Metodichka_po_diffuram_Kostrub_Belousova_Smag
.pdf9. |
x· |
= −3x + y + 5t − 1, |
|
|
10. |
x· = 2x − y + 4, |
|||
|
y· = 8x − y + 6 − t + 10e−2t. |
|
y· = x + 2t. |
||||||
11. |
x· |
= x + y, |
|
|
12. |
x· = 25et − 5x − y, |
|||
|
y· = x + y + e5t. |
|
|
|
y· = x − 3y − 36e2t. |
||||
13. |
x· |
= 2y, |
|
|
14. |
x· = 6x − y − 6t2 − t + 3, |
|||
|
y· = 2x − 3y + e2t. |
|
|
|
y· = 2y − 2t − 1. |
||||
15. |
x· |
+ 5y = cos 5t, |
|
|
16. |
x· |
= 2x + y − 2 sin t, |
||
|
y· |
+ 5x = sin 5t. |
|
|
|
y· |
= −2x + sin t. |
||
17. |
x· |
= 2x − y − 2et, |
|
|
18. |
x· = 2x − y, |
|||
|
y· |
= 3x − 2y + 4. |
|
|
|
y· |
= −x + 2y − 10 cos t. |
||
19. |
x· |
= x − 2y, |
|
|
20. |
x· |
= −x − 5y + 2 sin t, |
||
|
y· = 2x − 3y + 1. |
|
|
|
y· = x + y + 4. |
||||
21. |
x· |
= −x − y + sin t, |
|
|
22. |
x· |
= x + 2y − cos t − 3 sin t, |
||
|
y· |
= x − 3y − cos t. |
|
|
|
y· |
= 4x − y − 3 cos t + sin t. |
||
23. |
x· = x − 2y + 2t, |
|
|
24. |
x· = −x − 2y + 2e−t, |
||||
|
y· = 2x − 3y + 1. |
|
|
|
y· = 3x + 4y + e−t. |
||||
25. |
x· |
= 3x − 2y + 2 cos t, |
|
|
26. |
x· = 2y − x + 1, |
|||
|
y· |
= 4x − 3y + cos t − sin t. |
|
y· |
= 3y − 2x − t. |
||||
|
Задание 10. Решить задачу Коши ([3, 14], [6, 22, 23]). |
||||||||
|
|
x· = et − y, |
|
|
|
|
x· = 2y + 4, |
||
|
1. |
y· = x + e−t, |
|
|
|
2. |
y· = −2x + 3t − 2et, |
||
|
|
x(0) = y(0) = 1. |
|
|
|
|
x(0) = 3, y(0) = 2. |
||
|
|
x· |
= 2x + y + cos t, |
|
|
|
x· |
= x − y + 3t2/2, |
|
|
3. |
y· |
= −x + 2 sin t, |
|
|
|
4. |
y· |
= −4x − 2y + 4t + 1, |
|
|
x(0) = y(0) = 2. |
|
|
|
|
x(0) = y(0) = 0. |
||
|
|
x· = 4x − 5y − 2t2 + 5t, |
|
|
x· = 4x − 5y + 6t − 3, |
||||
|
5. |
y· = −2y + 2t + 1, |
|
|
6. |
y· = 4y + 2 − 8t, |
|||
|
|
x(0) = y(0) = 0. |
|
|
|
|
x(0) = 1, y(0) = 0. |
||
|
|
x· = −3x − 4y + 2t, |
|
|
x· = y − x + et, |
||||
|
|
y· = x + y + t − 1, |
|
|
|
|
t |
||
|
7. |
|
|
8. |
y· = x − y + e , |
||||
|
|
x(0) = y(0) = 0. |
|
|
|
|
x(0) = y(0) = 1. |
||
|
9. |
x· = −y + 2x, |
t |
sin t, |
|
10. |
x· = 4x + y + 36t,t |
||
|
y· |
= −x + 2y − 5e |
|
y· |
= −2x + y + 2e , |
||||
|
|
x(0) = 2, y(0) = 3. |
|
|
x(0) = 0, y(0) = 1. |
||||
|
11. |
x· = x + y − t2 + t −2 2, |
|
12. |
x· = x + y, |
||||
|
y· |
= −2x + 4y + 2t |
− 4t − 7, |
y· |
= −2x − y + t, |
||||
|
|
x(0) = 0, y(0) = 2. |
|
|
x(0) = 0, y(0) = 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
x· = 4x − 5y + 4t − 1,
13.y· = x − 2y + t,
x(0) = 1, y(0) = 0.
