Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / (6)Узагальнення Максвела. Рівняння Максвела

6. Узагальнення Максвела. Рівняння Максвела

Основна мета цього розділу – це побудова рівнянь Максвела, які є основою опису динаміки електромагнітного поля. З математичної точки зору це є система лінійних диференціальних рівнянь в часткових похідних для напруженостей електричного і магнітного полів.

а) Структура рівнянь Максвела

Електромагнітне поле повністю описується двома векторними полями: і , які є напруженостями електричного і магнітного полів. Згідно вимог векторного аналізу (див. Розділ 1), для опису кожного з них потрібно задати міри їх розбіжності і завихреності, тобто повна система рівнянь електромагнітного поля в області повинна мати структуру:

(6.1)

Явний вигляд густин скалярних і векторних джерел , и , електричного і магнітного полів потрібно визначити на основі встановлених експериментально законів і принципів електродинаміки. Ця проблема була повністю вирішена Джеймсом Максвелом в 60-х – 70-х роках дев’ятнадцятого сторіччя.

б) Скалярні і векторні джерела електромагнітного поля

Виходячи з того, що векторні лінії електричного і магнітного полів можуть починатись або закінчуватись тільки на зарядах і монополях, Максвел постулює, що густини і в загальному випадку повинні зберігати той самий вигляд, який вони мали в електростатиці і магнітостатиці (див. (5.5) і (5.12)):

. (6.2)

Це не є тривіальне узагальнення, яке коректно переходить у статичні поля. Зокрема, таким чином стверджується, що магнітні монополі не виникають ні як статичні, ні як динамічні утворення в швидкоплинних електромагнітних полях.

Для знаходження векторного джерела Максвел звертається до закону електромагнітної індукції, відкритому і детально дослідженому експериментально Фарадеєм в 30-х -40-х роках дев’ятнадцятого сторіччя. Він приводить його до інтегрального рівняння (див. (3.20)):

, (6.3)

і саме на його основі встановлює значення . Виконаємо необхідні перетворення лівої і правої частин рівняння (6.3). За допомогою теореми Стокса (див. ()), відкритої всього за кілька років перед роботами Максвела його вчителем по Кембріджському університету Стоксом, ліва частина рівняння (6.3) переписується у вигляді:

. (6.4)

Символ повної похідної за часом в правій частині (6.3) вноситься під знак інтегралу, де він переходить у символ часткової похідної:

. (6.5)

У такий спосіб враховується, що змінна , по якій відбувається інтегрування, повинна розглядатися як постійна величина при диференціюванні напруженості магнітного поля за часом. Комбінуючи (6.3) –(6.5), Максвел приходить до інтегрального рівняння:

.

Оскільки воно виконується при довільному виборі поверхні інтегрування, то занулювання інтегралу можливе лише при виконанні рівняння:

, (6.6)

що є еквівалентним

. (6.7)

Інтегральний аналог (6.6), звичайно, записується у вигляді:

. (6.8)

В граничному випадку статичного поля рівняння (6.7) і (6.8) спрощуються:

, ,

і повністю співпадають з рівняннями електростатики (5.6) і (5.8).

Диференціальне рівняння (6.7) повністю погоджується з принципами суперпозиції (воно є лінійним) і локальності (ліва і права його частини беруться при одних і тих же значеннях координат і часу) і завдяки цьому біло прийнято Максвелом в якості одного із рівнянь електродинаміки.

Метод знаходження Максвелом густини векторного джерела є одним із шедеврів світової науки. Саме тому ми присвятимо йому окремий підрозділ.

в) Тік зміщення Максвела

В розділі 5 (див. (5.18) і (5.20)) було показано, що завихреність магнітостатичного поля описується рівняннями:

, (6.9)

, (6.10)

в яких густина току обумовлена рухом зарядів. Розшукуючи шляхи узагальнення рівнянь (6.9) і (6.10), Максвел звертає увагу на утруднення, що виникає при їх застосуванні до електричного кола, яке складається з елементу живлення, конденсатора і з’єднуючого дроту. Якщо елемент живлення є постійним, струм в електричному колі є відсутнім і магнітне поле не виникає. Але на обкладинках конденсатору накопичується заряд, який створює між ними електричне поле.

Ситуація змінюється, коли замість постійного елементу живлення береться генератор змінного струму. В цьому випадку конденсатор не розриває електричне коло і в ньому тече струм. Давайте візьмемо два замкнутих контури і так, щоб вони лежали у площинах, паралельних обкладинкам конденсатору, причому знаходиться зовні конденсатора, а - зсередини. Для зовнішнього контуру, який охоплює дріт зі струмом, (6.10) переходить у формулу Біо-Савара (5.21):

. (6.11)

Бачимо, що циркуляція вектору напруженості вздовж контура є відмінною від нуля. В той же час для контуру

, (6.12)

оскільки він не охоплює дріт з током. З фізичної точки зору така ситуація є неприпустимою. Дійсно, будемо наближувати контури і один до одного. В граничному випадку стрибок циркуляції напруженості магнітного поля від значення до буде відбуватись на нескінченно малій відстані між контурами. Тобто, буде порушуватись неперервність однієї з важливих характеристик магнітного поля.

