1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс

Выберем на отрезке точки.Формула численного интегрирования

называется квадратурной. Величины R,называютсякоэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы; - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы

Разность

называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).

Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах , еслидля. Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , еслидля любой функции, где- пространство многочленов степени не выше.

Квадратурная формула (2) содержит параметров:и. Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты, то получимквадратурный процесс:

Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции погрешность квадратурной формулыпри. Это означает, что последовательность функционалов погрешностисходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).

Замечание 1. ,,являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на:

, ,.

Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при.

Из теоремы Банаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:

Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) придля любой функции, где- множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в;

2) существует константа такая, чтодля всехN.

1.3. Интерполяционная квадратурная формула

Пусть заданы узлы квадратурной формулы (2). По подинтегральной функциии узлампостроим интерполяционный многочлен Лагранжа

где ,.

Положив

получим интерполяционную квадратурную формулу

где

Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8).

Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной функции.

Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах степени , если. Очевидно, что если квадратурная формула (2) сузлами имеет алгебраический порядок точности не ниже ,то она является интерполяционной.

Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид

где - погрешность интерполяции.

Если , то

и, следовательно,

Часто оценку (9) заменяют более грубой

Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов :, необходимо и достаточно, чтобы для любогоN.

Действительно, для всякого многочлена степени имеем прии, следовательно,придля любой функции, где- пространство многочленов, всюду плотное в. Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1.