x· = y − 7x + 7,
15.y· = −2x − 5y + 2,
x(0) = 4, y(0) = 0.
x· = x − y + 2 sin2 t,
17.y· = 2x − y,
x(0) = y(0) = 0.
x· = 2x − 4y − 1 − 2t,
19.y· = −x + 5y − 1 + 4t,
x(0) = 1, y(0) = 0.
x· = x + et − y,
21.y· = 2x + 4y − 2,
x(0) = y(0) = 1.x· = x + 2y + 16et,
23.y· = 2x − 2y,
x(0) = −13, y(0) = −6.
x· = −x + 2et − 2y,
y· = 1 − y − z,
25.z· = 1 − z,
x(0) = y(0) = z(0) = 1.
x· = −2x + 2y − 20et,
14.y· = −x − 5y − 13et,
x(0) = 0, y(0) = 1.
x· = −2y + 3t,
16.y· = −2x + 4,
x(0) = 2, y(0) = 3.x· = 3x + 2y − cos t,
18.y· = 6x + 4y + 7 sin t,
x(0) = −2, y(0) = 1.
x· = y,
20.y· = −x + 1/ cos t,
x(0) = 2, y(0) = 3.
x· = 3x + y + et,
22.y· = x + 3y − et,
x(0) = −1, y(0) = 2.
x· = x + 2y,
24.y· = x − 5 sin t,
x(0) = −1, y(0) = 2.
x· = 2x + y − 2z − t + 2,
y· = 1 − x,
26.z· = x + y − z + 1 − t
x(0) = y(0) = z(0) = 0.
Задание 11. ([3, 14], [6, 22, 23]). Решить систему дифференциальных
уравнений x· = Ax , ãäå x вектор-столбец, |
A заданная матрица. |
|||||||||||
Найти фундаментальную матрицу |
eAt , экспоненциал |
eA матрицы A è |
||||||||||
его определитель |
det eA . |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
1. |
A = −1 |
1 |
1 |
2. |
A = |
2 0 |
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
−1 |
−1 |
|
A = |
−2 −1 |
−0 |
||||
3. |
A = 1 |
3 |
−1 |
4. |
−3 |
0 |
0 |
|||||
|
4 |
2 |
−2 |
|
|
|
|
3 |
0 |
1 |
||
|
3 |
3 |
−1 |
|
A = |
−1 −1 |
0 |
|||||
5. |
A = |
12 |
−5 |
12 |
6. |
|
6 −2 |
−6 |
||||
|
|
|
5 |
|
1 |
−4 |
|
|
|
3 |
1 |
3 |
|
−10 |
−3 |
−9 |
|
|
−6 −2 |
−6 |
|||||
22
7. |
A = 12 |
−4 12 |
8. |
A = |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
−1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
−1 |
− 5 |
|
|
−1 |
4 |
|
1 |
|
|
|||||||||
9. |
A = −1 |
0 |
−1 |
|
10. |
A = |
3 |
−4 |
|
−3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
−2 |
|
−1 |
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|||||||
11. |
A = |
|
1 |
−1 |
−0 |
|
12. |
A = |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
||||
13. |
A = −1 |
0 |
|
|
14. |
A = |
1 |
|
1 |
|
−1 |
|
|||||||||
|
|
|
−2 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
1 |
1 |
|
||||
|
|
−2 |
1 |
3 |
|
|
|
0 |
1− |
1 |
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15. |
A = |
−1 |
0 |
−0 |
16. |
A = |
−1 |
−1 |
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
1− |
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
12 − |
4 |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||
17. |
A = |
|
1 |
−0 |
|
2 |
18. |
A = |
−1 |
|
−3 |
|
−1 |
||||||||
19. |
|
|
−2 |
|
1 |
−1 |
|
20. |
|
|
−1 |
−12 |
|
6 |
|
||||||
A = |
|
2 |
−1 |
−2 |
|
A = |
1 |
0 |
−1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
−1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
4 |
|
1 |
1 |
0 |
2 |
|
|
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
|||||||
21. |
A = |
3 |
−1 |
−1 |
|
22. |
A = |
1 |
−1 |
|
−0 |
|
|||||||||
|
|
|
1 2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
1− |
1 |
0− |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
A = |
−1 |
0 |
−0 |
24. |
A = |
−6 |
1 |
2 |
−6 |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
−2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
−1 −4 |
|
|
||||||
25. |
A = |
−4 |
1 |
−0 |
26. |
A = |
1 |
−1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
−1 |
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
−2 |
|
|
|||||
Задание 12. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решения данных уравнений и систем с указанными начальными условиями ([1, 15], [3, гл. 5, 1], [5, гл. 5, 1] ).
