
Для студентов / Лекции / (2)ВЕД / Эквипотенциальные поверхности вблизи особых точек
.docЭквипотенциальные поверхности двух зарядов вблизи особых точек
-
Заряды
,
, находятся в точках
и
. Описать их эквипотенциальные поверхности.
Решение. Нетрудно видеть, что точка
является особой. Это единственная точка,
в которой напряженность электрического
поля
,
так что на произвольный заряд, помещенный
в эту точку, действующая сила будет
равна нулю .
Рассмотрим потенциал поля в ближайшей
окрестности этой точки:
.
Эквипотенциальные поверхности описываются
уравнениями:
(1)
Фактически, достаточно описать форму
эквипотенциальных линий в плоскости
.
Они описываются уравнением:
.
(2)
Эквипотенциальной поверхности (1) образуются вращением эквипотенциальных линий (2) вокруг оси х-ов.
При
уравнение (2) упрощается и принимает
вид:
.
(3)
Значение потенциала в самой точке
равно
.
Поэтому целесообразно представить:
.
Тогда уравнение (3) естественно
представляется в виде:
,
если
,
и (4)
,
если
.
Здесь:
,
.
Уравнениями (4) описываются гиперболы,
имеющие асимптоты:
.
(5)
Области между асимптотами, расположенные
справа и слева от оси ординат, соответствуют
значениям
,
а расположенные выше и ниже оси абсцисс
-
.
-
Заряды
находятся в точках
и
. Описать их эквипотенциальные поверхности окрестности эквипотенциальной плоскости
.
Решение. Эквипотенциальные линии
в окрестности прямой
описываются уравнением:
.
(6)
Нетрудно видеть, что в полуплоскости
постоянная
должна быть отрицательна:
,
,
т.е.
.
(7)
При
формула (7) может быть упрощена путем
разложения в ряд по степеням
:
.
Отсюда следует, что
.
(6)
Область применимости формулы (6) определяется неравенствами:
.
(7)
Как и должно быть, производная функции
в
точке
обращается в бесконечность.
Эквипотенциальные линии в области
(
)
могут быть получены путем зеркального
отражения линий, описываемых уравнением
(6), относительно линии
.