Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye

41

5.Д ЕРЕВ Ь Я

Понятиедеревакак математического об ъектаб ыло впервыепредло-

жено К ирхгофом в связи сопределением фундаментальныхциклов, применяемых при анализеэлектрических цепей. Д еревьяимею тособ оеположениев теории графов из-запредельной простоты строения, и часто при ре- ш ениикакой-либ о задачи награфахеесначалаисследую тнадеревьях. П о- нятиедереваприменяетсяприконструированииразличныхалгоритмов (определениемостов, б азисныхциклов, б азисныхразрезаю щ ихмножеств, проверкаграфанадвудольность и другие). К ратчайш ееостовноедерево находитприменениеприреш ениизадач, в которыхнеоб ходимо связать n точек некоторой сетью так, чтоб ы об щ ая длина“линий связи” б ыламинимальной( прокладкадорог, газопроводов, линийэлектропередач).

Д еревом называетсяконечныйсвязныйграф б ез циклов, имею щ ийне менеедвухверш ин.

¨Упраж нение [3, стр. 37]. Д оказать, что всякое дерево имеет, по крайнеймере, две висячиеверш ины.

¨Упраж нение[8, стр. 208]. Д оказать, что если G – дерево, то лю б ая цепь в G б удетпростой.

¨Упраж нение [6, стр.216]. П оказать, что последовательность {d1,...,dn} неотрицательных целых чиселявляется последовательностью степенейдереватогдаитолько тогда, когдаdi ³ 1 длявсех i и å di = 2 (n- 1) .

Замечание. П ри выполнении условий, сформулированныхв упражнении, d-процедурапостроитреализацию последовательности деревом, если накаждом ш агевыб ирать в качествеведущ ей верш ину сминимальной положительнойостаточнойстепенью .

Е слиG - граф сn верш инами, то остовным д еревом (остовом ) графа G называетсявсякийостовныйподграф графаG, являю щ ийсядеревом.

¨Упраж нение[6, стр.53; 3, стр.33]. П усть G - n-верш инныйграф (n > 1), являю щ ийся остовным деревом. Д оказать, равносильность следую щ их утверждений:

а) G связенинесодержитциклов;

б ) G несодержитциклов иимеет(n-1) реб ер; в) G связениимеет(n-1) реб ер;

г) G несодержитциклов, но доб авлениереб рамежду лю б ымидвумя несмежнымиверш инамиприводитк появлению цикла;

д) G связен, но утрачиваетэто свойство послеудалениялю б ого реб -

ра;

е) В сякаяпараверш инсоединенацепью ипритом только одной. ¨Упраж нение[3, стр.36]. Д оказать, что G являетсясвязным тогдаи

только тогда, когдаонимеетостов.

Замечание. К вадратная подматрицапорядка(n-1) лю б ой усеченной матрицы инцидентности B связного графаG наn верш инахявляетсяневы-

42

рожденной тогдаи только тогда, когдадуги, соответствую щ ие столб цам подматрицы, об разую тостов графа.

Д ляпостроенияпроизвольного остоваможно использовать алгор ит м пост р оен ия ост ова н еор гр афа

Замечание: П роцедураосновананапросмотрев произвольном порядкереб ер исходного графаиможетб ыть представленакак процессокраш и- ванияреб ер. П риэтом голуб ойцветиспользуетсядляокраскиреб ер, вклю - чаемых в остов, аоранжевый - дляокраски реб ер, невклю чаемыхв остов. П рирассмотренииреб раосущ ествляетсяпроверкатого, необ разуетлиданноереб ро в совокупности среб рами, ужевклю ченными в остов, цикл. Э та проверкаосущ ествляетсяследую щ им об разом: реб ра, вклю ченныев остов, составляю тграф, имею щ ийодну илинесколько компонентсвязности. В ер- ш ины, принадлежащ иеотдельнойвзятойкомпоненте, об ъединяю тсяв совокупность, которую б удем называть “б укетом”. Н екоторое реб ро об разует циклсреб рами, ужевклю ченнымив остов, еслиоб еего концевыеверш ины принадлежатодному итому жеб укету.

Результаты раб оты алгоритмаудоб но записывать в таб лицу:

голуб ойцветисформировать б укет, вклю чив в него концевыеверш ины окраш енного реб ра.

Ш аг 2. В ыб рать лю б оенеокраш енноереб ро, неявляю щ еесяпетлей. Е слив графетакого реб ранет, то останов - исходныйграф несодержитостова. И начеперейтик ш агу 3.

