Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye

71

срокиокончаниястроительства. В таб л.1, составленнойплановым отделом, приведенперечень раб от, составляю щ ихпроцессстроительстваспортзала, указаны ихпродолжительностиипредш ествую щ иекаждойихнихраб оты.

О пределить критическоевремянеоб ходимоедлястроительстваспорт-

зала.

7. П ри участии в соревнованияхпо автогонкам важно б ыстро выполнить ремонтвыш едш ей из строямаш ины. В таб л.2 приведенперечень ра- б от, которыевыполняю тсяпри заменеколесаи рассчитаны надвухисполнителей (пилот и ш турман). Д ля каждой раб оты указанапродолжительность.

Т аб лица2

72

О пределить критическоевремя, необ ходимоедлязамены колеса.

8. Сенатор отЛ уизианы Ш ортпроталкиваетзаконопроекто том, что- б ы рыб акорю ш ка, об итаю щ аяв его родном ш тате, б ылазанесенав К расную книгу. Сенатор отВ осточныхш татов К рейндавно принадлежитк враждую щ им группировкам, поэтому Ш ортнеможетоказать прямого влияния напротивника. О днако Ш ортможетсыграть на‘дружескихчувствах’ другихсенаторов итем самым организовать косвенноедавлениенаб лижайш ее окружениеК рейна. П омощ ники Ш ортапопытались количественно оценить степень его влияниянанаиб олееуважаемыхсенаторов, которыемогутоказать давлениенаК рейна.

О чевидно, что приведенные оценки характеризую т только степень непосредственного влияниянасенаторов, но сами сенаторы могут, в свою очередь, оказывать определенное влияниенадругих, используя свои личныесвязи.

П омощ никиШ ортасчитаю т, что К рейннавернякаподдержитзаконопроекто корю ш ке, если нанего оказать давлениев 20 единиц. П остройте модель, котораяпоможетвыяснить, сможетли Ш ортзаручитьсяподдержкойК рейна.

9. Н айтивеличину максимального потокаиз s в t дляграфов, изоб раженныхнарис.5.

Рис.7

11. П оказать, что в лю б ом неориентированном графеG сединичными весами верш инсущ ествуеттакой марш рутмежду некоторой парой верш ин xi иxj, что аб солю тныйцентр y* графаG лежитв серединеэтого марш рута.

74

12.О пределить понятие “серединапути” и показать, что свойство, приведенноев задаче11, можетб ыть об об щ ено нанеориентированныеграфы спроизвольнымивесамиверш ин.

13.И спользуясвойство, приведенноев задаче11, найти аб солю тный центр в графесматрицейсмежности

75

9. К О Д И РО В А Н И Е И К О Д О В Ы Е Г РА Ф Ы

П роцедура кодирования. П ри передаче сооб щ ений по каналу связи необ ходимо об ратить вниманиенато, что различныесооб щ енияпоявляю т- сясразличной частотой. Н апример, в об ычныхрусскихлитературныхтекстах б уква“о” встречается примерно в 50 раз чащ е, чем “ф”. Будем рас-

сооб щ ения, аp1Κ pm - ихчастоты, удовлетворяю щ иеусловию :

алю б ые конечные группы символов этого алфавитакодовы м и словам и. К оличество кодовыхсимволов в словеб удетего длиной. К одированием б у- дем называть операцию , спомощ ью которойкаждому сооб щ ению ансамб ля U ставится в соответствие единственное кодовое слово. Разумеется, это можно осущ ествить множеством различных способ ов, каждый из которых долженудовлетворять двум простым треб ованиям: а) допускать возможность однозначного декодирования; б ) в целях экономии времени среднее количество кодовых символов, затраченных накодированиеодного сооб -

щенияансамб ля, должно б ыть как можно меньш е.

Особ енно важно выполнить условиеа), котороеможетб ыть сформулировано и по другому: пусть наприемник сооб щ ений попадает текст,

состоящ ий из символов кодового алфавита A (б ез каких-либ о промежутков). Т реб уется разделить его наотдельные кодовые словаи по ним однозначно восстановить сооб щ ения ансамб ля U , переданные по каналу связи. Д ля того, чтоб ы это стало возможным, необ ходимо выполнениеодного простого свойства, котороеназывается“префиксным” (отграмматического термина“префикс” – часть словадо основы, корня) и формулируетсяследую щ им об разом: всё множество кодовыхслов устроено так, что никакоеб олеекороткоеслово неможетб ыть началом (префиксом) б олее длинного кодового слова. К ак строить наб оры кодовых слов, удовлетворяю щ ие и треб ованию б ), б удет показано ниже, асейчас мы докажем одно простоенеравенство, котороепотреб уетсяпридоказательстве несколькиУ твержденихтеореме.: Справедливо следую щ еенеравенство:

ln( x ) ³ x -1,

котороеверно длявсех x > 0, причем равенство выполняетсятогдаитолько тогда, когдаx = 1.

Рассмотрим функцию y( x ) = ln( x ) - x +1, определенную идифференцируемую длявсех x > 0 инайдем её экстремумы.

y′(x) 1x 1== 0−.

