Ledeneva_T_M_Algoritmy_teorii_grafov_Kodovye

11

x6 x4

x5 Рис. 6

♦Упраж нение([4], стр. 60; [5], стр. 225; [8], стр. 170) . Д оказать, что дляорграфаG сматрицейсмежностиА (i,j)-ый элементв матрицеА t определяетчисло путейдлины t, ведущ ихиз верш ины xi в xj .

матрица, у которой вместо 1, об означаю щ ей наличиереб ра, стоитидентификатор этого реб ра. П ри возведении в n степень модифицированной мат-

приписывание справа к идентификатору, соответствую щ ему i-й строке, идентификатора, соответствую щ его j-му столб цу, суммированиекак об ъ- единениеполученныхв результатеумноженияслов. Д ляопределенияпутей

длины n в орграфе необ ходимо матрицу ~ возвестив степень n.

A

С помощ ью матрицы смежности можно устанавливать различные свойстваграфа. Рассмотрим некоторыеутверждения.

♦Упраж нение. Д оказать, что граф является двудольным тогда и только тогда, когдадля лю б ого нечетного числаn вседиагональные элементы матрицы А n равны 0.

♦Упраж нение([6], стр. 28). Д окажите, что дваграфаявляю тся изоморфными, тогдаи только тогда, когдаихматрицы смежностиполучаю тся друг ихдругаперестановкамистрок истолб цов.

♦Упраж нение([8], стр.171). Д оказать: длятого, чтоб ы n-верш инный граф с матрицей смежности А имелхотя б ы одинконтур, необ ходимо и достаточно, чтоб ы матрица(А 2+А 3 +… +А n) имеланенулевыедиагональные элементы.

♦Упраж нение. Д оказать, что следую щ иесвойстваорграфаэквивалентны:

а) G – б есконтурныйграф;

б ) верш ины орграфаG можно упорядочить таким об разом, что его матрицасмежностиб удетиметь верхнийтреугольныйвид.

Замечание. И з данного утвержденияследует, что б есконтурному графу соответствует треугольнаяматрицасмежности.

12

М атри цей и нци д ентности графаграфаG=(X,U) , |Х |=n , |U|=m на-

зываетсяматрицаB = {bij}n×n , элементы которой определяю тсяследую щ им об разом:

еслиG - орграф

еслиG - неорграф

Свойстваматрицы инцидентности перечислены в следую щ их утверждениях.

♦Упраж нение[10, стр.147]. В матрицеинцидентности значениелю - б ого минораравно 0, 1 или-1.

♦Упраж нение [10, стр.147]. Ранг матрицы инцидентности произвольного графаравенразностичиславерш иничислакомпонентсвязности.

Замечание. Д лясвязного графасn верш инами ранг матрицы инцидентностиB равен(n-1).

♦Упраж нение. Д оказать, что длялю б ого неорграфаматрицасмежно-

стиА выражается через матрицу инцидентностиВ следую щ им об разом:

А = В В Т - diag[ d1,...,dn ]

где di - степень i-ойверш ины, diag[d1,...,dn] - матрицаразмерности n×n с элементами d1,...,dn наглавнойдиагонали.

1.4. П РЕД С Т АВ ЛЕНИ Е Г РАФ О В В ЭВ М

В ыб ор представления графав Э В М зависит от используемых алгоритмов. Зачастую матрицасмежности является наиб олее удоб ным представлением графа. Д лянеорграфаонаявляетсясимметричной, что позволяетсократить необ ходимыйоб ъем памяти: дляn-верш инного графатреб ует-

многиеэлементы матрицы равны 0 ипоэтому б ольш аячасть используемой памяти является лиш ней. К роме того, матрицу смежности удоб но строить по графу, ужезаданному каким-либ о способ ом, но во многихзадачахграф создается динамически, т.е. в ходе реш ения задачи меняю тся множества верш ини (или) реб ер (дуг). В этом случаепредпочтительным являетсяиспользование спи сков см ежности . Д ля задания множестваверш ин, непосредственно достижимыхиз некоторойверш ины x, используетсялинейный однонаправленныйсписок, каждыйэлементкоторого вклю чаетданные(например, некотороечисло) и указатель наследую щ ий элементсписка. Список в целом задаетсяуказателем наего первый элемент, апоследний элементспискасодержитпустой указатель. Задать для верш ины x еесписок смежностиозначаетв произвольном порядкепоместить в данныеэлементов

