Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (7)Властивості рівнянь Максвела

електричного і магнітного полів

Побудуємо спочатку граничні умови для тангенціальних складових напруженості магнітного поля. З цією метою потрібно звернутись до інтегрального закону (див. (6.21))

і застосувати його до спеціальним чином підібраних контуру і натягнутої на нього поверхні . Додатково врахуємо, що якщо поверхня перетинається з поверхнею розділу, то крім об’ємного току зарядів через поверхню потрібно також враховувати внесок поверхневого току. Узагальнений закон циркуляції напруженості магнітного поля набуває вигляду:

, (7.9)

де є одиничний вектор, який лежить у площині, дотичній до поверхні розділу, і є нормальним до в кожній точці їх перетину, є лінія перетину з поверхнею розділу.

Простоти ради, візьмемо контур у вигляді плоского чотирикутника, дві протилежні сторони якого, і ,є паралельними поверхні розділу, а дві інші сторони, і , – перпендикулярні до неї (Рис.7.4). Нумерація вершин відповідає позитивному обходу контуру . Нехай співпадає з плоскою поверхнею чотирикутника . Орієнтація визначається узгоджено з позитивним напрямком обходу контуру за правилом буравчика. Будемо вважати, що розміри сторін чотирикутника і є набагато меншими від радіусів кривизни поверхні розділу і характерних масштабів, на яких змінюються і , а також . При виконанні цих умов інтегральне рівняння (6.21) можна переписати у вигляді наближеної суми:

. (7.10)

Тут позначає внесок у циркуляцію напруженості магнітного поля, який відповідає боковим сторонам і , а також враховується, що . Знак мінус в першому доданку зліва виникає внаслідок того, що і є протилежно направленими. Для отримання умови зшивки і на поверхні розділу виконаємо в (7.10) граничний перехід . Оскільки напруженості магнітного поля з обох боків поверхні розділу є скінченими величинами, то , і (7.10) породжує наступну граничну умову:

або . (7.11)

Ми бачимо, що тангенціальна складова вектора напруженості магнітного поля є розривною на поверхні розділу, а величина стрибка є пропорційною густині поверхневого току.

Нехай позначає одиничний вектор, дотичний до поверхні розділу і направлений вздовж вектора . Згідно побудови,

, (7.12)

де є одиничний вектор, нормальний до поверхні розділу . За допомогою цих векторів, формулі (7.11) можна надати більш загального вигляду:

. (7.13)

Оскільки з (7.12) випливає, що

,

то

. (7.14)

Тут на другому кроці зроблена циклічна перестановка векторів. Приймаючи до уваги, що , і комбінуючи (7.11) і (7.14), знаходимо:

. (7.15)

Вектори як і густина поверхневого току , лежать в площині, дотичній до поверхні розділу.

Гранична умова для тангенціальних складових вектора напруженості магнітного поля будується аналогічно. З інтегрального рівняння (6.21) випливає, що

. (7.16)

Тобто, тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля на поверхні розділу є неперервними. У векторному вигляді формула (7.16) є подібною до (7.15):

. (7.17)

в) Граничні умови в локальній ДСК

Для конкретного використання граничних умов (7.5), (7.7), (7.11) і (7.16) дуже часто бажано звертатись до локальної декартової системи координат (), вісь якої направляється вздовж орта локальної нормалі , а осі і лежать у дотичній площині і направлені довільним чином. Таким чином індекс , який фігурує у формулах (7.11) і (7.16), буде приймати два незалежних значення: . Граничні умови в локальній ДСК приймають наступний вигляд:

(7.18)

Дамо коротке пояснення знаку мінус перед в третій строчці формули (7.18). Якщо , то відповідний вектор дорівнює: , де і є орти локальної ДСК. Тоді, (тут одна і та ж літера позначає і густину поверхневого току і один з ортів ДСК. Не плутати!).

Якщо поверхня розділу є фрагментом сферичної або циліндричної поверхонь, то формули (7.18) змінюються наступним чином:

(7.19)

і

(7.20)

Деталі побудови формул (7.19) і (7.20) будуть розглянуті в методичному посібнику (Глава ).

