Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye

21

Шаг 1. G - данныйграф. Д ляG построить матрицу достижимостиR и матрицу контрдостижимости Q = RТ .

Шаг 2. П оложить С= R´Q , где ´ - поэлементноеумножениематриц.

Шаг 3. П реоб разовать матрицу Ск б лочно-диагональному виду путем

перестановки строк и столб цов. К аждаяиз диагональныхподматриц соответствуетсильнойкомпонентеграфаG. О станов.

графа(СК ) начать спроизвольной верш ины xi Î X . Н айти R(xi) и Q(xi).

П оложить СК (xi) = R(xi) Ç Q(xi).

подграфы. Б азой графаG называетсяминимальныйподграф В , из которого достижималю б аяверш инаграфаG. Здесь минимальность означает, что ни из какого соб ственного подмножестваB нельзя достичь всех оставш ихся верш ин. Анти базой графаG называетсяминимальный подграф `В , такой что, каковаб ы ниб ылаверш инаграфаG, из неедостижиманекотораявер- ш инав `В . М ножество верш ин, котороеодновременно являетсяб азойиантиб азой, называетсяд и базой.

¨Упраж нение. Д оказать, что в орграфе б ез контуров сущ ествует единственнаяб аза, состоящ аяиз всехверш ин, неимею щ ихвходящ ихдуг.

Замечание. В орграфеб ез контуров сущ ествуетверш ина, в которую не входитниоднадуга.

♦Упраж нение. П оказать, что если хi есть такая верш инаграфаG,

¨Упраж нение([4], стр. 54). П усть B* - единственнаяверш иннаяб аза конденсации G* орграфаG. Т огдаверш инными б азами в G служаттакие множестваВ , которыесодержатпо однойверш инеиз каждойсильнойкомпоненты G, принадлежащ ейB*.

Замечание. Л ю б ыедвеверш инныеб азы орграфасодержатодинаковое число верш ин.

У тверждение предыдущ его упражнения позволяет сформулировать следую щ ийалгор ит м для н ахож ден ия базы гр афа:

сильныхкомпонент, входящ ихв В *. О станов.

22

Заметим, что понятияб азы и антиб азы являю тсядвойственными, по-

этому аналогичныйалгор ит м для н ахож ден ия ан т ибазы имеетвид:

Шаг 1. G - данныйграф. Д ля G найти все сильные компонениты.

Шаг 2. П остроить конденсацию G* графаG.

Шаг 3. О пределить антиб азу `В * конденсацииG* , вклю чив в `В * те верш ины G* , полустепениисходакоторыхравны 0.

Шаг 4. П остроить антиб азу `В графаG из `В * , взяв по однойверш и-

неиз сильныхкомпонент, входящ ихв `В *. О станов.

3.Д оказать, что орграф связныйтогдаитолько тогда, когдав нем су-

ществуетпуть, проходящ ийчерез всеверш ины. О станетсялиэто утверждениесправедливым, еслипотреб овать, чтоб ы сущ ествовалпростойпуть?

4.Д ать матричныехарактеристикислаб ой, одностороннейисильной связностив орграфе.

5.П ривести примеры сильно связного, одностороннесвязного, слаб о связного инесвязного графов.

6.Средиграфов, изоб раженныхнарис.2, указать сильно связный, одностороннесвязныйинесвязныйграфы.

7.Д окажите, что в сильно связном графечерез лю б ыедвеверш ины проходитконтур.

8.Д оказать, что в сильно связном орграфессимметричной матрицей смежности сущ ествуетконтур, проходящ ий по одному разу через каждую дугу орграфа.

9. О пределить имею тликонтуры орграфы сматрицамисмежности

10. К аковы наименьш ее и наиб ольш ее числадуг в сильно связном орграфесn верш инами? (Заметим, что сильно связныйорграф сминималь-

23

ным числом дуг весьмауязвим при разруш ении – сколько дуг необ ходимо разорвать, чтоб ы разруш ить коммуникацию ).

11. Д оказать, что отнош ениевзаимной достижимости в орграфеесть эквивалентность.

12. Д ляграфаG найти: a) подграф, неявляю щ ийсяпорожденным подграфом; б ) связныйпорожденныйподграф, отличныйотсвязнойкомпоненты; в) все связныекомпоненты.

Рис. 3

13. П усть Gn граф, множество верш инкоторого совпадаетсотрезком натурального ряда{1, 2, … , n}, амножество реб ер определяетсяследую щ им условием: несовпадаю щ иеверш ины x иy смежны тогдаитолько тогда, когдаx иy взаимно просты. А ) Запиш итематрицу смежностиграфаG5; б ) Я в- ляетсялиграф Gn связным?

14.Н айти матрицы достижимости и контрдостижимости дляграфов G1, G2 , G4 , изоб раженныхнарис.1.

15.Д оказать, что конденсацияG* орграфаG изоморфнаG.

16.П усть граф G неимеетконтуров и G* - его конденсация. В ерно ли, что G иG* всегдаимею тодинаковоечисло верш ин? П очему?