14

2.Н арисовать граф, представляю щ ийследую щ ую игру: б росаетсямонетадо техпор, поканевыпадетдважды герб илиреш ка. Е слисначаладва разавыпадетгерб , поб еждаетигрок 1, в противном случаеигрок 2.

3.Сколько сущ ествуетнеорграфов сn верш инами?

4.Д оказать, что граф Kn имеетn(n-1)/2 реб ер.

5.Сколько реб ер имеетграф Km,n?

6.П оказать, что в полном неорграфе Kn каждоереб ро принадлежит

ровно (n-2) треугольникам, то есть циклам длины 3. О б ратноеневерно.

7.Н айдитевыражениедлячислареб ер графаL(G) через степенивер-

шинграфаG.

8.Д оказать, что изоморфизм графов представляетсоб ой отнош ение эквивалентности.

9.П оказать, что графы, изоб раженныенарисунках7а), 7б ), изоморфны, ана7в) и7г) - неизоморфны.

в) г) Рис. 7

10. Г рафы, изоб раженныенарис. 8а) и8б ) изоморфны, но онинеизоморфны графу нарис. 8в). П очему?

Рис. 8

11.П ривестипример простого графа, изоморфного реб ерному.

12.П редложитеалгоритм проверки заданного множествареб ер неорграфанато, являетсялионо цепью .

15

13.П риведитепримеры (когдаэто возможно): а) двудольного графа, являю щ егосярегулярным; б ) платоноваграфа, являю щ егосядвудольным.

14.Д ляданного графаG определить типы подграфов

15. П оказать, что реб ерные графы графов, изоб раженных нарис.10, изоморфны.

Рис.10 16. Д ляграфа, изоб раженного нарис.11, построить а) остовный под-

граф G=(X,U), где(x, y) U, если d(x)+d(y) - четноечисло; б ) подграф, не являю щ ийсяпорожденным.

Рис.11

17. Д ля графа, изоб раженного нарис.12, описать: а) порожденный подграф намножествеверш ин{x1, x4, x5}; б ) остовный подграф (X,Y), где

Рис. 12 20. П остроить граф (если онсущ ествует) споследовательностью сте-

пеней: а) (4, 3, 3, 2, 2); б ) (5, 4, 2, 2, 1); в) (3,3,2); г) (3,2,2,1).

21.П остройтеорграф, длякоторого последовательность (3,3,3,2,2) являетсякак списком полустепенейисходаверш ин, так исписком полустепенейзахода.

22.Н арисовать граф, имею щ ийразб иение5+5+3+3+2+2.

23. П окажите, что простойграф, имею щ ий, по крайнеймере, двевер-

шины, содержитдвеверш ины одинаковойстепени.

24.Д окажите, что несущ ествуетнеорграфа, степенивсехверш инкоторого попарно различны.

25.Д окажите, что если в орграфеG отсутствую тверш ины снулевой

полустепенью исхода(захода), то в G имеетсяпростойконтур.

26.О характеризовать матрицы смежности полных графов, двудольныхграфов. Ч то можно сказать о матрицесмежностипростого графаи его дополнения?

27.П усть матрицасмежностиграфаG имеетб лочную структуру

гдекаждое А i являетсяквадратнойматрицейсб улевымиэлементами, авсе остальные элементы равны 0. Ч то можно сказать о свойствах соответствую щ его графа?

28. П усть симметричнаяматрицаА порядкаn, в каждой строкекоторойнаходитсяодинаковоенечетноечисло k ненулевыхэлементов, является матрицейсмежностинеорграфа. П оказать, что число верш инграфаn четное

(аii=0).

