Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye
.pdf61
структурой. К таким об ъектам, в частности, относятся территориально распределенные системы: информационные, транспортные, энергетические и т.п. Х орош им описанием различных коммуникационных сетей служит взвеш енный граф, реб рам и верш инам которого приписываю т веса, означаю щ иесоответственно пропускныеспособ ности линий связи и потреб ности(производственныемощ ности) об ъектов. Д лятакихвзвеш енныхграфов формулирую тсязадачидвухтипов:
а) оптимизировать значениефункционалов, заданныхнаэтихграфах;
б) синтезировать такиевесанареб рах графа, которыеоб еспечиваю т достижениеэкстремумафункционала, заданного намножествереб ер этого графа.
В математической постановке многие из подоб ных задач удается сформулировать в терминах линейного программирования. О днако оказывается, что удоб нееформулировать задачи линейного программированияв терминах распределенияпотоков награфах. Э то об ъясняетсятем, что для потоковых задач б ольш ой размерности в настоящ еевремяразраб отаны алгоритмы свысокойвычислительнойэффективностью .
Рассмотрим примеры потоковыхзадач.
Задач а о крат ч айшем пут и заклю чаетсяв нахождении пути минимальной длины отзаданной верш ины s к заданной верш инеt в ориентированном графе. Е слиграф являетсявзвеш енным, то под д ли ной пути подразумеваетсясуммадлиндуг, которыеэтотпуть составляю т; иначедлинапути - это количество дуг, об разую щ их этот путь. О б об щ ениями задачи о кратчайш ем путиявляю тся:
а) задачанахождениякратчайш ихпутеймежду верш иной s и всеми другими верш инамиграфа;
б) задачанахождениякратчайш ихпутеймежду всемипарамиверш ин. Е слиопределить кратчайш иепутиотзаданнойверш ины s ко всем ос-
тальным верш инам графа, то можно построить дерево кратчайш их путей. П ри реш ении задачи о кратчайш ем пути во взвеш енном графеследуетрассматривать три случая: а) вседуги имею тнеотрицательный вес; б ) некоторыедуги имею тотрицательный вес, но в графенесущ ествуетконтуров с суммарным отрицательным весом; в) в сети присутствует один или несколько контуров сотрицательным суммарным весом. В последнем случае задачу о кратчайш ем пути реш ить нельзя, но можно об наружить контуры с отрицательным суммарным весом. В случаеа) дляпоискакратчайш его пути между заданными верш инами используетсяалгоритм Д ейкстры; дляопределния кратчайш его пути с заданным числом дуг - алгоритм Ф ордаБеллмана; дляпоискакратчайш ихпутеймежду заданнойверш инойs ивсеми остальными можетб ыть использванкак алгоритм Д ейкстры, так и его модификации [2]. В случаях б ) и в) используется алгоритм Ф орда-М ура. Д ляопределениякратчайш его путимежду всемипарамиверш инприменим алгоритм Ф лойда[1]. Рассмотрим этиалгоритмы.
62
Алгор ит м Д ЕЙ К С ТРЫ
Ш аг 1 (присвоениеначальныхзначений). G - данныйграф, s - начальнаяверш инапути, t - конечнаяверш инапути. П оложить l(x)=0 дляx=s и считать эту пометку постоянной. П оложить l(xi) = ¥ длях¹s и считать эти пометкивременными. П оложить р=s.
Ш аг 2 (об новлениепометок). Д лявсеххiÎГ (р), пометки которыхвременные, изменить пометкив соответствиисправилом
l(xi)=min{ l(xi), l(p)+c(p, xi)}.
Ш аг 3 (превращ ение пометок в постоянные). Среди всех верш инс временными пометками найти такую xi*, для которой l(xi*)=min{ l(xi)}. Считать эту пометку верш ины xi* постояннойиположить р=xi*.
Ш аг 4. Е сли р¹t, то перейти к ш |
агу 2. Е сли р=t, то l(p) - длинакрат- |
чайш его пути. Ч тоб ы найти сам путь, |
надо поступить следую щ им об разом: |
положить y=t; из всехверш инxiÎГ -1(у) выделить такую верш ину х, длякоторой выполняется соотнош ение l(y)=l(x)+c(x,y); затем в качестве у рассматриваетсянайденнаяверш инахпроцесспродолжаетсядо техпор, пока неб удетдостигнутаверш инаs , тогдапуть из дуг, соединяю щ ихвыделенныеверш ины - искомыйкратчайш ийпуть из s в t. О станов.