Для усунення такого небажаного ефекту Максвел робить припущення, що змінне електричне поле, яке виникає між обкладинками конденсатора, породжує магнітне поле так само, як і рух зарядів. У зв’язку з цим він постулює, що

, (6.13)

де відмінна від нуля складова напруженості електричного поля, яка є перпендикулярною до обкладинок конденсатора. Для знаходження коефіцієнту пропорційності врахуємо, що закон Гауса-Остроградського приводить до наступного значення напруженості електричного поля: , де - заряд однієї з обкладинок конденсатора, а - поверхнева густина заряду (). Звідси випливає, що

,

оскільки . Порівнюючи цей результат з (6.13), знаходимо, що . Коефіцієнт пропорційності між струмом та площиною обкладинок конденсатора

, (6.14)

має смисл густини току, магнітна дія якого є еквівалентною дії струму в дротах. Величина була названа Максвелом густиною току зміщення. Завдяки току зміщення забезпечується неперервність циркуляції магнітного поля як у розглянутому випадку з конденсатором, так і у всіх інших випадках.

В більш загальному випадку густина току зміщення, очевидно, має вигляд:

. (6.15)

Магнітна дія току зміщення є адитивною по відношенню до току зарядів, тому рівняння (6.9) і (6.10) підлягають простому узагальненню:

, (6.16)

. (6.17)

Таким чином, густина векторних джерел магнітного поля дорівнює

. (6.18)

г) Рівняння Максвела

Підставляючи в (6.1) значення густин скалярних і векторних джерел, які задаються формулами (6.2), (6.5) і (6.18), знаходимо наступну систему диференціальних рівнянь для напруженостей електричного і магнітного полів:

(6.19)

Це і є система знаменитих рівнянь Максвела електромагнітного поля.

д) Інтегральні рівняння електродинаміки

Візьмемо довільний об’єм , обмежений орієнтованою поверхнею . Про інтегруємо ліву і праву частини першого і третього рівнянь Максвела по об’єму . Ліві інтеграли перетворимо за допомогою теореми Гауса-Остроградського у поверхневі інтеграли. У такий спосіб знаходимо:

(6.20)

Так само, візьмемо довільний орієнтований замкнутий контур , на який спирається довільна орієнтована поверхня . Напрямки обходу контуру і орієнтації поверхні узгоджені за правилом «буравчика» або «штопора». Про інтегруємо ліву і праву частини другого і третього рівнянь Максвела по поверхні . За допомогою теореми Стокса ліві інтеграли перетворимо у циркуляційні інтеграли. Як наслідок, інтегральні аналоги вказаних рівнянь матимуть наступний вигляд:

(6.21)

Рівняння (6.20) і (6.21) утворюють систему інтегральних рівнянь електродинаміки. Окремі рівняння наводились і вище, але там вони не вписувались в чітку систематику.

е) Історична довідка

Сам Максвел свої рівняння у вигляді (6.19) ніколи не бачив. В ті роки, коли Максвел розбудовував електродинаміку, векторний і тензорний аналізи ще тільки формувалися і не мали широкого вжитку. Певну завершеність вони отримали тільки після робіт Джозайя Гіббса і Генріха Герца. У сучасній формі (6.19) вони були записані Генріком Лоренцем наприкінці 19-го сторіччя. Джеймс Максвел і Майкл Фарадей – основні творці електродинаміки – не дожили до її тріумфальних успіхів. Але саме вони заклали фундамент тих знань, на якому була проведена електрифікація всього світу, на яких виникли радіо і телебачення, а пізніше були побудовані комп’ютери. Їх внесок у зміну мислення і життя всього суспільства не можна переоцінити. Їх людська доля в чомусь нагадує долю Мойсея, який довгих 40 років водив євреїв по пустелях і довів таки їх до Землі Заповіту, але сам він так і не ступив на неї. Господь дозволив йому тільки подивитись на Землю Заповіту з вершини гори Нево.

Более определенно, называя эффективный ток , обусловленный изменениями электрического поля, током смещения, Максвелл постулировал, что

.

Отсюда следует, что объемная плотность токов смещения удовлетворяет уравнению:

.

1. Теорема Гаусса: .

- вклад точечных зарядов, попадающих внутрь . Плотность распределения точечных зарядов может быть описана с помощью дельта-функции Дирака согласно формуле:

.

Тогда, всегда можно писать

.

4. Закон Био-Савара-Лапласа-Максвелла: .

Вклад линейных токов также может быть переписанным в виде , если воспользоваться дельта-функцией Дирака:

,

где - радиус-вектор произвольной точки на к-ом проводнике и - единичный вектор, касательный к тому же проводнику в точке .