. Пусть функция

f ( x) интегрируема по Риману на сегменте [a, b] .

Пусть M sup

f (x), m inf

f (x) . Пусть функция ( x) непрерывна на сегмен-

[a,b]

[a,b]

те [m, M ] .

Тогда сложная функция h ( f (x)) интегрируема по Риману на сегменте

[a,b].

Доказательство. Пусть C max

(t)

, 0 - произвольное число. Поло-

жим 1

.

m t M

b a 2C

По теореме Кантора функция (t)

равномерно непрерывна на [m, M ] . По-

этому существует такое 0 , что для всех пар точек

t1, t2 [m, M ] , удовлетво-

ряющих условию

t1 t2

, выполняется неравенство

(t1) (t2 )

1 .

В силу интегрируемости функции

f ( x) на [a, b] существует такое разбие-

ние xk kn 1 отрезка [a, b] , для которого S s

2 . Выберем еще и с ус-

ловием 1 . Положим Mk

sup

f (x), mk

inf

f (x) ,

[ xk 1, xk ]

[ xk 1, xk ]

M

*

sup

h( x), m *

inf

h( x) .

k

k

[ xk 1 , xk ]

[ xk 1 , xk ]

Разобьем целые числа 1, …, n на два множества A и B следующим образом:

1) k A, если M k

mk .

2) k B , если Mk

mk

.

Если k A ,

то M k mk

и в силу равномерной непрерывности функции

(t) на сегменте [m, M ] получим, что

M

k

* m * , поскольку в этом случае

k

1

M k mk

sup

f (x) inf

f (x) ,

[ xk 1 , xk ]

[ xk 1 , xk ]

то есть при

x, y [xk 1, xk ] разность

f ( x) f ( y) t1

t2 по абсолютной вели-

чине меньше :

t1 t2

, где t1

f ( x),

t2 f ( y) . Поэтому, в силу непрерыв-

sup ( f (x))

inf ( f (x)) 1 .

[ xk 1, xk ]

[ xk 1, xk ]

Если k B , то

M

k

* m *

sup ( f (x))

inf ( f (x))

k

[ xk 1 , xk ]

[ xk 1 , xk ]

sup

f (x) f ( y)

sup

(

f (x)

f ( y)

) 2C

[ xk 1 , xk ]

[ xk 1 , xk ]

n

S * s * (M k * mk * ) xk

(M k * mk * ) xk (M k * mk * ) xk

k 1

k A

k B

1(b a) 2C xk

k B

Оценим сумму xk . Имеем

k B

n

xk (M k mk ) xk (M k mk ) xk S s 2 .

k B

k B

k 1

Отсюда

xk 1 .

k B

Окончательно получаем

S * s * 1(b a) 2C xk 1(b a) 2C 1 .

k B

По основной теореме получаем,

что функция h(x)

интегрируема на [a, b] .

Теорема доказана.

Следствие.

Если функция f ( x)

интегрируема на сегменте [a, b] , то для

Поскольку

D1 (x)

1,

то функция

D1 ( x)

интегрируема на отрезке [0,1].

Вместе с тем функция D1 ( x)

не является интегрируемой на [0,1], так как

n

n

n

n

S

M k xk

1 xk 1, s mk

xk ( 1) xk 1

k 1

k 1

k 1

k 1

для любого разбиения xk kn 1 , то есть

lim S

lim s .

d 0

d 0

1. Линейность.

1а) Если функции

f ( x) и g(x) интегрируемы на [a,b] , то функции

f ( x) g(x) также интегрируемы на [a,b], причем

b

b

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx .

a

a

точном выборе точек k

имеем

n

n

n

[ f ( k ) g( k )] xk f ( k ) xk g( k )xk

k 1

k 1

k 1

n

n

cf ( k ) xk c f ( k ) xk ,

k 1

k 1