Замечание. Различнаяинтерпретациявесов графаприводитк различным задачам, которыесводятсяк задачео кратчайш ем пути:
1. Наиболее н адеж н ы й пут ь. П усть весдуги представляетеенадежность, тогданадежность путиотs к t задаетсяформулой
(P) ∏rijr, =
i j P ) x, (x
гдеrij - надежность дуги(xi, xj), P - путь из s в t, содержащ ийдуги(xi, xj). Задачу нахождениянаиб олеенадежного пути отs к t можно свестик
задачео кратчайш ем путииз s в t, взяв в качествевесаcij дуги (xi, xj) внличину cij = -log rij, тогдаполучим
ρ( ) = å |
ρij = − |
åcij . |
log |
P |
log |
|
P ) x, (x |
j |
) x, (x |
i j |
|
|
|
|
|
i |
|
|
||
О тсю давидно, что кратчайш ий путь отs к t сматрицей весов {cij} б удетв |
|
|
||||
то жевремяинаиб олеенадежным путем сматрицей{rij}, анадежность это- |
|
|
||||
го путиравнаантилогарифму его длины. |
|
|
|
|
|
|
2. Пут ь с н аибольш ей пр опуск н ой способн ост ью . В |
этой задачекаж- |
|
|
|||
даядугаграфа(xi, xj) имеетпропускную |
способ ность qij |
и треб уетсянайти |
|
|
||
путь отs к t снаиб ольш ей пропускной способ ностью . П ропускнаяспособ - |
|
|
||||
ность пути P определяетсядугой из P снаименьш ейпропускной способ но- |
|
|
||||
стью , т.е. |
{qij }. |
min |
|
|
|
|
Q(P) = |
|
|
|
|||
i j |
P ) x, (x |
|
|
|
|
Сущ ествую ти другиепостановки задач, приводимыек задачео кратчайш ем пути.
63
В частном случае, если весавсехдуг равны 1, то длинапути есть количество дуг, которыесоставляю тэтотпуть. Д ляего определенияцелесооб разно использовать специальныйалгоритм – алгор ит м “ фр он т а волн ы ”:
|
Ш |
аг 1. G - данныйграф, s - начальнаяверш инапути, t - конечнаявер- |
ш инапути. В ерш инеs приписать пометку 0. П оложить А ={s}, k=0. |
||
|
Ш |
аг 2. Н айти множество Г (А ), положить k=k+1. В ерш инам, принад- |
лежащ им множеству Г (А ), приписать пометки, равныеk. |
||
|
Ш |
аг 3. Е сли верш ина t получила пометку, то перейти к ш агу |
4, |
иначе положить А = Г (А ) иперейтик ш агу 2. |
|
Ш |
аг 4. |
П усть верш инаt имеетпометку l , тогдаl - длинапути сминималь- |
ным числом дуг. Ч тоб ы найтипуть надо поступить следую щ им об разом: среди верш ин, смежных сt, найтитакую , у которой пометкаравна(l - 1), пусть это верш инаx. Затем среди верш ин, из которых ведут дуги в х, найтитакую , у которой пометка равна(l-2) ит. д. - процесспродолжается до техпор, поканеб удетдостигнутаверш ина s. П уть [s , ... , x , t] - искомый. О станов.
Е сли в сети некоторыедуги имею тотрицательный вес, то, как отмечалось выш е, алгоритм Д ейкстры не применим и используется алгор ит м Ф ор да-М ур а:
Замечание: А лгоритм основаннаприписывании верш инам пометок. lk(xi) - пометкаверш ины xi после(k+i) - той итерации. В результатераб оты алгоритмалиб о выдаетсясооб щ ениео сущ ествованиициклаотрицательного веса, либ о б удутопределены кратчайш иепутииз заданнойверш ины s во всеостальныеверш ины. П утиопределяю тсянаосновепометок так же, как
валгоритмеД ейсктры.
