Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye

51

верш инамихi иxj . П усть дугаu ориентированаотхi к xj . Будем говорить,

что ори ентаци яд уги u соответствуетори ентаци и ци кла, есливерш инахi

встречаетсяпри об ходециклав направлении, указанном его ориентацией, раньш еверш ины xj .

мальноемножество реб ер G, что удаление S разб ивает G надвекомпоненты.

53

♦Упраж нение [1, стр.184]. Д оказать, что ранг матрицы разрезов R связного графаG наn верш инахравен(n-1).

П усть остов Т связного графаG наn верш инах определяет (n-1) б а- зисноеразрезаю щ еемножество. П одматрицаRT соответствую щ аяэтому (n-

строкиистолб цы матрицы RT так, что а) i-ыйстолб ец соответствуетветвиbi для1≤ i≤ n-1; б ) i-аястрокасоответствуетб азисному разрезаю щ ему множеству, определяемому bi, и выб ирая ориентацию б азисного разрезаю щ его множестватаким об разом, чтоб ы ей соответствовалаориентация определяю щ ейветви, получим следую щ еепредставлениематрицы

RТ = [ I, R12 ].

О пределениеразрезаявляется двойственным к определению остова. Н ижеприведены утверждения, которыераскрываю тпонятиедвойственности

♦Упраж нение. П усть граф G2 являетсядвойственным к G1. П оказать, что циклграфаG2 соответствуетразрезаю щ ему множеству графаG1 и наоб орот.

♦Упраж нение[3, стр.47]. Д оказать, что а) б азисныйциклпо отнош е- нию к некоторойхордеостоваT связного графасостоитточно из техветвей T, которым соответствую тб азисныеразрезаю щ иемножества, вклю чаю щ ие эту хорду; б ) б азисноеразрезаю щ еемножество по отнош ению к некоторой ветви остоваT связного графасостоитточно из теххорд остоваT, которым соответствую тб азисныециклы, вклю чаю щ иеэту ветвь.

♦Упраж нение[3, стр.108]. П оказать, что еслистолб цы цикломатиче-

ской матрицы С и матрицы разрезов R расположить в одном порядке, то СRT=0.

ЗА Д А Ч И И У П РА Ж Н Е Н И Я

1.П ривестипример графа, цикломатическоечисло которого равно 0.

2.Д оказать, что множество К реб ер неорграфа, такое, что К имеетчетноечисло реб ер, об щ ихскаждым циклом, являетсяразрезом.

3.Д ля графаG (рис.1, а)-в)) найти цикломатическое число, атакже множество б азисныхциклов относительно остоваТ .

б )

G T

Рис.2.

7. П остроить б азисную матрицу разрезаю щ их множеств графаG относительно а) остоваТ 1; б ) остоваТ 2 (рис.2).

7. О Б ХО Д Ы Г РАФ А

О днаиз самых первых задач теории графов - это задачао кенигс- б ергскихмостах, вопроскоторой состоялв том, можно ли, начав снекоторойточки, соверш ить прогулку ивернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно один раз. Э йлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос, так как соответствую щ ий граф несодержалэйлеровацикла. С эйлеровыми графами связаназадачакитайского почтальона: реб рам графаприписаны положительныевеса, треб уетсянайти цикл, проходящ ий через каждое реб ро, по крайней мере, одинраз и такой, что его суммарный весминимален. О чевидно, что если такой граф содержитэйлеров цикл, то они б удетоптимальным. Э тазадачаимеетмного потенциальныхприложений, связанныхспроб лемойинспектированияраспределенных систем, когдатреб уетсяпроверить все“компоненты” (об служиваниедорог, проверкаэлектрических, телефонныхижелезнодорожныхлиний, организацияэкскурсий и т.п.). В девятнадцатом векеГ амильтонпридумалигру, где использовалсядодэкаэдр, всем верш инам которого б ылиданы названия известных городов. Задачаиграю щ его состоялав том, чтоб ы определить замкнутый путь через все города, посетив каждый из них только один раз. Т ак возникло понятиегамильтонова пути во взвеш енном графе. Э й- леровы и гамильтоновы графы часто встречаю тсяв практическихзадачахи поэтому представляю тособ ыйинтерес. Рассмотрим б олееподроб но этипонятия.

¨Упраж нение [1, стр.83; 6, стр.192; 3, стр.51]. Д оказать, что для связного графаG следую щ иеутвержденияэквивалентны:

а) G - эйлеров граф;

б ) каждаяверш инаграфаG имеетчетную степень;

в) множество реб ер графаG можно разб ить напростыециклы. Замечание. Ч астным случаем утвержденияпредыдущ его утверждения

являетсятеоремаЭ йлера[2, стр. 229] связный неорграф содержитэйлеров цикл(цепь) тогдаитолько тогда, когдачисло верш иннечетнойстепенирав-

но 0 (0 или2).