Ш аг 3.

а) Е слиоб еконцевыеверш ины выб ранного реб рапринадлежатодному б укету, то окрасить выб ранноереб ро в оранжевыйцвет.

б ) Е слиоднаиз концевыхверш инвыб ранного реб рапринадлежитнекоторому б укету, адругая концевая верш инане принадлежит ни одному

букету, то окрасить выб ранноереб ро в голуб ой цветивклю чить его концевую верш ину, непринадлежавш ую ранеениодному б укету, в тотжеб укет, которому принадлежитдругаяконцеваяверш инарассматриваемого реб ра.

в) Е сли ни однаиз концевыхверш иннепринадлежитни одному б у- кету, то окрасить рассматриваемоереб ро в голуб ой цвети сформировать новыйб укетиз его концевыхверш ин.

г) Е сликонцевыеверш ины выб ранного реб рапринадлежатразличным

букетам, то окрасить реб ро в голуб ой цвет, аоб аб укета, которым принадлежатего концевыеверш ины, слить в одинб укет.

Ш аг 4. Е сливсеверш ины графавош лив одинб укет, то останов - голуб ыереб раоб разую тостов. И начеперейтик ш агу 2.

43

k-д еревом называетсяациклическийграф, состоящ ийиз k компонент связности. Е слиk-дерево являетсяостовным подграфом графаG, то оно называется k-остовом графаG.

К од ерево Т * остова Т графаG - это остовный подграф графаG, содержащ ий только тереб раG, которых нетв T. Реб раостоваT называю тся ветвям и , ареб расоответствую щ его кодереваT* - х орд ам и .

Лесом L графаG называется остовноеk-дерево графаG, гдеk-число компонентв G. К о-леслесаL графаG - это остовныйподграф графаG, содержащ ийточно тежереб раG, которыеневходятв L.

О риентированное дерево – д ревови д ность - представляетсоб ойорграф б ез циклов, в котором полустепень заходакаждойверш ины, заисклю -

ориентированноедерево, полустепень исходакаждойверш ины которого не превыш ает2.

♦Упраж нение[3, стр.86]. П усть G - орграф наn>1 верш инах. Д оказать эквивалентность следую щ ихутверждений:

что номер верш ины vk равенk ). П оложить i=1.

Ш аг 2. П росматриваяпоследовательность (*) {1,2,...,n} слеванаправо,

i=n-1, то последовательность { a1 , ... , an-2 } - есть код П рю фера. О станов.

О риентированноедерево в графеG можетб ыть получено как результатраб оты алгоритмов поиска. Различаю тпои сквглуби ну (П В Г ) и пои ск

44

TREE = TREE {(v,w)}, FATHER(w)=v, k=k+1, DFN(w)=k, v=w

и перейти к ш агу 2. И наче положить В А СК =В А СК È{(v,w)} и перейти к

шагу 2.

Шаг 4. П оложить v=FATHER(v). Е сли v=r и всеверш ины пройдены, то останов - дерево П В Г построено, при этом TREE содержитветви дерева П В Г , BACK - хорды, а DFN - глуб ины верш ин. ( Г луб инаверш ины указываетпорядок, в котором находитсяверш инапри поискев глуб ину). И наче перейтик ш агу 2.

Замечание. Т аким об разом, об ход графав соответствии сданным алгоритмом приводит к тому, что очередная текущ ая верш ина получает

следую щ ий по порядку номер, который называется глуби ной верш ины. Д ерево пои ска вглуби ну – это ориентированныйостов исходного графа, в котором каждая верш инаимеет глуб ину. Д ругим методом об ходаграфа является поиск в ш ирину. Е сли при поиске в глуб ину в качестветекущ ей верш ины выб ирается произвольная из окрестности верш ины, которой на данном ш агеприписанаглуб ина, то при поиске в ш ирину выб ор текущ ей верш ины осущ ествляетсятолько послетого, как б удетприписанаш ирина всем верш инам из окрестности предыдущ ей текущ ей верш ины. П оиск в глуб ину являетсяб азовойкомпонентойдругихалгоритмов. Т ак, спомощ ью поискав глуб ину можно проверить являетсялиграф связным, двудольным; осущ ествить топологическую сортировку верш ин графа; найти б азисные циклы иб азисныеразрезаю щ иемножества. П оиск в ш ирину используетсяв алгоритмах определениякратчайш ихпутей в графе, если под длиной пути подразумеваетсяколичество дуг, которыеэтотпуть составляю т.