Шаг 1. П оложить S=Г (s), k=1; l1(s)=0 ; l1(xij)=C(s,xi) длявсех xiÎГ (s); l1(xi) = ¥ длявсехостальныхxi .
Ш аг 2. Д лякаждойверш ины xi Î Г (S) изменить пометки по прави-
лу:
lk+1(xi) = min{lk(xi),min{lk(xj)+c(xj,xi)}}, гдеxjÎTi =Г -1(xi)Ç S
Длявсехверш инxiÏГ (S) положить lk+1(xi)=lk(xi).
Шаг 3. Е сли k £ -1 и lk+1(xi) = lk(xi) и надвух предыдущ ихитерациях
пометкисовпадаю тдлявсехxi, то по полученным пометкам можно определить кратчайш иепути отзаданной точки s ко всем остальным верш инам. О станов. Е слиk<n-1 и lk+1(xi) ¹ lk(xi) длянекоторыхxi, то перейтик ш агу 4. Е сли k = n-1 и lk+1(xi) ¹ lk(xi) длянекоторыхxi, то в графесущ ествуетцикл отрицательного весаи задачанеимеетреш ения (сооб щ ениеоб ош иб ке и останов).
Шаг 4. П оложить S = {xi | lk+1(xi) ¹ lk(xi)}
Шаг 5. П оложить k = k+1 перейтик ш агу 2.
Задач а о крит ич еском пут иотличаетсяотзадачио кратчайш ем пути тем, что ищ етсяпуть максимальной длины. Заметим, что если весадуг неотрицательны, то можно использовать алгоритм Д ейкстры ссоответствую - щ имиизменениями, но сущ ествую тиспециальныеалгоритмы (одиниз них
64
приведенниже). М аксимальныйпуть иначеназываю ткритическим, ив сетевыхмоделяхониспользуетсядляреш ениясразу двухзадач – определения раннихвременнаступлениясоб ытий и дляосущ ествлениятопологической сортировкиверш инграфа– такойнумерацииверш ин, называемойправильной, когдадлякаждойдугиграфаномер начальнойверш ины меньш еномераконечной. Д ругоеееприменение– разложениеграфапо уровням, когда граф представляетсяв видеиерархическойструктуры, икаждаядугасоединяетверш ины только разных уровней. У ровни графаб ез контуров использую тсядляпостроенияпорядковой функции, лежащ ей в основенекоторых процедур классификации.
Д ляпроизвольного графаможно использовать алгор ит м пост р оен ия м ак сим альн огопут и с пом ощ ью базисн огодер ева:
Ш аг 1. Д ляданного орграфаG определить произвольноедерево скорнем в верш ине хо (хо - миноранта). М ножество дуг графаразб ить надва подмножестванаветвидерева(D ) ихорды (AD).
Ш |
аг 2. К аждойверш инеграфахi Х поставить в соответствиеиндекс- |
число, |
равное длине пути от верш ины хо до верш ины хi . И ндекс первой |
верш ины полагаем равным 0. И ндексы остальных верш инопределяю тся следую щ им об разом: отвыб ранной верш ины ищ ем путь до хо, идятолько по дугам деревапротив стрелок. Т акойпуть сущ ествуетиединствен. О дновременно складываем весасоответствую щ их дуг и получаем величину индексавыб раннойверш ины. И ндексы помещ аю тсяв массив IND.
Шаг 3. П оложить R=0. (R - признак измененияиндексов).
Шаг 4. П росматриваяхорды графав произвольном порядке, находим такие, весакоторыхувеличиваю тиндексы верш ин. П риэтом рассматриваемаяхордаиз AD переходитв D наместо удаляемойветви дерева; одновре-
менно из D удаляется таветвь, которая имеетодинаковую конечную вер- ш ину схордойиз AD. Н аосвоб ожденноеместо в массивеAD переходитдуга, удаленная из D. Д ругими словами, при увеличении индексов верш ин происходитоб мендугамимассивов D иAD. П риэтом положить R=1.
Ш |
аг 5. Е сли вседуги AD просмотрены, то перейти к ш агу 6, иначе |
перейтик ш агу 4. |
|
Ш |
аг 6. Е сли R=0, то перейтик ш агу 7, иначеперейтик ш агу 3. |
Ш |
аг 7. Д линамаксимального пути - индексконечной верш ины пути. |
Ч тоб ы найтимаксимальныйпуть, достаточно идтипротив стрелок по дугам массиваD.
