2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет вычислить вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли заключено между m₁ и m₂ (при )

,

где ,.

Неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Для его вычисления используются таблицы функций Лапласа

.

Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле

Приближенными формулами Лапласа пользуются в случае, если . Если жеnpq < 10, то эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

Задание 3. Пусть вероятность появления события A при одном испытании равна p = 0,37. Найти вероятность того, что при n = 100 испытаниях событие A появится от m₁ = 30 до m₂ = 45 раз.

Решение.

a. Сначала выполните задание, используя таблицу функции Лапласа.

1.

2.

Значения функций Лапласа выбираются из таблицы ЭУМК, контент, тема 12, приложение 2.

Введите исходные данные задания n = 100 , p = 0,37, q, m₁ = 30, m₂ = 45 и выполните вычисления ,как показано на рис. 19.

Рис. 19. Исходные данные с вычисленными значениями x₂ и x₁

По вычисленным значениям x₂ и x₁ найдите в таблице – контент, тема 12, приложение 2 значения функций Лапласа и. Внесите их в ячейки F55 и G55 как показано на рис. 20. В ячейке F57 вычислите вероятность

Рис. 20. В ячейке F57 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием таблиц функции Лапласа

b. Вычисление вероятности вExcel выполняется с использованием функции НОРМРАСП, что позволяет обойтись без таблиц функции Лапласа.

Функции Лапласа связана с функцией НОРМРАСП следующим соотношением

Поместите в ячейку F59 формулу , где, вычисленная ранееи находящаяся в ячейкеF53, как показано на рис. 21.

В ячейку G59 поместите формулу , в ячейкеG53 находится

В ячейку F60 поместите конечную формулу вычисления вероятности

Рис. 21. В ячейке F60 показан результат вычисления вероятности, полученный с использованием функцией НОРМРАСП

с. Этот же результат можно получить, используя функцию БИНОМРАСП, как показано на рис. 22.

Рис. 22. В ячейке F62 показан результат вычисления вероятности , полученный с использованием функции

БИНОМРАСП(x₂; n; p;1) – БИНОМРАСП(x₁; n; p;1)

Сравните все полученные результаты и сделайте выводы.