m12-191(1)

1. 1. Постановка задачи интерполяции

точкахПусть для функции

. Запишем: ,

известны ее значения в (n + 1)-й

эти значения функции

в табл. 1.1.

,

0, ,

Таблица 1.1

.

Задача приближенного вычисления для заданной табл. 1.1 значения

функции

при

,

0,

,

называется задачей интерполяции

(распространения внутрь).

Решение этой задачи можно найти следующим образом: строится ал-

гебраический многочлен степени не выше n

принимающий в точках

,

,

,

те, же;значения, что;

и, функция :

(1.2)

;

,

,

(1.1)

Интерполяционным многочленом; , (

интерполянтой) для табл. 1.1

0, 1,

,

называется многочлен (1.1) степени не выше

, удовлетворяющий условию

Точки

называются узлами интерполяции.

(1.2). Вычисление, ,значения,

при

,

0,

,

по формуле

(1.3)

называется интерполяцией функции

с помощью;

алгебраического мно-

гочлена.

,

Замечание 1.1. Если

, то вычисление

с помощью (1.3)

называют экстраполяцией.

Теорема 1.1. Для табл. 1.1 интерполяционный многочлен существует

и единственен.

0,

, ,

Для табл. 1.1 с равноотстоящими узлами

введем в рассмотрение конечные разности функции .,

0Обозначим

,

0,

, . Величину.

Конечной разностью второго порядка функции в точке

назо-

вем величину

∆ ∆

∆

∆

∆

∆

.

Если известны конечные

разности m-го порядка, то конечная раз-

2

определяется как,

ность

1 -го порядка функции

в точке

где

∆

.

∆

∆ ∆

∆

∆

1,∆

Замечание 1.2. При малых

справедлива прибли-

женная формула

∆

. ∆

Для табл. 1.1 можно построить∆

таблицу конечных разностей (табл. 1.2)

Таблица 1.2

Конечные разности

Узлы

0

-го

1

-го

2

-го

1

-го

-го

порядка

порядка

порядка

порядка

порядка

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

Число

1

1

2

1

стей

разно-

Обобщенной степенью

числа

называется произведение

сомно-

жителей:

2

,

1 ,

1.

.

∆

1

2

∆

0 при

.

∆

1

∆

при

1.2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции

заданы значения

для равно-

отстоящих

значений

независимой

переменной:

0,1,

2,…,

, где – шаг интерполяции. Требуется подобрать полином

степени не выше , принимающий в точках

значения

4

…

,

где – некоторое промежуточное значение!

между узлами интерполирова-

обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений функции

.

0,1,2,…,

для равноотстоящих значений аргумента

Построим интерполирующий полином следующего вида:

Или, используя обобщенную степень, получаем

…

.

линома

.

0,1,2,…,

по-

Наша задача состоит в определении коэффициентов .

∆

0,1,2,…,

.

Подставляя эти значения, получим!

∆

1!

2!

(1.9)

!

∆

.

Это вторая

интерполяционная формула Ньютона. Введем более

…

!

…

. Получим

удобную запись формулы (1.8). Пусть

∆

!

∆

…!

∆ .

…

!

,

ции, т.е. нахождения значений функции

для значений аргументов

, ле-

жащих вне пределов таблицы. Если

и близко к , то применяют

первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда

< 0.

Если

и близко к , то применяют вторую интерполяционную

формулу Ньютона, причем тогда

0.

1.4. Центральные разности

При

построении интерполяционных формул Ньютона используются

функции, соответствующей начальным значениям

и

, или в строках,

непосредственно примыкающих к ней. Это разности

∆

,

∆

,

∆

, … в

табл. 1.3.

∆

∆

∆

∆

Таблица 1.3

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

1.5. Интерполяционные формулы Гаусса

Пусть имеется 2

,

1 равноотстоящих узлов интерполирования

где

, , ,

,

,

,

,

,

и для функции

известны ее значения,

этих узлах

1

,

∆

в

1 ,

.

,

7

0,

1,

,

2

такой, что

Требуется построить полином

степени не выше

при

0,

1,

, .

Будем искать этот полином в виде

.

Применяя для вычисления коэффициентов

Ньютона,

тот же

способ, что и при выводе интерполяционных формул

0,1,

,

2

формулу ∆

∆

, последовательно находим:

∆

,

∆

, ∆

∆

,

,

∆

1!

2!

3!

∆

4!

2

1 !

2 !

Далее, введя,переменную,

и сделав,

замену, получим.

первую

интерполяционную формулу Гаусса

1

1

∆

1

∆

∆

1

4!

1

2

∆

2!

2

1

5! 3!

1

2

∆

(1.9)

!

∆

∆

Первая

!

.

интерполяционная формула Гаусса содержит центральные

разности

∆

,

∆

,

∆

, ∆

,

∆

,

∆

,

Гаусса

Аналогично

можно

получить вторую интерполяционную формулу

∆

1

∆

1

1

1∆

2

1

1

2!

1

3!

4!

∆

2

1 !

∆

(1.10)

в которую входят центральные разности!

∆

,

,

∆

, ∆

, ∆

, ∆

, ∆

, ∆

формул Гаусса, получим формулу Стирлингa

·

∆

2

∆

2

∆

3! 1

· ∆

2 ∆

4!

1

∆

1

5!

2

·

∆

2

∆

8

1

2

∆

1

6!

3

1

2

∆

2

∆

1 !

2

где

.

1

2

2

!

3

1

∆

,

Легко видеть, что

при

используемой разности таблицы и

Если

порядок максимальной

0,

1,

, .

Стирлинга,2

, то остаточный

член

интерполяционной

формулы

где

!

1

2

3

,

Если же,

аналитическое,

выражение.

функции

неизвестно, то при

малом полагают

∆

∆

1

2

3

.

2 2

1 !

1.7. Интерполяционная формула Бесселя

Для вывода этой формулы воспользуемся второй интерполяционной

формулой Гаусса.

2 равноотстоящих узлов интерполирования

Возьмем 2

с шагом

, и пусть

,

, ,

,

,

,

, ,

1

заданные значения

функции

.начальные значения

,

части

Выберем за

,

1

и используем узлы

0,

1,

,

,

тогда

. Заменим

в правой

формулы Гаусса

на

и, увеличив индексы всех разностей на 1,

получим вспомогательную

формулу

1

1

1

2 ∆

1 ∆

2!

∆

1

1

2

1

1

3!

3

∆

2

∆ .

4!

5!

∆

!

∆

!

1

∆

1

·

∆

∆

1

2

2

2

2

2 3!

1

∆

1

1

4! 1

2

2

· ∆

2 ∆

1

1

2

5!

∆

1

1

1

1

26! 2

2

2

3

·

∆

1

2∆∆

∆

1

2

!

·

2

где

2

1

1

2

2

1 !

2

1

∆

,

Если .

1

порядок максимальной используемой разности табли-

цы и

2

1

,

то остаточный член интерполяционной

формулы Бесселя,

где

!

1

2

3

q

n 1

,

задана,

таблично,

1мал,.то принимают

Если же функция

и шаг

∆

∆

1

2

3

2 2

2 !

.

Замечание 1.4. При построении

интерполяционных формул Ньютона

1

мул начальным является средний. При

целесообразней приме-

нять формулу Стирлинга, а при

0,25

0,75

| |

0,25Бесселя.