
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
Вопросы для самопроверки.
Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.
Сформулируйте определение предела функции в точке.
Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке
и на бесконечности
Что означают выражения:
где C-const ?
Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).
Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x0 ?
Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220
Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.
5. 1 Определение производной, дифференциала.
1. Определение.
Производной первого порядка от функции
по аргументу x
называется предел отношения приращения
функции
к приращению аргумента
при условии, что
,
т.е.
или
2.
,
где -
угол наклона касательной к
-
уравнение касательной, проведённой в
т.
3.
-
скорость изменения функции в т. x0.
Отыскание производной называется дифференцированием.
- дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.
Геометрически dyпредставляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.
6.
-
дифференциал аргумента равен приращению
аргумента.
-
дифференциал функции и приращение
функции равны лишь приближённо.
7. -
формула для
приближённых
вычислений.
Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.
Элементарные функции |
дифференциал |
производная |
1 |
2 |
3 |
1.
Степенная функция
|
|
|
2.
Линейная функция
y=x. |
|
|
3.Тригонометрич. функции y=sin x
y=cos x
y=tg x
y=ctg x |
|
|
4. Показательная функция
|
|
|
5. Логарифмическая функция y=ln x |
|
|
6. Иррациональная функция |
|
|
1 |
2 |
3 |
7. Обратно тригонометричес- кие функции y=arcsinx
y=arcos x
y= arctg x
y=arcctg x |
|
|
8. y=c c-const |
d(c)=0·dx |
|
Основные правила дифференцирования.
Пусть С- постоянное,
и
-
функции имеющие производные.
Тогда :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
если ,
,
т.е
,
где функции f
(U) и U
(x) имеют
производные, то
-
правило дифференцирования сложной
функции.
Примеры решения задач.
Задача 1.Найти производные
или
следующих функций:
а)
б)
в)
г)
Решение:
а) Пользуясь правилом логарифмирования корня и дроби, преобразуем правую часть:
Применяя правила и формулы дифференцирования, получим:
б) Предварительно прологарифмируем по основанию е обе части равенства:
Теперь
дифференцируем обе части, считая
сложной
функцией от переменной х:
откуда
в) В данном случае зависимость между аргументом х и функцией у задана уравнением, которое не разрешено относительно функции у. Чтобы найти производную у', следует дифференцировать по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно искомой производной у'. Имеем
Из полученного равенства, связывающего х, у, и у',
находим производную у':
откуда
г) Зависимость между переменными х и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти искомую производную у', находим предварительно дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов
Задача
2.
Найти производную второго порядка
а)
б)
Решение: а) Функция у задана в неявном виде. Дифференцируем по х обе части заданного уравнения, считая при этом у функцией от х:
(1)
откуда
Снова дифференцируем по х обе части (1):
(2)
Заменив у' в (2) правой частью (1), получим:
б) Зависимость между переменными x и у задана параметрическими уравнениями. Чтобы найти производную у', находим сперва дифференциалы dy и dx и затем берем отношение этих дифференциалов:
Тогда
Производная
второго порядка
.
Следовательно,
чтобы найти у", надо
найти дифференциал dy':
Тогда
Задача
3.
Найти приближенное значение функции
при
исходя из ее точного значения при
Решение:
Известно, что дифференциал dy
функции
представляет собой главную часть
приращения этой функции
.Если приращение аргумента
мало
по абсолютной величине, то приращение
приближенно равно дифференциалу, т.
е.
.
Так как
,
а
то имеет место
приближенное равенство:
Пусть
,
т. е.
Тогда
и
(1)
Приближенное
равенство (1) дает возможность найти
значение функции при
, если известно значение функции и ее
производной при
Прежде чем воспользоваться приближенным
равенством ( 1 ) , находим числовое
значение производной f'(x)
при х=
6:
или
Применяя (1), получаем