Е сли награф накладываю тсяограничения, то необ ходимо использовать специальныеалгоритмы. Т ак в задачахсетевого планированияорграф недолженсодержать контуров. В этом случаедля поискамаксимального пути, который называетсякрит ич еским , используетсяалгор ит м пост р ое-
н ия м ак сим альн ого(к р ит ического) пут и в ацик лическ ом взвеш ен н ом ор гр а-
фе:
Ш аг 1. (X,U) - данныйграф сматрицейвесов С. В ыполнить топологическую сортировку верш инграфа, при этом начальная верш инаполучает номер 1, аконечнаяномер n. (n=|X|.)
65
Шаг 2. Н ачальнойверш инеприсвоить пометку l(1)=0. П оложить k=1 ( k - номер рассматриваемойверш ины).
Шаг 3. Е сли всеверш ины помечены, то перейти к ш агу 5, иначеположить k=k+1 инайтимножество Г -1(k).
Шаг 4. В ерш инеk присвоить пометку l(k) по правилу
= |
{ |
i + cik}) |
x(l |
max |
) k(l |
иперейтик ш агу 3. |
i Г −1 )(k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш аг 5. П оложить k=n, i=1, w(1)=n. |
|
|
|
|
|
Ш аг 6. Д ля верш ины k |
найти множество |
Г (k). |
И з всех верш ин |
||
этого множествавыб рать такую |
верш ину j, чтоб ы выполнялось |
равенство |
l(k)= l(j) + ckj . П оложить i = i + 1, w(i)=j.
Ш аг 7. Е слиk ¹ 1, то положить k=k-1 иперейтик ш агу 6, иначеостанов - массив w содержитверш ины, входящ иев критический путь, пометка конечнойверш ины - длинакритического пути.
Замечание: Задачисетевого планированияиуправления– это задачи, которыезаклю чаю тсяв определении последовательности операций, реализую щ ихнекоторый проект, и в распределении ресурсов между ними. В качестве критериев оптимальности рассматриваю тся минимизация времени выполненияпроекта, затрат, рискаи т.п. Д линакритического путив сети – это время, необ ходимоедляреализации всего проекта, араб оты (дуги), лежащ иенакритическом пути, об ладаю ттем свойством, что неимею трезервов, поэтому именно нанихследуетоб ратить вниманиепри планировании раб от. И зменениедлины критическойдугиведетк изменению критического времени.
Задач а о м аксим альном пот оке: пусть G= (X,U) - орграф б ез петель систочником s истоком t. И ст оч ником в орграфеG называетсяверш инаs, из которойдостижимы всеверш ины графа; ст ок t определяетсядвойственным об разом. К аждой дугесоответствуетчисло rij, котороеназываетсяпропускнойспособ ностью дуги. М ножество чисел{хij}, определенныхнадугах (xi,xj)ÎU, называю тпотокаминадугах, есливыполняю тсяследую щ иеусловияб аланса:
|
|
ì v, еслиxi = s |
||
а) å xij - |
|
ï |
|
= t ; |
å x ki = í- v, еслиx i |
||||
x:j j Г i ) (x |
kx:k Г |
−1 i ) (x ï |
0, иначе |
|
|
|
î |
|
б ) 0 < xij < rij длявсех( xi , xj )ÎU.
Задача о максимальном потоке заклю чается в нахождении такого множествапотоков по дугам, чтоб ы величинаv б ыламаксимальной. Реш е- ниеэтойзадачиосновано нат еор ем е [2, стр. 312]: величинамаксимального потокаиз s в t равнавеличинеминимального разреза < R*,`R* >, отделяю - щ его s отt. Разрез < R*,`R* > отделяетs отt , еслиs Î R*, t Î`R*. В еличиной такого разрезаназываетсясуммапропускныхспособ ностей всехдуг G, начальные верш ины которых лежатв R*, аконечные- в`R*, т.е.
|
|
66 |
å |
|
|
|
|
|
= > |
|
rij . |
) * R *, Rv( |
|
< |
||||||
|
|
|
|
|
>R*, |
R <) x, (x |
|
|
i |
j |
* |
М инимальныйразрез - это разрез снаименьш им таким значением.
