1.6. Квадратурные формулы с весом

Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде

где - некоторая заданная функция, называемаявесом. Обычно требуют, чтобы интегралабсолютно сходился иВ разложении на множители функциифункциювыбирают так, чтобы она обладала достаточно высоким порядком гладкости на, при этом весовая функциядолжна содержать все «особенности» подинтегральной функциии быть по возможности наиболее простой.

В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид

где

Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби ,позволяющей учитывать степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к отрезку и построим интерполяционную квадратурную формулу

где -корни многочлена Якоби .

Многочлен Якоби определяется формулой

Многочлены Якоби (23) ортогональны на отрезке с весоми для любого многочленастепени меньшей

С помощью теоремы 3 получаем, что алгебраический порядок точности квадратурной формулы (22) равен .

Квадратурная формула (22) содержит два параметра и, из нее могут быть получены специализированные квадратурные формулы, соответствующие распространенным видам степенных особенностей (см.[3]). В справочниках приведены квадратурные формулы Гаусса с другими весами.

1.7. Локально-интерполяционные (составные) квадратурные формулы

Для повышения точности квадратурных формул используют прием, идея которого восходит к римановым интегральным суммам. Отрезок интегрирования разбивают на некоторое число частичных отрезков, на каждом из которых применяют квадратурную формулу с небольшим числом узлов. В качестве параметра квадратурного процесса теперь используют число частичных отрезков.

Разобьем отрезок начастичных отрезков точками. Для вычисления интеграла на каждом частичном отрезкеприменим интерполяционную квадратурную формулу сузламии

коэффициентами . Получим квадратурную формулу

Пусть и, тогда для погрешности квадратурной формулы (24) имеет место оценка

Квадратурная формула (24) называется локально-интерполяционнойилисоставной.

Наиболее часто формула (24) используется в случае, когда отрезок разбит на частичные отрезки равной длиныи на каждом частичном отрезке используется квадратурная формула Ньютона-Котеса сузлами. Из (24) получаем при,илокально-интерполяционную квадратурную формулу

где

Сумма абсолютных величин коэффициентов формулы (26)

не зависит от числа частичных отрезков .

Оценка погрешности квадратурной формулы (25) имеет вид

Из теоремы 2 и (27) следует, что квадратурный процесс, порожденный локально-интерполяционной квадратурной формулой (25), является сходящимся при (со скоростьюна функциях из класса).

Приведем простейшие составные квадратурные формулы, часто применяемые в практике.