29.Д оказать, что еслинеорграф k-регулярный, то число k есть соб ственноечисло матрицы смежностиграфа.

30.Н айтиспомощ ью матрицы смежностиd-(xi) иd+(xi)

31. П усть Gn - граф смножеством верш ин{х1,...,хn}, в котором верш и- ны хi ихj смежны тогдаитолько тогда, когдаi иj взаимно просты. И зоб разитеграфы G4 и G8 и найдитеихматрицы смежности. П окажите, что, если m<n, то Gm являетсяподграфом графаGn.

32. Ч ему равнасуммачисел, стоящ ихв лю б ой из строк матрицы инцидентности В ? Ч то можно сказать о сумме чисел, стоящ их в лю б ом из столб цов?

34.П окажите, что лю б аястрокаматрицы В являетсялинейнойкомб и- нациейостальныхстрок.

35.Д лялю б ого неорграфаможно определить матрицу соседствареб ер

36. Н аписать процедуру перехода между лю б ыми двумяспособ ами маш инного представленияграфа(А , В , список смежности).

2. Д О С Т И Ж И М О С Т Ь И С В Я З НО С Т Ь

Е сли для лю б ой пары верш инсущ ествуетцепь их соединяю щ ая, то такойграф называетсясвязным , иначеграф называетсянесвязным .

♦Упраж нение ([6], стр. 24). Д окажите, что лю б ойграф либ о сам связен, либ о его дополнение.

П равильная графическая последовательность d можетб ыть реализованасвязным графом тогдаитолько тогда, когдаdn>0 иверно неравенство

гекоторойведущ ейявляетсяверш инасминимальнойположительнойостаточнойстепенью , приводитк связному графу.

Д ля орграфов понятие связности является б олее содержательным. М ожно выделить три типасвязности орграфа. О рграф называется слабо связным , если его основаниеесть связный граф; од ностороннесвязным , если длялю б ыхдвухразличныхверш инxi и xj сущ ествует, по крайнеймере, одинпуть из xi в xj илииз xj в xi ; си льно связным , еслидлялю б ых двухразличныхверш инxi иxj сущ ествуетпуть из xi в xj иоб ратно.

Е слив графеG сущ ествуетпуть, идущ ийотверш ины xi к верш инеxj,

18

Ч тоб ы определить, каким типом связности об ладает данный граф можно использовать следую щ иепризнаки.

¨Упраж нение([4], стр. 62). П усть I – матрица, состоящ аяиз 1; б улевафункцияВ : N®{0,1}, такаячто

ì0, если =x , 0 )Bx(= í

î1, если >x , 0

переводитпроизвольную неотрицательную матрицу в матрицу сэлементамииз {0,1}. Д оказать, что орграф G сматрицейдостижимостиR иматрицей смежностиА :

а) G сильно связентогдаитолько тогда, когдаR = I, где

б ) G одностороннесвязентогдаитолько тогда, когда

B(R+R¢) = I,

гдеR¢ - матрица, транспонированнаяк R;

в) G слаб о связентогдаитолько тогда, когда

B[(I+A+A¢)n-1] = I,

где n –число верш инв G; А ¢ - матрица, транспонированнаяк А . Свойство связности является наследственным, т.е. в данном графе

можно рассматривать подграфы, об ладаю щ ие теми же типами связности, что иисходныйграф. П усть свойство Р – это типсвязности. М аксимальный связный подграф графаG называется ком понентой связности . К аждый граф представляется в виде дизъю нктивного об ъединения своих связных компонент. Разложение графанасвязные компоненты определено однозначно. А налогично, од носторонняя ком понента представляетсоб ой одностороннесвязный максимальный подграф, аси льная ком понента (СК ) максимальныйсильно связныйподграф графаG. И начесильнаякомпонента графаназываетсябиком понент ой, поскольку онасостоитиз верш ин, которые являю тся взаимно достижимыми. И з определений следует, что односторонниекомпоненты графамогутиметь об щ иеверш ины, сильнаякомпонентадолжнасодержаться, по крайнеймере, в однойодностороннейкомпоненте, аодносторонняякомпонентасодержитсяв некоторой слаб ойкомпонентеданного графаG. О чевидно, что всякий сильно связный граф одновременно является одностороннесвязным и слаб о связным. В сякий одностороннесвязный граф в то жевремяявляетсяи слаб о связным. О б ратные утвержденияневерны.