1. |
t2x· = −3tx + 2, x(1) |
= 1; |
2. |
x· = t(x − 1), |
x(1) = 2; |
|||
3. |
x· |
= t2 − x, |
x(1) = 1; |
|
4. |
x· |
= 2tx + 2t, |
x(0) = 0; |
5. |
x· |
= 2x − t2, |
x(0) = 0; |
6. |
x· |
= t2 + 2x, |
x(0) = 3; |
|
23
7. |
x· = t + x, |
x(0) = 1; |
|||
9. |
tx· − x = 2t2e−2t, |
x(1) = e−2; |
|||
11. |
x· |
= −y, |
x(0) = 0, |
||
|
y· |
= x, |
y(0) = 0; |
||
13. |
x· |
= −x − 3y, |
x(0) = 0, |
||
|
y· |
= 3x − y, |
y(0) = 0; |
||
15. |
2x· + y· = −5y, |
x(0) = 0, |
|||
17. |
x· |
− 2y· = −5x, |
y(0) = 0; |
||
y·· |
= −5x − 2y, |
y(0) = 0; |
|||
|
x = y, |
|
x(0) = 0, |
||
19. |
y·· |
= −4(x + y), |
y(0) = 0; |
||
|
x = 2y, |
|
|
x(0) = 0, |
|
21. |
x· |
= 4x − y, |
|
x(0) = 0, |
|
23. |
y· |
= −2(x + 3y), |
y(0) = 0; |
||
y·· |
= −2x − 2y, |
y(0) = 0; |
|||
|
x = y, |
|
x(0) = 0, |
||
25. |
x· = 4x − t2x, x(0) = 0; |
||||
8. |
x· = 2 + t, |
x(0) = 1; |
|||
10. |
x· = (2 − t3)x, x(0) = 0; |
||||
12. |
y·· |
= −x, |
y(0) = 0; |
||
|
x = 4y, |
x(0) = 0, |
|||
14. |
x· = x − 7y, |
x(0) = 0, |
|||
|
y· |
= 2x − 8y, |
y(0) = 0; |
||
16. |
x· + y· = x − y, |
x(0) = 0, |
|||
18. |
y· |
− x· = x + y, |
y(0) = 0; |
||
y·· |
= −x − 2y, |
y(0) = 0; |
|||
|
x = y, |
|
|
x(0) = 0, |
|
20. |
y·· |
= −2x, |
y(0) = 0; |
||
|
x = 8y, |
|
x(0) = 0, |
||
22. |
y·· |
= −x − 4y, |
y(0) = 0; |
||
|
x = 3y, |
|
|
x(0) = 0, |
|
24. |
x· = 2x − t2x, |
x(0) = 0; |
|||
26. |
x· = x − 2t3x, |
x(0) = 0. |
|||
|
Задание |
|
|
13. |
([1, |
|
15], [3, |
|
ãë. |
4, 27 |
|
28], |
[4, |
|
26], |
[5, |
ãë. 5, |
|||||||||||||||||||||
2]). С помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приближению |
исследовать |
|
на устойчивость |
нулевое |
|
решение систем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
x· |
= 2ex + 5y − 2 + x4, |
|
|
2. |
x· |
= 3x − 22 sin y + x2 − y3, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y· = x + 6 cos y |
− |
6 |
− |
y2; |
|
|
y· = ln(1 |
− |
4y) + 2e−9x |
− |
2; |
||||||||||||||||||||||||||
3. |
x· |
= x2 + ex+2y − cos 2x, |
|
|
4. |
x· |
= −3x + 4y + sin |
y |
− y2, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y· |
= 2√ |
|
|
− 2ey − 3y; |
|
|
y· |
= −2x + sin y + xey; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 + 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x· |
= 3x + 4ex |
|
|
|
|
4 cos(y2), |
|
|
|
x· |
= 5y2 |
|
|
3 cos(x2 + y) + 3e3x, |
|||||||||||||||||||||||
|
y· |
= 2y − 1 + |
−√3 |
|
; |
|
|
y· |
= x − ey |
|
+ |
√1 + 2x; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 − 6x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x· |
= x + 2y |
|
|
sin(y2), |
|
|
|
|
|
x· |
= 5x + 3 sin 2y |
|
|
y2x, |
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
y· |
= x(e |
|
− 1) − x − 3y; |
|
|
· |
= − 2 |
