Варианты заданий

№ варианта				№ варианта
1		0	1	21			0,1
2		0	1	22			0,2
3		0	1	23			0,3
4		1	2	24			0,4
5		0		25			0,5
6		1	2	26			0,6
7		0	1	27			0,7
8		0		28			0,8
9		0		29			0,9
10		0		30			1,0

№ варианта				№ варианта
11		0		31			0,1
12		0		32			0,2
13		0	1	33			0,3
14		0	1	34			0,4
15		0	1	35			0,5
16		0	1	36			0,6
17		2	3	37			0,7
18		2	3	38			0,8
19		2	3	39			0,9
20		1	2	40			1,0

Приложение. Для выполнения задания можно использовать следующие процедуры (на языке Паскаль):

1. Процедура simps, реализующая алгоритм правила Симпсона (парабол):

Procedure simps(a,b:real; var n:longint; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции.}

var

i :longint;

h,x :real;

begin

h:=(b-a)/n; y:=0; x:=a;

for i:=1 to n do

begin y:=y+f(x)+4*f(x+0.5*h)+f(x+h); x:=x+h end;

y:=y*h/6

end;

2. Процедура gauss, реализующая алгоритм составной формулы Гаусса с пятью узлами:

Procedure gauss(a,b:real; var n:word; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f – имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции;

vec – одномерный массив (type vec=array[1..5]of real).}

var

i,j :word;

h,x,x1 :real;

ag,xg :vec;

z :real;

begin

ag[1]:=0.2369268850; xg[1]:=-0.9061798459;

ag[2]:=0.4786286705; xg[2]:=-0.5384693101;

ag[3]:=0.5688888889; xg[3]:=0.0;

ag[4]:=ag[2]; xg[4]:=-xg[2];

ag[5]:=ag[1]; xg[5]:=-xg[1];

h:=(b-a)/n; z:=0; x1:=a+0.5*h;

for j:=1 to n do

begin

for i:=1 to 5 do

begin x:=x1+0.5*h*xg[I]; z:=z+ag[i]*f(x); end;

x1:=x1+h

end;

y:=z*0.5*h

end;

II. Численное дифференцирование

2.1. Постановка задачи. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа

Пусть на отрезке R определена достаточно гладкая функция и требуется вычислить в точкеее производную. Если функциязадана таблично или имеет сложное аналитическое выражение, то непосредственное дифференцирование невозможно. Поэтому строят приближенные формулы численного дифференцирования.

Один из универсальных способов конструирования формул численного дифференцирования состоит в том, что по функции и узламстроят интерполяционный многочлен Лагранжа (6)и полагают

Разность

называется погрешностью формулы численного дифференцирования (33).

Для получения оценок погрешности формулы (33) для заданного существования производной недостаточно. Обычно требуется выполнение условия,.

Замечание 9. Для конструирования формул численного дифференцирования можно также использовать интерполяционные сплайны. В вычислительной практике для вычисленияиобычно используют интерполяционный естественный кубический сплайн:

Приведем простейшие формулы численного дифференцирования.

1)

Если , то

2)

Если , то

3)

Если , то

Представления погрешности (34) формулы численного дифференцирования (33), выражаемые через производные функции , удается найти только в частных случаях. Общая оценка погрешности формулы (33) определяется следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть ,.Тогда существуют такие константы , зависящие только оти независящие от шагаи функции, что

где - интерполяционный многочлен Лагранжа(6) и .

Замечание 10.Оценка (35) с постояннымисильно завышена и редко используется на практике. Однако оценка (35) полезна тем, что она устанавливает скорость убывания погрешности относительно шагана всем отрезкепри фиксированных значениях параметров(). Шагявляется основным параметром, которым распоряжается вычислитель.