П римером такого алгоритмаявляетсяалгор ит м пр овер к и н еор гр афа

на двудольн ост ь:

Шаг 1. G= (V,U) - данный граф. П рименив алгоритм П В Г , получить дляG ориентированныйостов скорнем в произвольнойверш ине.

Шаг 2. Н айти в остовеТ двудольноеразб иение(X,Y), котороевсегда сущ ествует, так как остов - двудольныйграф.

Ш аг 3. Д лякаждого реб раuÎ G \ T проверить: принадлежатли его концевыеверш ины различным множествам X иY. Е слида, то граф является двудольным, иначе - граф G не является двудольным. В ыдать соответствую щ еесооб щ ение. О станов.

П усть G – некоторый связный граф, тогдаонимеетостов. В озникает вопрос, сущ ествую тлидругиеостовы в графеикак ихопределить.

У тверждение 1. [1, стр. 181] П усть G – связный помеченный граф с матрицейсмежностиА . М – матрица, полученнаяиз А заменойi-го элементаглавной диагонали начисло, равноестепени i-й верш ины. Т огдавсеалгеб раическиедополненияматрицы М равны между соб ойиихоб щ еезначениеесть число остовов графаG.

У тверждение2. П усть G - n-верш инный граф б ез петель иВ 0 его матрицаинцидентности содной удаленной строкой (т.е. с(n-1) независимыми строками). П усть В 0T - транспонированнаяматрицак В 0 . Т огдаопределитель | B0 × B0T | равенчислу различныхостовныхдеревьев графаG.

45

П ри м ер. Рассмотрим граф сматрицейинцидентностиВ инайдем число остовныхдеревьев.

каждому остову графаG сопоставим определенную верш ину, адвеверш и- ны в новом графе соединяю тсяреб ром тогдаи только тогда, когда расстояние между соответствую щ имиим остовамиравно 1.

чить из Т 1 спомощ ью k элементарныхпреоб разований, то d(T1,T2)=k. ¨Упраж нение[2, стр.149] .Д оказать, что еслиТ 0 иТ k - остовныеде-

ревьяграфаи d(T0,Tk)=k, то дерево Т k можетб ыть получено из Т 0 спомо- щ ью сериииз k элементарныхпреоб разований.

К ратчайши й остоввзвеш енного графаG - это остов, у которого суммавесов реб ер наименьш ая.

Рассмотрим некоторые алгоритмы построения кратчайш его остова неорграфа.

Алгор ит м ПРИМ А пост р оен ия к р ат чайш его ост ова взвеш ен н огогр афа

Ш аг 1. G = ( Х , Г ) - данныйграф сматрицейвесов С. П оложить Т S = {xs }, гдеxs - произвольно выб раннаяверш ина; А S=Æ.

Ш аг 2. Д ля каждой верш ины xj Ï TS найти верш ину aj Î TS такую ,

что с(aj,xj) = min{с(xi,xj)} = bj иприписать верш инеxj пометку [aj,bj ] . Е с- a x T Ç Æ

литакойверш ины j нет, iт.е. Г (хj) Т S = , приписать верш инеxj пометку [0 ,¥ ). П ерейтик ш агу 3.

46

Ш аг 3. В ыб рать такую верш ину xj*, что βj* = min{βi }, иположить

xi T

TS = TS { xj* } , AS = AS { αj*, xj*) }.

Е сли | TS | = | X |, то останов - реб рав А S об разую ткратчайш ийостов, иначеперейтик ш агу 4.

Ш аг 4. Д лявсех xj Ts , таких, что xj Г (xj*), об новить пометки следую щ им об разом:

а) если βj>c(xj*, xj), то положить βj=c(xj*, xj), αj= xj* иперейтик ш агу

3;

б ) еслиβj≤c(xj*, xj), то перейтик ш агу 3.

Замечание. А лгоритм П римаотличаетсяоталгоритмаК раскалатолько тем, что накаждом этапестроитсянепросто ациклическийграф, адерево. В некоторых ситуациях треб уетсяпостроить остов неминимального, а максимального веса. К этойзадачетакжеприменим данныйалгоритм стой модификацией, что всю ду минимальный вес заменяется максимальным. И лииначе– длиннейш ееостовноедерево графаможно найти, изменяязнакивесов реб ер напротивоположные.