3 |
|
|
− − |
|
− − |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
y y5 |
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 y; |
|||||||
9. |
x· |
|
|
|
x /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
, |
10. |
|
|
|
x + 3e x y |
|
|
||||||||||||
= 3x − 22 sin y + x |
|
|
|
x· |
= x |
|
− 4x |
1 − x + cos y − 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
y· |
|
2 |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= y + cos x + 2x − e2y; |
|
|
= 2ex+y − 2 + y3; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
11. |
x· |
= x − y + xex − x3y, |
|
|
12. |
x· |
= x2 − ex + 3y + cos y, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
y· |
= 2x − x2 |
cos x + 7y − y5; |
y· |
= sin(x − 2y) + ln(1 + xy); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x· = 3ex−y |
− 3 cos(x − y), |
|
|
14. |
x· = 2x + y + x sin y − y cos y, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y· |
= sin(x2 − |
y) − 4x + 15y3; |
y· |
= x −2 |
|
3y + xex; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x· |
= √4 + 2y − 1 − cos2 x, |
|
|
16. |
x· |
= ex +y + sin y − cos(x + y), |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y· |
= ex+y − 1 − 2x; |
|
|
|
|
|
|
y· |
= 2 sin x − ln(1 + y2) − y3; |
||||||||||||||||||||||||||||
24
17. |
x· |
= 3x + 4 cos y − 4ex, |
|
|
|||||
|
y· |
= 2 sin x − ln(1 + y2) − y3; |
|||||||
19. |
x· |
= x + ey − cos y, |
|
|
|
||||
|
y· |
= 3x − y − sin(x − 2y2); |
|||||||
21. |
x· |
= 2 sin(x − 5y) + e3y − 1, |
|||||||
|
y· |
= cos x + 3ex+y − 4y − 4; |
|||||||
|
· |
= |
− 2 sin |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||
23. |
x· |
= 2x − ey + |
|
1 + 3x − y2 |
, |
||||
25. |
y |
y |
|
y + 3ey |
|
3; |
|
||
y·· |
= x + y + x2y; |
|
|
|
|||||
|
x = 4 sin x + ln(1 + y), |
|
|
||||||
18. |
x· |
= 7x + 3 sin y − y2, |
|||
|
y· = ex − 3y − 1 + 2, 5x2; |
||||
20. |
x· |
= −x + 3y − sin y + x2, |
|||
|
y· |
= −x − 4y + 1 − cos(y2); |
|||
22. |
x· |
= 4ey − 10x − 4 cos y, |
|||
24. |
y· = 2ex − 2 − y + x5; |
||||
y·· |
= ln(1 +−2x) − √1 + 8y; |
||||
|
x |
= e2x+y |
cos 5y, |
|
|
26. |
x· |
= −x + 1 − cos y, |
|||
|
y· |
= sin2 x + 1 − ey. |
|||
Задание |
14. Исследовать, при каких значениях параметров |
α |
è β нулевое |
решение асимптотически устойчиво ([1, 15], [4, 9] |
). |
1. xIV |
+ αx |
III |
+ 2 |
·· |
+ |
· |
+ |
|
= 0; |
|
|
x |
|
βx |
|
x |
|
III·· ·
3.x + αx + βx+ 3x = 0;
|
xIV |
+ 3x |
III |
+ |
|
|
·· |
+ 2 |
· |
+ |
|
|
|
|
= 0; |
||||||||
5. |
+ 2x |
+ |
αx |
+ |
|
x |
+ |
βx |
|
||||||||||||||
|
xIV |
III |
|
|
·· |
|
|
· |
|
|
|
= 0; |
|||||||||||
7. |
+ 2x |
+ |
αx |
+ |
βx |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
xIV |
III |
|
|
·· |
|
· |
+ |
|
|
|
= 0; |