г) Граничні умови в електростатиці і магнітостатиці

В електростатиці граничні умови можна представити як у стандартному вигляді (див. (7.5) і (7.11)):

(7.21)

так і у модифікованій формі, в якій фігурує потенціал електростатичного поля . Оскільки , то

і першому з рівнянь (7.21) можна надати вигляд:

. (7.22)

Друге з рівнянь (7.21) представляється аналогічним чином:

. (7.23)

Але рівняння (7.23), звичайно, заміняють більш простою граничною умовою неперервності потенціалу на границі розділу:

. (7.24)

Цю умову неважко виправдати наступним міркуванням. Розглянемо роботу по переміщенню одиничного позитивного заряду з деякої точки, близької до поверхні розділу в підобласті , в симетрично розташовану точку в підобласті (тобто, заряд переходить з одного боку поверхні розділу на другий бік). Робота по переміщенню заряду визначається різницею потенціалів між цими точками: або інтегралом . Оскільки напруженості електричного поля в під- областях і є скінченими, то робота . Якщо вихідна і кінцева точки наближуються до поверхні розділу, то . Як наслідок, , що є повністю еквівалентним (7.24).

В задачах магнітостатики теж є дві можливості: можна розшукувати напруженість магнітного поля або його векторний потенціал. В першому випадку граничні умови безпосередньо даються формулами (7.7) і (7.11):

В другому випадку неперервність нормальної складової вектора напруженості магнітного поля замінюється неперервністю векторного потенціалу. Таким чином, граничні умови набувають вигляду:

. (7.25)

Врахуємо, що . Тоді, друге з рівнянь (7.25) переходить у

. (7.26)

д) Граничні умови для магнітного потенціалу

У згоді з означенням магнітного потенціалу, нормальні і тангенціальні складові напруженості магнітного поля поблизу поверхні розділу мають вигляд:

,

де похідні обчислюються за стандартним правилом: . Підставляючи значення похідних у формули (7.7) і (7.11) знаходимо наступні граничні умови:

. (5.27)

Їх можна переписати також у більш простій формі (неперервність нормальної похідної тягне за собою і неперервність «магнітного потенціалу також»):

. (5.28)

Порівнюючи їх з граничними умовами для електростатичного потенціалу

,

бачимо і елементи подібності (неперервність потенціалу), і суттєву відміну (нормальна похідна замінюється на тангенціальну, густина заряду – на густину току).

е) Додаткові граничні умови

Цей тип граничних умов відноситься до поведінки потенціалів електричного і магнітного полів, а також їх напруженостей на початку координат і на нескінченості. Зрозуміло, що якщо на початку координат відсутні точковий заряд і елемент лінійного току, то характеристики електричного і магнітного полів повинні бути обмеженими:

, при . (5.29)

Так само, якщо заряди і токи, зокрема лінійні, розташовані компактно, тобто в обмеженій області простору, то на нескінченості їх вплив повинен прямувати до нуля. У зв’язку з цим, за звичай, покладається:

, при . (5.30)

Зокрема, заряджена нескінченна нитка чи площина є прикладами некомпактного розподілу зарядів. Теж саме є справедливим для токів, які прямують до нескінченості.

Якщо в області є присутнім точковий заряд (в точці ), то потенціал електричного поля бажано представляти у вигляді:

,

де є обмежена складова потенціалу, яка повинна задовольняти вказаним вище властивостям.

Така ж сама процедура повинна застосовуватись при наявності лінійних токів.

перпендикулярен поверхностям ;

Но d<<L, L – лабораторный масштаб, ~ 10^-8 см.L ~ 1 см

в4) Граничные условия для :

Связь между тангенциальными составляющими вектора напряженности электрического поля с одной и другой стороны границы раздела устанавливается с помощью закона электромагнитной индукции Фарадея способом, полностью аналогичным использованному в разделе в3):

.

Векторный аналог этой формулы очевиден:

г) Таким образом, мы приходим к следующей совокупности граничных условий:

Обратим внимание, что в окрестности каждой точки границы раздела нормальные составляющие векторов напряженности электрического и магнитного полей определены однозначно, в то время как направление тангенциального вектора не фиксировано. Однако,

произвольный вектор всегда может рассматриваться как линейная комбинация двух фиксированных взаимно перпендикулярных векторов. Это значит, каждое из уравнений для тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей

фактически эквивалентно двум независимым уравнениям.

д) Граничные условия в локальной декартовой системе координат, ось которой направлена перпендикулярно поверхности раздела, а оси и лежат в касательной плоскости:

Как и должно быть, для шести компонент () векторов напряженности электрического и магнитного полей задано шесть граничных условий.

к) Дополнительные условия:

1. Если заряды и токи сосредоточены в ограниченной области пространства, можно положить: и - условия градуировки.

2. Если в некоторой точке отсутствуют точечные заряды и через точку не протекает линейный ток, то и ограничены.