Э тазадачаи ее варианты могут возникать во многих практических приложениях, например при определении максимальной интенсивности транспортного потокамежду двумяпунктами накартедорог, представляемой графом. В этом примеререш ениезадачи о максимальном потокеукажеттакжету часть сети дорог, которая“насыщ ена” и об разует“узкоеместо” в отнош ении потокамежду двумя указанными концевыми пунктами. Д лянахожденияреш ениязадачи о максимальном потокеиспользуетсяал-
гор ит м Ф О РД А и Ф АЛ К ЕРС О НА:
Замечание: Д анный алгоритм основаннаприписывании верш инам графапометок, при этом верш инаможетнаходиться в одном из трех состояний:
∙верш инеприписанапометка, ионапросмотрена(т. е. онаимеет пометку
ивсесмежныеверш ины “об раб отаны”);
∙верш инаимеетпометку, но непросмотрена(т.е. невсесмежныесней верш ины “об раб отаны”);
∙верш инанеимеетпометки.
Пометкапроизвольной верш ины хi состоит из двух частей и имеет
одиниз двух видов [+хj ,δ] или[-хj , δ]. Ч асть +хj пометкипервого типаозначает, что поток допускаетувеличениевдоль дуги(хj , хi). Ч асть -хi пометки другого типаозначает, что поток можетб ыть уменьш енвдоль дуги (хj , хi). В об оихслучаяхδ задаетмаксимальную величину дополнительного потока, которыйможетпротекать по некоторому путиотs к хi .
Ш |
аг 1. П рисвоить источнику s пометку [+s,∞]. |
Ш |
аг 2. В ыб рать непросмотренную верш ину спометкой [ ± хk , θi ]. |
К аждой непомеченной верш ине хj Г (хi), для которой xij<rij, присвоить пометку [+хj , θj ], гдеθj=min{θi , rij - xij }. К аждой непомеченной верш ине
xj Г -1(xi), длякоторойxji >0, присвоить пометку [-xi ,θj ], где θj=min{θi , xji }. Ш аг 3. П овторять ш аг 2 до тех пор, пока либ о верш инаt неб удет
помеченаи тогдаперейти к ш агу 4, либ о t неб удетпомеченаи никаких других пометок нельзя б удетрасставить. Е сли при этом R* - множество помеченных верш ин, а `R* - множество непомеченных верш ин, то <R*,`R*> - минимальный разрез, асуммапропускныхспособ ностей надугахэтого разрезаесть величинамаксимального потокаv*.
Шаг 4. П усть верш инаt имеетпометку [ ± z ,θt ], тогдаположить x = t
иперейтик ш агу 5.
Шаг 5. Е слипометкав верш инехимеетвид [+y,θx ], то увеличить поток вдоль дуги(у,х) навеличину θt . Е слипометкав верш инехимеетвид [- y, θx ], то уменьш ить поток вдоль дуги(х,у) навеличину θt . П ерейтик ш агу
6.
67
Ш аг 6. Е сли y=s , то стереть всепометки и перейти к ш агу 1, иначе положить x=y иперейтик ш агу 5.
И звестными модификациями задачи о максимальном потокеявляю т-
ся:
а) Е сливместо одного источникаиодного стокарассмотреть несколько заданныхисточников и стоков, причем между различными источниками истокамипротекаю тпотокиразличныхпродуктов, то задачамаксимизации суммы всех потоков между источниками и стоками называется задачей о м н огопр одук т овом пот ок е. В этой задачепропускнаяспособ ность дуги являетсяограничением длясуммы всех потоков всех видов продуктов через эту дугу.
б ) Е сли рассмотреть граф, в котором выходной поток дуги равенее
входному потоку, |
умноженному нанекоторое неотрицательное число, то |
|||
задачу о максимальном |
потоке от s к t |
называю т задачей о пот оках с |
||
вы игр ы ш ам и. |
В |
такой |
задаче потоки |
могут и “ порождаться ” и |
“поглощ аться” |
самим графом, так что |
поток, входящ ий в s, и поток, |
выходящ ийиз t, могутизменятьсясоверш енно независимо.