|||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
αx |
|
x |
+ |
x |
|
= 0; |
|||||||||||
|
xIV |
+ αx |
III |
+ ·· |
|
+ 2 |
· |
|
|
|
|||||||||||||
11. |
|
+ x |
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
= 0; |
|||||||||||
|
αxIV |
III |
+ ·· |
|
+ · |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
x |
·· |
x |
· |
|
βx |
= 0; |
|||||||||||
|
xIV |
+ αx |
III |
+ 2 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
||||||||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
) |
x |
|
= 0; |
||||||||
17. |
·· |
+ ( |
α |
− |
|
1) |
· + (4 |
− |
|
α2 |
x |
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
III |
+ 2 |
·· |
+ |
|
· + |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|||||||||
19. |
x |
|
|
|
x |
|
αx |
|
·· |
βx |
|
· |
+ |
|
|
|
= 0; |
||||||
|
IV |
+ αx |
III |
+ 4 |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
βx |
|
|
x |
|
|
|||||||
x· = y + sin x,
23.y· = αx + βy;
x· = 2x + αz,
25.y· = y + βz,
z· = βx + αy + 3z;
2. xIV |
+ αx |
III |
+ 2 |
·· |
+ |
|
· |
+ 3 |
|
|
= 0; |
||||||||||||||||||||
+ 2·· |
|
· |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. xIII |
+ |
|
|
+ 3 |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
αx |
|
·· |
|
|
x |
|
|
|
|
· + |
|
|
|
= 0; |
|||||||||
6. xIV |
+ 3x |
III |
|
+ |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
αx |
+ |
|
|
x |
|
x |
|
= 0; |
|||||||||||||||||
8. xIV |
+ βx |
III |
|
|
·· |
|
|
· |
|
+ 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
αx |
|
|
+ |
x |
· |
|
x |
|
|
= 0; |
||||||||||||||
|
xIV |
+ 3x |
III |
+ 4 |
·· |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10. |
|
+ 3 |
|
|
· |
|
x |
|
|
|
|
αx |
|
|
βx |
|
|||||||||||||||
|
xIII |
|
·· |
+ 3 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12. |
|
+ |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
xIII |
|
|
|
·· |
+ · |
+ 2 |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. |
|
|
αx |
+ |
x |
· |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
xIII |
|
+ 3 |
·· |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16. |
|
|
|
x |
|
|
|
αx |
|
·· |
x |
|
· + |
|
|
|
|
= 0; |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
+ αx |
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
18. |
xIV |
|
|
|
|
|
|
III |
|
|
|
x |
+ |
|
x |
|
βx |
|
= 0; |
||||||||||||
|
xIV |
+ 2x |
III |
+ 4 |
·· |
|
|
|
|
· |
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
20. |
+ 2x |
+ |
|
|
x |
|
+ |
αx |
+ |
βx |
|
||||||||||||||||||||
|
xIV |
III |
|
|
·· |
|
|
· |
|
|
|
= 0; |
|||||||||||||||||||
22. |
|
|
|
|
|
|
|
αx |
|
|
|
βx |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
x· |
= −x + αy + βz, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.y· = −αx − y + αz,