17.Д оказать, что G б есконтурный граф тогдаи только тогда, когдаG изоморфенсвоейконденсацииG*.

18.Д оказать, что верш инаxi принадлежитодновременно б азеВ иан-

тиб азе`В графаG тогдаи только тогда, когдасильнаякомпонента, содержащ аяхi , соответствуетизолированнойверш инев конденсацииG*.

19. П редположим, что из верш ины x достижимо наиб ольш ее число верш инданного графа. О б язательно ли этаверш инавходит в некоторую верш инную б азу?

20. П редставляю тли какой либ о смыслпонятияб азы и антиб азы для транспортнойсети, сетикоммуникаций, игр?

21.П ривестипример орграфа, имею щ его диб азу.

22.Д ляграфов, изоб раженных нарис.5, найти сильныекомпоненты, построить конденсацию , найтиб азы иантиб азы.

24

3. У С Т О Й Ч И В О С Т Ь

К устойчивым множествам в графе относятся – внеш неустойчивые (доминирую щ ие) и внутреннеустойчивые(независимые) множества. Я дро - множество верш ин, котороеявляетсяодновременно минимальным доминирую щ им и максимальным независимым. У стойчивые множестваи связанные с ними числовые характеристики описываю т важные структурные свойстваграфаиимею тразнооб разныеприложенияприведениипроектного планирования исследовательских раб от, в кластерном анализе, параллельных вычислениях наЭ В М , при размещ ении предприятий об служивания, атакжеисточников ипотреб ителейв энергосистемах.

М ножество верш ин графаназывается незави си м ым , если никакие двеверш ины в нем неявляю тсясмежными. Н езависимоемножество называетсям акси м альным , еслионо неявляетсясоб ственным подмножеством никакого другого независимого множества. Н аиб ольш ее число верш инв независимыхмножествахназываетсячи слом незави си м ости иоб означаетсяa(G). Д ляопределениявсехмаксимальныхнезависимыхмножеств мож-

но использовать следую щ ий алгор ит м пост р оен ия м ак сим альн ы х н езависим ы х м н ож ест в:

Ш аг 1. П усть G=(X,U) - данный граф. П оложить So = Qo–= Æ, Qo+= x.

Положить k = 0.

Шаг 2. В ыб рать верш ину xikÎ Qk+. Д ляоптимизации процедуры воз-

–сминимальным значением ве-ik k

личины D(х)=|Г (х)ÇQk+ | ив качествеxik взять xikÎГ (х*)ÇQk+ .Сформировать множестваSk+1 , Qk+1−, Qk+1+ по правилам:

Н езависимоемножество верш инграфаимеетследую щ ую матричную интерпретацию : пусть S – независимоемножество верш инграфаG, А - матрицасмежностиэтого графа, тогдамножеству S в А соответствуетподматрицаихнулевыхэлементов.

25

П онятием, противоположным внутреннеустойчивому множеству, являетсяпонятиеклики. М аксимальный полный подграф графаG называетсякли кой графа. Связь между наиб ольш ими независимыми множествами верш ининаиб ольш имикликамиустанавливаетсяспомощ ью дополнительныхграфов.

¨Упраж нение[6, стр.112]. Д оказать, что максимальноенезависимое множество графаG соответствуеткликеграфа`G инаоб орот.

К ли ковоечи сло - максимальноечисло верш инв кликахданного графа. Граф ом кли кданного графаG называетсяграф, в котором верш инам соответствую т кликиграфаG, ареб ро сущ ествует, еслив соответствую щ их кликахнайдутсясмежныеверш ины.

¨Упраж нение[6, стр.114]. В сякийграф, несодержащ ийтреугольников, являетсяграфом клик.

Известно, что в полном графеKn каждоереб ро принадлежитровно (n-

2)треугольникам (об ратноеутверждениеневерно). Н аэтом фактеоснован

следую щ ийалгор ит м для опр еделен ия вер хн ейоцен к и клик овогочисла:

Шаг 1. G=(X,U) - данныйграф. П оложить искомоезначениеr, равным нижнейграницекликового числаграфаG.

Шаг 2. У далить тереб ра, которыенесодержатсяхотяб ы в (r-2) треугольниках.

Ш аг 3. П овторять ш аг 2 дляr = r+1, r+2 ит.д., до техпор, поканеос-

этом множестве. Д оминирую щ ее множество называется м и ни м альным , если оно несодержитникакого другого доминирую щ его множества. Ч и с- лом д ом и ни ровани я (об означаетсячерез b(G)) называетсямощ ность наименьш его доминирую щ его множества. О чевидно, что независимоемножество являетсямаксимальным (необ язательно наиб ольш им) тогдаи только тогда, когда, оно доминирую щ ее. Сдругойстороны доминирую щ еемножество необ язательно независимо. Я д ро – множество верш инграфа, которое являетсяодновременно минимальным доминирую щ им имаксимальным независимым.

¨Упраж нение[6, стр. 294]. Д оказать, что еслиS0 - ядро графа, то его числаустойчивостиудовлетворяю тсоотнош ению a(G) ³ | S0 | ³ b(G).