Задач иразм ещения. В практическойдеятельностипостоянно возникаю тзадачи“наилучш его” размещ ениянекоторыхоб ъектов (об орудования, аварийныхслужб , телефонныхстанцийидр.). П риэтом, есликритерийоптимальностисостоитв минимизациирасстоянияотпунктаоб служиваниядо самой отдаленной верш ины графа, то задачи такого типаназываю тся м и- ним аксны м и задач ам и разм ещения. П олученныепри реш ении этихзадач местаразмещ енияпунктов об служиванияназываю тсяцентрамиграфа. Е сли критерий оптимальности состоит в минимизации суммы расстояний от верш инграфадо пунктаоб служивания (предполагается, что онединственен), то задачи такого типаназываю тся м инисум м ны м и задач ам и разм е- щения, аместаразмещ енияпунктов об служиванияназываю тсямедианами графа.
В ведем определения. Расстояни ем d(x,y) отверш ины хдо верш ины у называется длинакратчайш его пути из х в у. П ри х=у d(x,y)=0; при у R(x) d(x,y)=∞. В м атри церасстояни й (i,j)-ыйэлементравенрасстоянию
из верш ины хi |
в верш ину хj; если жеиз хi в хj |
нетпутей, то соответствую - |
|||||||
щ ийэлементполагаетсяравным ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим граф G, длякоторого D - матрицарасстояний, V=(vj)n оп- |
|||||||||
ределяетвесаверш ин. Ч исло S0(xi) называетсячи слом |
внешнего разд еле- |
||||||||
ни я, если |
|
|
{ × |
|
j ))}.i x, |
x( d |
v |
max |
|
|
S0(xi) = |
xi X |
i |
||||||
|
|
|
|
{ |
|
))} x, |
x( d |
max |
|
|
|
|
|
xi X |
|
||||
Е сли vj |
= 1, то величина l(xi) = |
|
i j |
называется экс- |
центри си тетом верш ины х.
Ч исло St(xi) называетсячи слом внутреннего разд елени я, если
|
68 |
|
|
{ |
× |
St(xi) = xi X |
|
|
В ерш инахо*, длякоторой |
|
{ 0 |
So(хо*)= |
xi X |
|
|
|
|
называетсявнешни м центром граф а. |
|
|
В ерш инахt*, длякоторой |
{ t |
|
St(хt*) = |
||
|
xi X |
|
i j))}.i x, |
x( d v |
min |
i )}x( S |
min |
|
i )} x( S min
называетсявнутренни м центром граф а.
В ерш инах*, для которой
l(х*) = |
{ |
i )}x(l |
min |
называетсяцентром графа. |
xi X |
|
|
|
|
|
Ч исло внеш него разделенияхо*, являю щ еесявнеш ним центром, называетсявнешни м рад и усом ρо = Sо(хо*). Ч исло внутреннего разделенияхt*, являю щ ееся внутренним центром, называется внутренни м рад и усом ρt = St(хt*). Е сли граф имеетцентр х*, то эксцентриситетl(х*) называется ра-
д и усом графа.