z· = −βx − αy − z;
x· = αx + αy,
26.y· = y + 2z,
z· = βx + βy + αz;
([1, гл.3, 7], [3, 14], [6, 22, 23], [7, 22, 23]). Найти все особые точки (положения равновесия)системы дифференциальных уравнений. Исследовать их на устойчивость и определить типы особых то- чек. Начертить на фазовой плоскости траектории системы
1. |
y·· = x2 + y2 − 25; |
2. |
y·· = xy−− 2; |
− |
1), |
|
x = xy + 12, |
|
x = 1 y + x(y |
|
25
3. |
x· |
= y − x − 1, |
|
|
|
|
|
||||
5. |
y· |
= ln(x2 − y); |
|
|
|
|
|||||
y·· |
= − sin x; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
= y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
y·· |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= − sin x; |
|
− |
3y |
− |
sin x, |
||||||
|
x |
= 2y + |
√1 |
|
|
|
|||||
9. |
x· |
= x2 − y2 + 12, |
|
|
|
||||||
|
y· |
= x2 + y2 − 20; |
|
|
|
||||||
11. |
x· |
= (2x − y)(x − 2), |
|
|
|||||||
|
y· |
= xy − 2; |
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
x· |
= y2 − x2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
y· |
= ln((1 − x + x2)/3); |
|||||||||
15. |
x· |
= x2 − y, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y· = x2 − (y − 2)2 |
|
|
|
|||||||
17. |
x· |
= (y − 1)(3x + y − 5), |
|||||||||
19. |
y· = x2 + y2 − 5; |
|
|
|
|||||||
y·· |
= 2y;− |
y2 |
− |
|
|
|
|
|
|||
|
x |
= x2 |
|
|
1, |
|
|
|
|||
21. |
x· |
= x(x + y − 3), |
|
|
|
||||||
23. |
y· |
= y(2 − x); |
|
|
|
|
|
||||
y·· |
= y2 − 4x; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
= arctan(xy + y2), |
|
|
|||||||
25. |
y·· |
= −2y + 4x2y; |
|
|
|
||||||
|
x |
= x + 2xy2 |
, |
|
|
|
|
|
|||
4. |
x· |
= |
2xy, |
|
|
− |
|
|
|
|
y· = y − x2 + y2 + 4; |
|||
|
x = 4x2 |
y2, |
||
6. |
y·· |
= 2x(y−− 2) − 8; |
||
|
x = 2xy, |
|
||
8. |
y·· |
= x2 + y2 − 4; |
||
10. |
x· |
= y(y − x), |
||
|
y· |
= ln(x − y2 − 1); |
||
|
x = y |
x2 |
x, |
|
12. |
y·· |
= 3x−− x2−− y; |
||
14. |
x· |
= |
2xy + 2y2, |
|
y· |
− |
|
|
|
|
= 2x − y2; |
|||
16. |
x· |
= ey − ex, |
||
|
y· |
= ln(5 − x2); |
||
18. |
x· |
= x(x2 − 2) + y, |
||
y;
x· = ln(1 − y + y2),
20.y· = 3 − px2 + 8y;y· = x(3x4 − 1) − 2
22. |
x· |
= y2 |
− x, |
|
|
y· |
= ln(1 − y + y2) − ln 3; |
||
|
x· |
= 2x |
2xy, |
|
24. |
y· |
= x4 |
− y3 |
; |
y·· |
− |
− |
|
|
26. |
= 6x−− 2y−; |
|||
|
x = y |
3x |
x3, |
|
Контрольные вопросы
Теория дифференциальных уравнений первого порядка
1. Дать определение решения, общего решения ДУ, задачи Коши, интегральной кривой.
2. В чем заключается геометрический смысл ДУ y0 = f(x, y) ? 3. Какой угол наклона имеет интегральная кривая уравнения
xy0 + y = y2 ln x
в точке [ 1,1]?
4. Что такое изоклина ДУ y0 = f(x, y) ? Какой угол наклона имеют интегральные кривые уравнения y0 = 2x(1 − y)
y = 1 − 1/2x?
