2.2. Сходящиеся формулы численного дифференцирования

Пустьгладкая на некотором интервалеDвещественной прямойR функцияи требуется вычислить производную. Построим сеткуРассмотрим формулу численного дифференцирования

где R, .

Разность

называется погрешностью формулы численного дифференцирования (36).

Формула численного дифференцирования (36) называется сходящейся, еслипри для любой функции(в любой точке гладкости функции).

Будем говорить, что формула (36) аппроксимирует с порядком (имеет - ый порядок точности), если при .

Функцию комплексного переменного С вида

назовем характеристической функцией (символом)формулы численного дифференцирования (36).

Теорема 5. Формула численного дифференцирования (36) является сходящейся тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция представима в виде

Замечание 11 . В представлении (38) характеристической функции сходящейся формулы численного дифференцирования множитель

имеет корней; они называются характеристическими числами сходящейся формулы численного дифференцирования (характеристические числа отличны от 1).

Для построения формулы численного дифференцирования, имеющей - ый порядок точности, можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Теорема 6.Для того чтобы формула численного дифференцирования (36) аппроксимировала с порядком, необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициентыявлялись решением системы линейных уравнений

Система (39) содержит уравнений относительно неизвестных .

Из теоремы 6 следует, что для построения искомой формулы численного дифференцирования (36) нужно найти решение системы (39). Выберем и так, чтобы . В этом случае определитель системы (39) есть определитель Вандермонда и отличен от нуля:

Таким образом, для любых и можно построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующуюс порядком .

2.3. Задание. Для заданных и методом неопределенных коэффициентов построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующуюс порядком .

Составитель Трофимов Валерий Павлович

Редактор Тихомирова О.А.

21