ПРИ М ЕРЫ

1.Д воичныедеревьяполезны при реш ении задач в об ластях, связан-

ныхсприменением вычислительной техники (например, при анализеалгоритмов, в методахпоискаинформацииит.п.) О днойиз часто встречаю щ их-

i) wi – весверш ины vi;

ii) li – длинапутииз корнядеревав vi$

n

iii) длинавзвеш енныхпутей å w i li минимальна.

i=1

Болееоб щ аязадачавозникаетв теории кодирования. М ножество такихслов, среди которых никакоенеявляетсяначалом другого, называется префиксным кодом. О чевидно, что если последовательность б укв об разованаконкатенациейслов (сцеплением цепочек символов) префиксного кода, его можно разложить наотдельныесловапрефиксного кодапутем разб ора слеванаправо. Н апример, еслипрефиксныйкод об разуетнаб ор 000, 001, 01, 10, 11, апоследовательность 1011001000 об разованаиз его слов, то оналегко раскладываетсянаслова10, 11, 001 и000.

П усть S = {0, 1, … , m-1} – алфавитиз m б укв, Т – такоеориентированноедерево, что а) полустепень исходакаждойверш ины непревыш аетm; б ) каждая исходящ ая из верш ины дугасвязанас б уквой алфавитатаким об разом, что никакиедведуги несоответствую тоднойб укве. Т огдавсякий листv можно связать со словом, об разованным конкатенацией б укв в том порядке, в котором онипоявляю тсянапутик листу v откорня. Л егко уб е- диться, что слова, связанныетаким об разом слистьями, об разую тпрефикс-

47

ныйкод. Задачасостоитв том, чтоб ы дляданного m идлинl1, l2, … , ln построить, используя б уквы алфавитаS = {0, 1, … , m-1} префиксный код, длины слов которого составляю т l1, l2, … , ln.

2. З адача Ш т ейн ер а. Рассмотрим различныеварианты этойзадачи. Евк лидова задача Ш т ейн ер а: произвольноемножество точек U евк-

лидовойплоскоститреб уетсясоединить непрерывнымилиниямитак, чтоб ы лю б ыедветочки б ылисвязаны либ о непосредственно соединяю щ ейихлинией, либ о через другие точки и соединяю щ ие их линии, и чтоб ы сумма длинлинийб ыламинимальной. М ножеству точек U можно поставить в соответствиеполныйграф K(U), верш инамикоторого б удутэлементы U, авес каждого реб раб удетравенрасстоянию между соответствую щ ими точками. Е вклидовазадачаШ тейнераотличаетсяотзадачи построенияостоваминимального весав графеK(U) тем, что в этотграф разреш аетсявносить новые верш ины – т очк и Ш т ейн ер а. И хможно доб авлять столько, сколько потре- б уется, чтоб ы дерево ихсоединяю щ ее, имело минимальныйвес.

Е слив качестверасстояниямежду точкамивзять расстояниеХ еммин-

га, то получим пр ям оугольн ую задачуШ т ейн ер а.

З адача Ш т ейн ер а н а гр афах: в связном взвеш енном графеG = (X, U) свыделенным подмножеством верш инХ ′X треб уетсянайтисвязныйподграф G′, удовлетворяю щ ийусловиям: а) множество верш инG′ содержитзаданноеподмножество U; б ) граф G′ имеетминимальныйвессредивсехпод-

нахожденияостоваминимального весав порожденныхподграфахграфаG, множестваверш инкоторыхсодержатU. К акие-либ о эффективныеалгоритмы, реш аю щ иезадачу Ш тейнера, неизвестны.

ЗА Д А Ч И И У П РА Ж Н Е Н И Я

1.П оказать, что число различныхдеревьев, которыеможно построить наn верш инах, равно nn-2.

2.М ожно лиреализовать дерево разб иением?

3.Ц ентральнаяверш инаграфаG=(X,U) - это такаяверш инахчто значение max{d(x,y)} является наименьш им из возможных, где d(x,y) - расстояние между x и y. П оказать, что дерево имеет либ о только одну цен-

тральную верш ину, либ о двецентральныеверш ины.

4. Д оказать, что каждоереб ро связного графаG являетсяветвью ка- кого-либ о остоваэтого графа.

5.Д оказать, что подграф GS связного графаG является его остовом тогдаитолько тогда, когдаонявляетсямаксимальным подграфом графаG, несодержащ им ниодного цикла.

6.П усть лесF состоитиз t остовных деревьев и содержитk верш ин. Сколько дуг содержитсяв F?