26
5. |
Êàê |
выделить |
области возрастания |
(убывания) |
решения |
ÄÓ |
|
y0 |
= f(x, y) ? Как найти их точки экстремума? Сделать это для уравнения |
||||||
|
|
|
y0 |
= y − x2 + 2x − 2. |
|
|
|
6. |
Êàê |
выделить |
области |
выпуклости |
вверх (вниз) |
решения |
ÄÓ |
y0 |
= f(x, y) ? Как найти их точки перегиба? Сделать это для уравнения |
||||||
|
|
|
y0 |
= y − x2 + 2x − 2. |
|
|
|
7. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Укажите область единственности (т.
е. множество точек (x0, y0) таких, что данное уравнение имеет единствен-
ное решение, удовлетворяющее условию |
y(x0) = y0 ) для уравнения: |
|
||||||
a) y0 = xy + e−y ; á) y0 = √ |
|
|
|
; â) |
y0 = x/y ; ã) y0 = (y + 1)/(x |
y) . |
||
x |
− |
y |
||||||
|
|
|
|
|
в каждой точке оси |
|
− íà- |
|
8. Показать,что для уравнения y0 = |y|1/2 |
|
абсцисс |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
рушается единственность решения. |
|
|
|
|
||||
9. Показать, что задача y0 = yα |
имеет по крайней мере два решения для |
|||||||
0 < α < 1 è îäíî äëÿ α = 1 . Построить интегральные кривые для |
α = 1 |
|||||||
è α = 1/2 .
10.Показать,что ДУ y0 = y/x при начальном условии y(0) = y0 имеет бесконечно много решений вида y = cx , åñëè y0 = 0 и не имеет ни одного решения, если y0 6= 0 .
11.При каких условиях задача Коши для ДУ с разделяющимися переменными имеет единственное решение?
12.Какие решения теряются при разделении переменных в ДУ:
à) y0 = xy2 + 2xy ; á) xy0 = y(x2 + 1) ; â) xdy − y(x2 − 1)dx = 0 ?
13. Êàêèе решения теряются при разделении переменных в уравнении y0 = 2√y ? Найдите все решения этого ДУ, изобразите интегральные кри-
âûå.
14.Каков общий вид и метод интегрирования однородного ДУ первого порядка?
15.Каков общий вид и метод интегрирования линейного ДУ первого порядка? При каких условиях задача Коши для такого уравнения имеет единственное решение?
16.Каков общий вид и методы решения ДУ: а) Бернулли? б) Риккати?
17.Как интегрируется ДУ в полных дифференциалах? Что такое интегрирующий множитель?
18.Привести пример: а) ДУ с разделяющимися переменными; б) однородного ДУ; в) линейного ДУ первого порядка; г) ДУ Бернулли; д) ДУ Риккати; е) ДУ в полных дифференциалах.
27
Теория дифференциальных уравнений высокого порядка
1.Как формулируется задача Коши для ДУ n -го порядка?
2.Могут ли графики двух решений ДУ касаться друг друга в некоторой
точке x0, y0 äëÿ ÄÓ: à) y0 = x + y2 ; á) y00 = x + y2 ; â) y(3) = x + y2 ?
3. Могут ли графики двух решений ДУ пересекаться в некоторой точке x0, y0 äëÿ ÄÓ: à) y0 = x + y2 ; á) y00 = xy2 ?
4.Сколько существует решений ДУ y(n) = x + y2 , удовлетворяющих усло- âèÿì y(0) = 0 , y0(0) = 0 ? Рассмотреть случаи n = 1,2,3.
5.Являются ли линейно независимыми на R следующие системы функ-
öèé: à) 1, sin x, cos 2x ; á) 1, x, x2 ; â) x + 1, 2x2 − 3, 2x2 − 2x − 1 ? 6. Выпишите уравнение гармонических колебаний частоты ω при нали- чии вынуждающей силы f(x) . Выпишите уравнение колебания маятника
в среде с трением без вынуждающей силы. При каких условиях возникают затухающие собственные колебания?
Линейные системы с постоянными коэффициентами
Устойчивость
1. Что называется линейной системой дифференциальных уравнений в (ДУ) нормальной форме? Как ставится задача Коши для такой системы? Как формулируется для нее теорема существования и единственности?