¨Упраж нение([4], стр. 52). Д оказать, что в орграфекаждаяверш ина входитв одну итолько в одну сильную компоненту.

П усть S = {S1, S2, … , Sp} – множество сильных компонент графа G=(X,U). Г раф G*=(S,US) называетсяконд енсаци ей графа, есликаждаяего верш инаSiÎS соответствуетсильнойкомпонентеграфаG, а(Si,Sj)ÎUS тогда итолько тогда, когдав G сущ ествует (x,y)ÎU, причем x ÎSi , yÎSj.

Н арис.1 представленграф G исоответствую щ аяему конденсация. ¨Упраж нение([4], стр. 54; [6], стр. 283). Д оказать, что конденсация

G* орграфаG неимеетконтуров.

19

Рассмотрим задачу определения сильных компонент графа. В ведем некоторыедополнительныеопределения.

М атри цей д ости жи м ости графаG=( X,U ), | X |=n называетсяматри-

цаR = {rij }n×n , элементы которойопределяю тсяследую щ им об разом:

Заметим, что всякая верш инадостижимасамаиз себ я, поэтому rii = 1длявсехi.

x13

Рис. 1

= S = {sij}n×n. Д оказать, что

20

а) сильнаякомпонента, содержащ ая верш ину xi, определяетсяединичными элементами в i-й строке(или i-ом столб це) поэлементного произведенияR×Q;

б ) число верш инв сильнойкомпоненте, содержащ ейxi, равно sii.

М ножество контрд ости жи м ости верш ины xi Q(xi) состоитиз таких верш инxj , длякоторыхqij=1, иопределяетсяформулой:

Q(xi) = { xi } Г -1(xi) Г -2(xi) ... Г -p(xi) , где р ≤ n.

Замечание. Т ак как граф G являетсясвязным, если лю б аяпаравер- ш инсоединенацепью , то очевидно, что дляпроверки связностиграфадостаточно построить множество достижимости или контрдостижимости для произвольнойверш ины х0. Е слиR(x0) = X (илиQ(x0) = X), то граф является связным.

М атрицадостижимости несеточень важную информацию об ориентированном графе. Е еанализ позволяетнайтисильныекомпоненты графа, в которые входятвзаимно достижимые верш ины. Д ля двух таких верш инс номерами i и j должно выполнятьсяравенство rij = rji = 1. П оэтому, чтоб ы найти сильную компоненту, в которую входитi-яверш инаорграфа, нужно просмотреть i-ю строку иi-йстолб ец матрицы R исформировать множество Pi = {j: rij = rji = 1} номеров верш ин, порождаю щ ихискомую сильную компоненту. И з определенияматрицы достижимости вытекает, что в Pi содержатсяномеравсехверш инданнойсильнойкомпоненты. П оскольку дверазличные сильные компоненты не пересекаю тся, верш ины с номерами их множестваPi при поискедругихсильныхкомпонентможно исклю чить из рассмотрения. П роцесс поисканачинается спроизвольной верш ины и заканчивается, когдадля каждой верш ины б удет найденасодержащ ая ее сильнаякомпонента. М ожетоказаться, что некоторые(аможетб ыть ивсе) сильныекомпоненты содержаттолько по однойверш ине, поскольку каждая верш ина, по определению , достижимасамаиз себ я.

П ри м ер. П усть матрицадостижимостиграфаимеетвид

x5}, P4 = {x6, x7}.

Рассмотрим другиеалгоритмы.

а) алгор ит м н ахож ден ия сильн ы х к ом пон ен т гр афа н а осн ове м ат р иц дост иж им ост и и к он т р дост иж им ост и: