Розв’язок:
Поляризуємість
атома визначається його електронною
оболонкою. Будемо моделювати властивості
оболонки провідною сферою радіуса
.
Внесемо
провідну сферу в однорідне зовнішнє
поле
.
Знайдемо потенціали
і
поля зсередини і зовні сфери. Приймемо
до уваги, що розподіл зарядів на поверхні
сфери є вісе-симетричним, внаслідок
чого потенціали є функціями відстані
від центра сфери до довільної точки і
кута
між відповідним радіусом-вектором і
вектором
:
,
.
Потенціали
і
задовольняють
рівнянням Лапласа:
,
,
і граничним умовам:
,
(39)
.
(40)
Враховано,
що в рівновазі потенціал провідної
сфери повинен бути однаковим в різних
точках. Потенціали
і
,
як розв’язки
рівнянь Лапласа, мають структуру:
,
де
- поліноми Лежандра,
,
,
…
З умови
обмеженості потенціалів при
і
,
випливає, що
,
.
Враховуючи
постійність потенціала
на поверхні сфери, знаходимо, що відмінними
від нуля є тільки
,
і
,
причому
=
і
.
Таким чином,
,
.
Оскільки
далеко від сфери потенціал поля повинен
співпадати з потенціалом
зовнішнього поля, то константу
треба
прирівняти нулю. Доданок до потенціалу
зовнішнього поля на великих відстанях
від сфери:
співпадає з потенціалом диполя, дипольний момент якого дорівнює:
.
(41)
Таким
чином, поляризуємість
провідної сфери дорівнює
.
Такою ж повинна бути і оцінка поляризуємості
молекули:
.
Задача 6: Оцінити поляризуємість гантелеподібних молекул.
Розв’язок:
Гантелеподібну
молекулу можна моделювати парою провідних
сфер, центри яких знаходять на відстані
,
де
.
В цьому випадку перебіг зарядів з однієї
сфери на другу стає неможливим і ми
можемо скористатись результатами,
отриманими в Задачі
1.
Поздовжня складова поляризуємості гантелеподібної молекули може бути оціненою за допомогою формули (7):
.
(42)
Аналогічно з (11) випливає, що поперечна складова її поляризуємості апроксимується формулою:
.
(43)
Зростання
поздовжньої поляризуємості гантелеподібної
молекули на величину
у порівняні з сумою поляризуємостей
її ізольованих складових, з якісної
точки зори просто пояснюється характером
взаємного впливу. В цьому випадку
ефективна напруженість поля, в якому
знаходиться кожна зі сфер є більшою за
напруженість зовнішнього поля. Навпаки,
відповідне ефективне поле у випадку,
коли вісь молекули є перпендикулярною
до напруженості зовнішнього поля, є
меншим від
.
Задача 7: Опишіть структуру тензора діелектричної проникненості нематичного рідкого кристалу.