Рис. 1 Д ействительно, представим себ е, что вместес8-ю кодовымисловами,

соответствую щ ими концевым верш инам кодового дерева, мы захотели использовать в качестве кодового и слово “00” (это желаниеможетвозникнуть, если число сооб щ ений ансамб ля M>8 и нам хочется использовать только кодовыеслова, длинакоторыхнеб ольш е3). Л егко видеть, что слово “00” являетсяпрефиксом в б олеедлинныхсловах“000” и “001” и поэтому последовательность символов “00001001” можно разб ить начасти так: 00- 00-100-1.. и так: 000-010-01..., и так: 00-001-... О днозначности декодирова-

нияприэтом доб итьсянельзя.

Т аким об разом, можно сформировать простоеправило: пусть кодированию некоторого ансамб ля соответствует кодовое дерево, тогдадля выполненияпрефиксного свойстванеоб ходимо идостаточно, чтоб ы множество кодовыхслов б ыло подмножеством множествавсех“концевых” слов, т. е. тех, которыесоответствую тлиш ь концевым верш инам кодового дерева.

Т еперь рассмотрим методы построенияэкономныхкодов, т. е. кодов, удовлетворяю щ ихусловию б ). Д лянаш его примерасансамб лем U построим код Ф ано. Заметим, что припостроениипредыдущ его кодамы вовсене пользовались информацией о частотахпоявленияотдельныхсооб щ енийиз U . Я сно, что б олеечасто появляю щ иесясооб щ енияжелательно кодировать б олеекороткими кодовыми словами. И менно так и поступил(ещ е в 1873 году) американец М орзе, предложивш ий свою систему кодированияиз точек и тире(двоичный алфавит) дляпередачи телеграфных сооб щ ений. Самую частую б укву английского языка“e” стех пор и кодирую тсамым коротким кодовым словом – одной“точкой”.

П остроениекодаФ ано б удем производить непо строкам (сооб щ ениям), апо столб цам, т. е. сразу определять, каким б удетпервыйсимволв ка-

б иться равновероятности появления каждого элементакодового алфавита {0,1} накаждой позиции кодового слова. К рометого, мы сделаем так, что

78

появление0 или 1 неб удетзависеть оттого, какой символб ылнапреды-

В последней колонке содержатся кодовые слова, кодирую щ иевсе 8 сооб щ енийансамб ляU . И хдлины соответственно равны (по неуб ыванию ): 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Д аетли такой код какие-либ о преимущ естваперед уже рассмотренным сравнымипо длинекодовымисловами? Д ляответанаэтот вопроспостроим соответствую щ еекоду Ф ано дерево (рис.2). П ростаяпроверкапоказывает, что кодовые словакодаФ ано соответствую т концевым верш инам кодового дерева, и, стало б ыть, префиксноесвойство удовлетворяется, декодированиеб удетоднозначным. Заметим, что уровень, накотором лежитверш инав точности равендлинекодового слова, соответствую - щ его этой верш ине, асамо кодовоеслово можно рассматривать как описание единственной цепи, соединяю щ ей данную верш ину с корнем дерева, каждый“0” – это поворотналево, а“1” – направо (еслидвигатьсяоткорняк верш ине).

П о условию б ) код Ф ано имеетявноепреимущ ество перед первым кодом. П усть M сооб щ ений ансамб ля U закодированы кодовыми словами, длины которыхравны: 1 2 Κ ,nM ,,nтогдаn средняядлинакодового слова, т.

е. среднее количество кодовых символов, необ ходимых для кодирования одного сооб щ енияансамб ляU равно

80

б удутсоответствовать всеконцевыеверш ины кодового дерева, еслиженеравенство строгое, то остаю тсясвоб одныеконцевыеверш ины.

Д оказательство.

Н еоб ходимость. П усть сущ ествует концевая верш инанауровне nk

(мы ужеотмечали, что уровень, накотором находитсяверш ина, совпадаетс длиной кодового слова, которому этаверш инасоответствует). Т огдана уровнеn > nk из-заналичияконцевойверш ины науровнеnk мы “потеряем”

Ln−nk верш ин. О б щ ееколичество “потерянных” верш иниз-заналичиявсех

M

M концевых верш инравно åLn−nk , но оно не может б ыть б ольш е, чем

k=1

об щ ееколичество концевыхверш иннауровнеn , равное Ln . Т аким об разом

которых ≤ m −1. И м соответствую ткодовыеслова(сначаласписка) сномерамиот1 до 1 2 Κ , n j,:, а,количеnj n ство слов сдлинамиравными m равно

Wm исправедливо неравенство К рафта. Запиш ем его, разб ив сумму левойи правойчастинатрислагаемых:

1)синдексамислов, длины которых ≤ m −1;

2)синдексамислов, длинакоторыхравнаm ;

3)сдлинами > m :

И з этого неравенстваполучим неравенство длявеличины wm - числа кодовыхслов сдлинами m :

j

но число Lm - åLm−nk , стоящ ее в правой части неравенства, равно числу

k=1

реально сущ ествую щ ихнаm -ом уровнекодового дереваконцевыхверш ин. Следовательно, необ ходимоечисло верш иннаm - м уровне wm непревос-

ходитвозможного. П оследнеевыражениев правой части неравенства(<1) только усиливаетвывод. Т ак как это рассуждениесправедливо при лю б ом m , то достаточность условиятеоремы доказана.

Основнаят еорем а кодирования. Д о середины 20-го векагосподство-

вало уб еждение, что стоит лиш ь постараться и можно придумать код со сколь угодно малой средней длиной кодового словаn . Т о, что это нетак, б ыло доказано в 1948 году великим американским ученым К . Ш енноном, основателем новойнауки– теорииинформации.