2. Как определяется линейная зависимость (независимость) системы вектор-функций на некотором промежутке? Будут ли линейно зависимы на прямой системы:
a) |
t |
, |
0 |
; |
b) |
2t |
, |
3t |
; |
|
|
|||
|
0 |
|
t |
|
|
|
|
4 |
et , |
6 |
|
1 et ? |
||
c) |
t |
, |
t2 |
|
; |
d) |
0 |
1 et, |
||||||
|
t |
|
t2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.В чем заключается принцип суперпозиции для линейных систем ДУ? Как он проявляется в случае однородных систем?
4.Что называется фундаментальной системой решений (ФСР) для ли-
нейной системы n уравнений первого порядка?
5. Пусть Φ(t) фундаментальная матрица для системы x0 = Ax . Будут ли являться фундаментальными для этой системы матрицы Ψ1(t) = Φ(t)C , Ψ2(t) = CΦ(t) , где C произвольная постоянная мат-
рица. Ответ обоснуйте.
6. Какова структура общего решения однородной системы ДУ первого порядка? Тот же вопрос для неоднородной системы.
28
7.Как найти частное решение неоднородной системы ДУ, зная ФСР для однородной системы?
8.Как определяется матричная экспонента? Как с помощью матрич- ной экспоненты построить ФСР для системы x0 = Ax ? Как записать с ее
помощью общее решение этой системы? Как найти решение, удовлетворяющее условию x(0) = x0 ?
9.Пусть A = diag{λ1, λ2, · · · , λn} диагональная матрица. Показать,
÷òî eAt = diag{eλ1t, eλ2t, · · · , eλnt} .
10.Пусть X(t) решение матричного уравнения X0 = AX с постоянной матрицей A , à Y (t) = C−1X(t)C , ãäå C постоянная матри-
ца, для которой detC 6= 0 . Показать, что Y (t) удовлетворяет уравнению Y 0(t) = (C−1AC)Y . Вывести отсюда, что
eAt = CeC−1ACtC−1.
11. Пусть A диагонализуемая матрица, λ1, λ2, · · · , λn ее собствен- ные значения, C матрица перехода к базису из собственных векторов.
Показать, что
eAt = Cdiag{eλ1t, eλ2t , · · · , eλnt}C−1.
12.Привести пример матриц A è B таких, что e(A+B)t 6= eAteBt.
13.Доказать, что если система ДУ x0 = Ax имеет ненулевое стаци-
онарное решение x(t) = x0 , то у матрицы A есть нулевое собственное
значение.
14. Доказать, что если система ДУ x0 = Ax имеет ненулевые ограни- ченные на всей оси решения, то среди собственных значений матрицы A есть хотя бы одно чисто мнимое.
15.Чем отличается понятие устойчивоcти по Ляпунову от понятия непрерывной зависимости решения от начальных данных?
16.Обязательно ли для исследования устойчивости линейной системы
ñпостоянными коэффициенатми знать все ее решения?
17.Сформулируйте теорему Ляпунова об устойчивости по первому приближению. В каком случае эта теорема не дает ответ на вопрос об устой- чивости нулевого решения?
18.Что такое функция Ляпунова? Как она используется при исследовании устойчивости нулевого решения нелинейной системы ДУ первого порядка?
19.Что такое интегральная кривая, фазовая траектория для нормальной системы ДУ? Что является интегральной кривой и фазовой траекто-
29
рией системы ДУ двух уравнений, имеющих решение
a) x1(t) = cos t, x2(t) = sin t; |
b) x1(t) = 2 cos t, x2(t) = 3 sin t. |
20. Что такое точка покоя системы x0 = f(x) ? Какая фазовая траектория ей отвечает?
21.Каков критерий асимптотической устойчивости точек покоя для линейной системы ДУ с постоянными коэффициентами?
22.Что такое особая точка? Перечислите типы особых точек на плос-
кости.
23.Является ли точка покоя ¾устойчивый узел¿ устойчивым по Ляпунову решением? Асимптотически устойчивым? Как определить направление движения по прямолинейным фазовым траекториям? Те же вопросы для других типов особых точек.
30