Рассмотрим некоторыепризнакисущ ествованияядрав орграфе.

У тверждение1: К аждому конечному б есконтурному орграфу соответствуетединственноеядро.

Д лянахожденияядрав б есконтурном орграфеG = (X, U) предлагается следую щ аяпр оцедур а 1:

S1. В ыб рать произвольную верш ину x0 снулевой полустепенью заходаипоместить еев множество V.

Рис.1 У тверждение2: К аждыйконечныйсильно связныйорграф, в котором

содержитсяб олееоднойверш ины инетнечетныхконтуров, имеетнеменее двухядер (контур снечетным количеством дуг – нечетный).

Длянахожденияустойчивого множествав сильно связном орграфеG

=(X, U) б ез нечетныхконтуров предлагаетсяследую щ аяпр оцедур а 2:

Рис. 2

28

· дляопределенияминимальныхдоминирую щ ихмножеств

Е слидляорграфасущ ествуетфункцияГ ранди, то говорят, что орграф допускает(в противном случае– недопускает) функцию Г ранди. Н евсякий

29

орграф допускает функцию Г ранди, аесли и допускает, то онане об язательно единственная.

♦Упраж нение[8, стр. 246]. Д оказать, что еслиG допускаетфункцию Г ранди, то ядро S={x|g(x)=0}.

♦Упраж нение[8, стр. 247]. П усть G – орграф б ез контуров, тогдаон допускаетфункцию Г рандиипритом единственную .

♦Упраж нение[8, стр. 248]. Д оказать, что есликаждыйподграф графа G об ладаетядром, то G допускаетфункцию Г ранди.

♦Упраж нение. Д оказать, что симметрический граф допускаетфунк-

Ш аг 3. П оложить дляx Vk g(x) = k.

Д вареб раназываю тся незави си м ым и , если они не имею т об щ ей верш ины. Реб ра u1, ... ,um - независимые, есликаждаяихпаранеимеетоб - щ ей верш ины. Н езависимоемножество верш инназываетсяпаросочетани - ем , поскольку оно определяетразб иениемножестваверш инграфанапары верш ин, инцидентных реб рам наб ора. В ерш инаназываетсянасыщ енной в паросочетании , если онаконцеваяверш инакакого-ниб удь реб раМ . П а- росочетаниеснаиб ольш им числом реб ер называетсямаксимальным. Ч исло реб ер в максимальном паросочетании называетсячи слом паросочетани я. П аросочетание, насыщ аю щ еевсеверш ины графаG, называетсясовершен-

ным .

Е сли дано паросочетаниеР, то верш инах, неявляю щ аясяконцевой верш иной никакого реб раиз Р, называется экспонированной вершиной.

А льт ернирующаяот носит ельно Р цепь– это простаяцепь, реб ракоторой попеременно лежатилинележатв паросочетанииР. А угм ент альнаяот носит ельно Р цепь– это такаяальтернирую щ аяцепь, у которой начальнаяи конечнаяверш ины являю тсяэкспонированными.

х9 х8

30

Рис. 4

В графенарис.3.4 x5, x9 - экспонированныеверш ины; (x8, x7, x5, x3, x2,

x1, x4, x10, x9) – альтернирую щ ая цепь; ( x9, x10, x7, x1, x2, x3, x4, x6 ) –

аугментальнаяцепь.

А льт ернирующим деревом относительно данного паросочетания Р называетсядерево Т , длякоторого:

§ однаверш ина, называемаякорнем дереваТ , являетсяэкспонированной; § всеначинаю щ иесяв корнецепиявляю тсяальтернирую щ ими;

§всемаксимальныецепи, начинаю щ иесяв корнедереваТ , содержатчетноечисло реб ер.

В се верш ины альтернирую щ его дереваразоб ьем надвакласса: Ф – классвнеш нихверш ини I – классвнутреннихверш ин(рис.3.5). В нутренниеверш ины - это верш ины, принадлежащ иедереву. В ерш инаv называется внеш ней по отнош ению к некоторой экспонированной верш инеu, если су- щ ествуетальтернирую щ аяцепь четнойдлины отv к u. К орень дереваотнесем к классу Ф , аверш ины вдоль лю б ойцепи, начинаю щ ейсяв корне, б удут поочередно отнесены к классам Ф иI. Т аким об разом, еслицепь имеетчетноечисло реб ер, то последняяконцеваяверш инаб удетотнесенак I, иначе– к Ф .

А угм ент альное дерево – это альтернирую щ ее дерево относительно данного паросочетания, удовлетворяю щ ее условию : сущ ествует реб ро от какой-ниб удь внеш ней верш ины деревах0 до некоторой экспонированной верш ины xe, непринадлежащ ейдереву. Е динственнаяцепь, идущ аяоткорнядеревадо верш ины х0 идалеепо реб ру (х0, xe), б удеттогдааугм ент аль-

ной цепью.

В енгерское дерево – это такое альтернирую щ еедерево в графе, что каждоереб ро графа, имею щ еевнеш ню ю верш ину деревав качествеконцевой, имеетдругойконцевойверш инойвнутренню ю верш ину этого дерева.