Замечание. Е сли конечный граф G = ( X, Г ) являетсяполным, то его |
|
||||||||||||
радиус ρ ≤ 2 , авсякаяверш инахо , длякоторой |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
| Г (хо) \ { хо} | = max |
|
Г |
|
|
}x{\ )(x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
служитцентром. |
|
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т очкауo*, длякоторой |
|
{ |
|
× |
|
|
)} x, y( d |
v |
max |
min |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
So(уo*) = y G xi X |
i |
|
|
|
i |
, |
|
|
|
||
называетсяабсолютным внешни м центром |
графа. |
|
|
|
|||||||||
Т очкауt*, длякоторой |
|
{ |
|
× |
|
)}y, x( d |
v |
max |
min |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
St(уt*) = y G xi X |
i |
|
|
i |
|
, |
|
|
|
||
называетсяабсолютным внутренни м |
центром |
графа. |
|
|
|
||||||||
Ч исло внеш него разделенияаб солю тного внеш него центраназывается |
|
||||||||||||
абсолютным внешни м рад и усом ro = So(yo*). Ч исло внутреннего разделе- |
|
||||||||||||
нияаб солю тного внутреннего центраназываетсяабсолютным внутренни м |
|
||||||||||||
рад и усом rt = St(yt*). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ч исло σо(xi) |
называетсявнешни м перед аточным чи слом , если |
|
|||||||||||
|
|
σо(xi) = |
å{ |
× |
|
|
|
i j ))}i x,v x( d |
|
|
|
||
|
|
xi X |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
Ч исло σt(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
называется внутренни м |
перед аточным |
чи слом , если |
|
||||||||||
σt(xi) = |
å{ × |
i j ))}i x,v x( d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x X xjX |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
{σ |
|
|
)} x( |
min |
|
|
|
|
|||
В ерш ина`хо , длякоторой σо(`xo ) = xi X |
0 |
i |
называется внеш- |
|||
ней м ед и аной графа. |
{σ |
|
|
)} x( |
min |
|
В ерш ина`хt , длякоторойσt(`xt ) = xi X |
|
|
||||
|
t |
i |
называетсявнутрен- |
ней м ед и аной графа.
П ри м ер. П усть граф G заданматрицейрасстоянийD(G), всевесаvj и cij примем равными 1. В ычислим внеш ниеивнутренниепередаточныечиславерш ин. Э ти числаприведены в присоединенных к матрицерасстояний строкеи столб це. П о полученным передаточным числам видно, что внеш - неймедианой являетсях5 сσ0(х5) = 7 ичто сущ ествую ттривнутренниемедианы х2, х3 их5, каждаясвнутренним передаточным числом, равным 9.
|
|
|
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
х6 |
σ0(хi) |
|
|
х1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
3 |
11 |
|
|
х2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
1 |
|
2 |
9 |
D(G) = |
х3 |
4 |
3 |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
13 |
|
|
|
х4 |
3 |
2 |
2 |
0 |
1 |
|
2 |
10 |
|
|
х5 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
|
1 |
7* |
|
|
х6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
|
0 |
13 |
|
|
σt(хi) 13 |
9* |
9* |
12 |
9* |
|
11 |
|
|
|
|
ЗА Д А Ч И И У П РА Ж Н Е Н И Я |
|
|
1.И спользуя алгоритм Д ейкстры, найти кратчайш ий путь из s в t в графах, изоб раженныхнарис.1.
2.И спользуя алгоритм Д ейкстры, определить кратчайш ие путииз
верш ины 1 в каждую другую |
верш ину награфе, изоб раженном на рис.2. |
П редположим, что послеэтого об наружилось, что дуга(4,2) длиной1 |
|
считалась отсутствую щ ей. М |
ожно ли при этом воспользоватьсяужеполу- |
ченными результатами илинеоб ходимо вновь в полном об ъемепроизвести вычисления?
G 1 |
G2 |
G 3 |
G4 |
Рис.1
|
70 |
2 |
3 |
1 |
6 |
4 |
5 |
Рис.2 3. У правляю щ ийгостиницейдолжензаб ронировать номерадляново-
б рачныхнаследую щ иймесяц. О нполучилопределенноеколичество заявок наб ронированиесразличными датами приездаи отъезда. К аждоевозможноеб ронированиеномеров даетгостиницеопределенный доход, в зависимостиоттого, кем являю тсяклиенты. К аким об разом в этом случаеиспользовать алгоритм Д ейкстры длявыраб отки расписанияб ронированияномеров, приносящ его гостиницемаксимальныйдоход?
4. В графеG, изоб раженном нарис.3, найтипуть сминимальным числом дуг из хв у, если а) х=х11, у=х1; б ) х=х1, у=х8; в) х=х6, у=х11.
G |
Рис.3 |
5.Н айтимаксимальныйпуть из s в t в графах, изоб раженныхнарис.4.
6.Строительнаяфирмаподписалаконтрактнастроительство нового
спортзаладля колледжа. В контрактепредусмотрены б ольш иеш трафы за невыполнениераб оты в срок, поэтому дляруководителяфирмы важно выяснить, какиестроительно-монтажныераб оты имею треш аю щ еевлияниена
G 1 |
G2
G 3 |
G4 |
Рис.4 |
|