7.О пределить количество остовных деревьев графов, изоб раженных нарис.1; построить их; изоб разить длякаждого графаподграф графаостовов.

48

Рис.1

8.О пределить дерево поискав глуб ину дляграфов, изоб раженныхна рис.3, скорнем в произвольно выб раннойверш ине.

9.Д оказать, что орграф несодержитконтуров тогдаи только тогда, когдаприпоискев глуб ину из некоторойверш ины (независимо отеевыб о- ра) множество об ратныхдуг пусто.

10.Н айти условия, необ ходимыеи достаточныедляединственности остоваминимального веса.

11.Н айтикратчайш ийостов дляполного графанамножествеверш ин

{x1, x2, x3, x4 } (рис.2), свесами реб ер, определенными как евклидовы расстояния.

4

3

2

1

изоб раженныхнарис.3.

Рис.3 13. С помощ ью алгоритмаК раскаланайти кратчайш ий остов графов,

изоб раженныхнарис.4.

49

Рис.4 14. В сеплощ адкидляотдыха, расположенныев горнойлесопраковой

зоне, необ ходимо соединить телефонной сетью , причем телефонныелинии должны проходить вдоль торплесопарковойзоны.

линий

15.В ыполнить поиск в глуб ину длянеорграфов нарис. из различных стартовыхверш ин.

16.П оказать, что дерево являетсядвудольным графом.

17.К акиедеревьяявляю тсяполнымидвудольнымиграфами?

18. В ыполнить поиск в ш ирину из верш инx1 и х5 дляорграфа, изо- б раженного нарис.5. Сравнить стоимости прохождениясо значениями порядковойфункции.

Рис.6

20. П остройтетакоемножество U точек наплоскости, длякоторого весдереваШ тейнераб ылб ы меньш евесалю б ого остовного дереваграфа

G(U).

6. Ц И К ЛЫ И РАЗ РЕЗ Ы

Понятияциклаи разрезаграфатесно связаны спонятием дерева.

Нахождениеб азисного множествациклов имеетсущ ественноезначениепри анализеэлектрических цепей. К аждому б азисному циклу в графе, соответствую щ ему данной электрической цепи, можно сопоставить уравнение, определяю щ еезаконК ирхгофадлянапряжений: суммападениянапряжений вдоль цикларавна0. В этом случаениодно из этихуравненийнезависитот остальных, отнихжезависитлю б оеуравнение, определяю щ еезаконК ирхгофадляпроизвольного циклаграфа. О пределениеразрезаявляетсядвойственным к понятию остова. О стов определяетсякак минимальноемножество реб ер, связываю щ еевсеверш ины графа, в то времякак разрез являетсями-

нимальным множеством реб ер, отделяю щ им одниверш ины отдругих.

П усть G - неорграф сn верш инами, m реб рами и р связными компонентами. Ч исло ν(G) = m-n+p, называется ци клом ати чески м чи слом , а

ρ(G) = n-p - коци клом ати чески м чи слом графа. Заметим, что ν(G) + ρ(G) = m, поэтому отсю даследует, что

а) граф G имеетединственный циклтогдаи только тогда, когдаν(G) =

1;

б ) граф, в котором число реб ер не меньш е числаверш ин, содержит цикл[6, стр. 56].

Рассмотрим остов Т связного неорграфаG. П усть b1,...bn-1 - ветви T, а

с,...,с - хорды Т . Г раф Т {c } содержитровно одинциклС , который

1 m-n+1 i i

состоитиз хорды ci и техветвейТ , которыепринадлежатединственнойцепимежду концевымиверш инамиci. Ci называетсябази сным ци клом графа G относительно хорды ci остоваТ . Заметим, что количество б азисныхциклов определяется количеством хорд. П оскольку в остовном дереве (n-1) реб ро, то в связном графесm реб рами сущ ествует(m-n+1) б азисных циклов. Т аким об разом, цикломатическоечисло графаν(G) определяетколичество б азисныхциклов относительно некоторого остова.

♦Упраж нение[3, стр.46]. Д оказать, что циклом связного графаG являетсяминимальноемножество реб ер графа, содержащ ее, по крайнеймере, одно реб ро каждого кодереваграфаG.

Заметим, что циклможно об ойтив одном из двухнаправлений: по часовой стрелкеили против часовой стрелки. Н аправление, выб ираемоедля об ходацикла, определяетего ориентацию . Рассмотрим дугу u сконцевыми