П онятияэйлеровостиможно распространить инаорграфы. И меетместо следую щ ееутверждение[2, стр. 230]: связныйориентированныйs-граф содержитэйлеров контур (сущ ествуетпуть) тогдаи только тогда, когдаполустепенизаходаd+(xi) и полустепениисходаd–(xi) всехверш инудовлетво-

d–(p)-1, гдеpначальная, аq - конечнаяверш инаэйлеровапути.

Д ля определения эйлеровациклав неорграфе используется м ет од Ф лер и, идеякоторого заклю чаетсяв следую щ ем: начав снекоторой верш и- ны х, каждый раз вычеркивать пройденноереб ро; непроходить по реб ру, еслиудалениеэтого реб раприводитк разб иению графанадвесвязныекомпоненты (несчитаяизолированныхверш ин).

Е сли граф ориентированный, то целесооб разно использовать алго-

р ит м пост р оен ия эйлер ова цик ла в связн ом н еор гр афе с чет н ы м и ст епен я-

м и вер ш ин , а т ак ж е в ор гр афе с совпадаю щ им и полуст епен ям и захода и исхода:

Замечание: граф G=(X,U) задаетсямножеством Х (G) своихверш ини наб ором реб ерных окрестностей всехего верш инS(x) = {u | реб ро u инцидентно верш инех}.

Ш аг 1. В ыб рать произвольную верш ину хo Î Х (G) иположить х= хo , z = хo, С = хo, D = хo, гдеС - чередую щ аясяпоследовательность верш ин и реб ер, представляю щ ая соб ойстроящ ийся эйлеров цикл; D - чередую щ аяся последовательность, представляю щ ая соб ой начальный отрезок цикла, который б удетприсоединенк текущ ему циклу С; х - конечнаяверш инав последовательностиD; z - верш инациклаС, которая служит началом D.

56

Ш аг 2. В множестве S(x)\[U(C)ÈU(D)] выб рать произвольное реб ро l. Е слиS(x)=Æ, то прейтик ш агу 5. Здесь U(С) иU(D) об означаю тмножество реб ер из СиD.

Шаг 3. К D дописать реб ро l иего конец у, т.е. положить D = D, l, y.

Шаг 4. П оложить х=у иперейтик ш агу 2.

Шаг 5. П рисоединить к С в верш ине z цикл D, т.е. положить

С=С[xo,z),D,C(z,xo], гдеC[xo,z) - начальный отрезок последовательности С до верш ины z, невклю чаяz; C(z,xo]- отрезок последовательностиСотz до xo , невклю чаяz.

Шаг 6. П росматриваяпоследовательность С слеванаправо, определить

Перейдем к рассмотрению гамильтоновыхграфов.

Путь, проходящ ийчерез всеверш ины графав точностипо одному разу

через каждую , называется гам и льтоновым путем . Е сли начальная и конечнаяверш ины этого пути совпадаю т, то такой путь называетсягам и льтоновым контуром . П еречислим некоторые признаки гамильтоновости орграфа:

а) если G – сильно связный граф наn верш инахб ез петель, длялю б ой верш ины хкоторого справедливо неравенство d–(х)+d+(х)³ n, то G имеетгамильтонов контур.

б ) простой орграф G = (Х , U) порядкаn, имею щ ийпоследовательность степеней d1 £ d2 £ ... £ dn являетсягамильтоновым, еслииз того, что dk £ k £ n ¤ 2 следует, что dn-k ³ n - k.

Рассмотрим алгоритмы определениягамильтоновыхпутейиконтуров (цепейициклов).

Алгебр аическ ийм ет од вы делен ия гам ильт он овы х пут ейи к он т ур ов

Замечание: вн ут р ен н ее пр оизведен ие вер ш ин пути [x1 , ... , xk] опреде-

ляетсякак выражениевидах2 × х3 ×...× хk-1 , несодержащ ееконцевыеверш ины

x1 иxk .

Ш аг 1. G - данный орграф наn верш инах; А - матрицасмежности с

нулевыми элементами надиагонали; В =[bij]nn -модифицированнаяматрица смежности, в которой

П оложить k=1, рk=А .

Шаг 2. П оложить k=k+1 инайтирk=В ´рk-1.

Шаг 3. Е сли k = n, то диагональныеэлементы матрицы рk даю твнутренниепроизведенияверш ин, которыесоответствую тгамильтоновым кон-

58

М атрицаР4 гамильтоновыхпутейимеетвид

Г амильтоновы пути abdce и adcbe, соответсвую щ ие элементу (1,4) матрицы Р4, даю тгамильтоновы контуры abdceаиadcbeа, еслидоб авить дугу (e,a). В седругиегамильтоновы путиприводятк тем жесамым гамильтоновым путям, ипоэтому в графеG сущ ествую ттолько этидваконтура.

