4. Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: _{где C-const ?}

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?

Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.

Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220

Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.

5. 1 Определение производной, дифференциала.

1. Определение. Производной первого порядка от функции _{по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или}

2. _{, где - угол наклона касательной к}

_{- уравнение касательной, проведённой в т.}

3. _{- скорость изменения функции в т. x0.}

4. Отыскание производной называется дифференцированием.

5. _{- дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.}

Геометрически dyпредставляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.

6. _{- дифференциал аргумента равен приращению аргумента.}

_{- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.}

7. _{- формула для приближённых вычислений.}

Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.

Элементарные функции	дифференциал	производная
1	2	3
1. Степенная функция
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x.
3.Тригонометрич. функции y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x
4. Показательная функция , a-число
5. Логарифмическая функция y=ln x
6. Иррациональная функция

1	2	3
7. Обратно тригонометричес- кие функции y=arcsinx y=arcos x y= arctg x y=arcctg x
8. y=c c-const	d(c)=0·dx

Основные правила дифференцирования.

Пусть С- постоянное, _{и - функции имеющие производные.}

_{Тогда :}

₁₎

₂₎

₃₎

₄₎

₅₎

₆₎

_{7) если , , т.е , где функции f (U) и U (x) имеют производные, то - правило дифференцирования сложной функции.}

2. Примеры решения задач.

Задача 1.Найти производные _{или следующих функций:}

_а)

_б)

_в)

_г)

Решение:

а) Пользуясь правилом логарифмиро­вания корня и дроби, преобразуем правую часть:

Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:

б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:

Теперь дифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменной х:

_откуда

в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разре­шено относительно функции у. Чтобы найти производ­ную у', следует дифференцировать по х обе части задан­ного уравнения, считая при этом у функцией от х, а за­тем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем

Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',

находим производную у':

откуда

г) Зависимость между переменными х и у задана па­раметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференци­алы dy и dx и затем берем отношение этих дифферен­циалов

Задача 2. Найти производную второго порядка

а)

б)

Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:

(1)

откуда

Снова дифференцируем по х обе части (1):

(2)

Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:

б) Зависимость между переменными x и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти произ­водную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и за­тем берем отношение этих дифференциалов:

Тогда

Производная второго порядка . Следователь­но, чтобы найти у", надо найти дифференциал dy':

_Тогда

Задача 3. Найти приближенное значение функции при исходя из ее точного зна­чения при

Решение: Известно, что дифференциал dy функ­ции представляет собой главную часть прира­щения этой функции .Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то приращение при­ближенно равно дифференциалу, т. е. . Так как , а то имеет место при­ближенное равенство:

Пусть , т. е.

Тогда

и

(1)

ли

Приближенное равенство (1) дает возможность найти значение функции при , если известно значение функции и ее производной при Прежде чем воспользоваться приближенным равен­ством ( 1 ) , находим числовое значение производной f'(x) при х= 6:

_или

_{Применяя (1), получаем}