М ет од пер ебор а РО Б ЕРТС А и Ф Л О РЕС А для пост р оен ия гам ильт он овы х цепейи цик лов

Шаг 1. П остроить матрицу М =[mij]nm, n=|X|, m= max[d(x)], mij есть j-ая верш ина(пусть, например, xk), длякоторой в графеG = (Х ,Г ) сущ ествует дуга(xi , xk) ( верш ины в столб цахупорядочены ).

Шаг 2. П оложить р=х1 ( х1 - отправнаяверш ина), S={x1}.

Шаг 3. Е сли в столб цер сущ ествуетвозможнаяверш ина(под возможной понимаетсяверш инаещ енепринадлежавш аяS), то перейти к ш агу 4, иначе- к ш агу 7.

Ш аг 4. В ыб рать первую возможную верш ину xk. П оложить S=S {xk}, p=xk иперейтик ш агу 5.

Ш аг 5. Е сли |S| = n-1, то напечатать гамильтонову цепь S и перейти к ш агу 6, иначеперейтик ш агу 3.

Ш аг 6. Е сли сущ ествует дуга(р, х1), то напечатать гамильтонов цикл (S {x1}), иначеперейтик ш агу 7.

Ш аг 7. У далить последню ю вклю ченную в S верш ину xr . Е сли S= , то процессзаканчивается, так как всецепиициклы найдены. О станов. И начеположить р=xr-1 иперейтик ш агу 3.

В неорграферассматриваю тгамильтоновы цепиициклы. В неорграфе понятияэйлеровостиигамильтоновостисвязаны утверждением:

♦Упраж нение [1, стр.101; 2, стр.237]. П усть G - неорграф, аL(G) -

его реб ерныйграф. Д оказать, что

59

а) если G имеетэйлеров цикл, то L(G) имееткак эйлеров так и гамильтонов циклы;

б ) если G имеетгамильтонов цикл, то L(G) такжеимеетгамильтонов

цикл.

ПРИ М Е РЫ

Задача к ом м ивояж ер а: коммивояжер долженпосетить каждый из за-

данных n городов, выехав из некоторого городаи вернувш ись в него же. Т реб уетсянайти кратчайш ий марш рут, знаярасстояниямежду каждой паройгородов. Сточкизрениятеорииграфов, задачакоммивояжерасводится к поиску гамильтоновацикла(илицепи) минимального весав полном взве- ш енном графе, если под весом циклапонимаетсясуммавесов составляю -

щихего реб ер.

Задача опер ен аладк е обор удован ия: имеетсястанок иn заданий, каж-

дое из которых он способ енвыполнить после соответствую щ ей перена-

стройки, приэтом необ ходимо затратить tij единиц временидлятого, чтоб ы послевыполненияi-го заданиявыполнить j-е. В предположении, что tij = tji, треб уетсянайтипоследовательность выполнениязаданий, прикоторойвремякаждойпереналадкинепревосходитвеличины t. Е слипостроить граф, у которого каждой верш инесоответствуетзадание{i}, адуга(i,j) связывает

двеверш ины, если tij ≤ t, то задачапереналадки об орудованиясводитсяк отысканию гамильтоновойцепив этом графе.

З адача план ир ован ия: нужно произвести n продуктов, используя единственный тип аппаратуры. А ппаратдолженили недолженб ыть перенастроенпослетого, как произведенпродуктpi зависимостиоткомб инации (pi, pj). Стоимость перенастройки аппаратуры постояннаи не зависит от продукта, который только что произведен, или отпродукта, следую щ его за ним, приэтом нетреб уетсяникакихзатрат, еслиперенастройкааппаратуры ненужна. П редположим, что продукты производятсяв непрерывном цикле, так что послепроизводствапоследнего из n продуктов сновавозоб новляетсяв том жефиксированном циклепроизводство первого продукта. В озникаетвопрос, можетли б ыть найденациклическаяпоследовательность производствапродуктов, нетреб ую щ аяперенастройки аппаратуры. П усть G – ориентированныйграф, верш ины которого представляю тпродукты, асущ е- ствованиедуги (pi, pj) означает, что продуктpj можетследовать запродуктом pi б ез перенастройки аппаратуры. О тветнапоставленный вопросзависитоттого, имеетлиданныйграф гамильтонов контур илинет. Е слинет, то каковадолжнаб ыть последовательность производстваснаименьш ими затратаминаперенастройку.

З адача ин спек т ир ован ия р аспр еделен н ы х сист ем связанаснепремен-

ным треб ованием проверки всех “компонент”, поэтому сводится к задаче отысканияэйлеровойцепив соответствую щ ем графе.

З АД АЧ И И У П РАЖ НЕНИ Я

1. Сущ ествуетлиэйлеров циклв графах, изоб раженныхнарис.1?