Тема 4. Введение в анализ.

Пискунов, гл 1, § 1-9, упр 1-9, 39, 40

Гл 2, § 1-5, упр 1-6, 9-29, § 6-8,

Упр 31-35, 41-48, § 9, 10, упр 57-59

§ 11, упр 60-62.

1. Понятие предела.

Определение.Числоаназывается пределом функцииy=f(x) в т. _{если для любого сколько угодно малого наперёд заданного ε >0 найдётся такое δ>0 (δ=δ(ε)), что выполняется неравенство < при <}

Этот факт записывается так:

_{Если , то говорят, что функция имеет пределом число a на бесконечности (x→∞).}

_{Если , то функцию называют бесконечно большой величиной в окрестности т..}

_{Если , то f(x)- бесконечно большая величина на бесконечности (x→∞).}

_{Если , то - бесконечно малая функция (величина) в окрестности т. X0 .}

_{Если , то - бесконечно малая величина на бесконечности (x→∞).}

_{При вычислении пределов используются теоремы о пределах, а также 1-ый замечательный предел}

_{второй замечательный предел , а также формулы ,}

4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .

I. Если _{то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.}

1-ый способ.Разложить и числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократить на общий множитель.

_{Пример.}

_{Ответ: где 2- предельное значение аргумента, (-1) -}

_{предельное значение функции y.}

2-ой способ.Использовать правило Лопиталя, т.е использовать равенство:

Пример:

_{3-ий способ. Применить таблицу эквивалентности бесконечно малых.}

_{Таблица.}

_1.

2.

3.

4.

Пример:Найти

Решение.

II. Если _{то можно использовать три способа раскрытия этой неопределённости.}

1-ый способ.Использовать правило Лопиталя.

Пример.Найти

_{Решение:}

2-ой способ. Разделить все слагаемые числителя и все слагаемые знаменателя на старшую переменную дроби.

Пример.Найти _[-бесконечно малые величины]=

Ответ:

2. Первый и второй замечательные пределы.

1. _{- первый замечательный предел.}

Замечание. При x0sinx~x

Пример 1.

Найти

_{если заменить , т.к , то}

Заметим,что показатель степени обратен по величине второму слагаемому в основании.

Пример 2. _{представили основание в виде суммы 1 и некоторой бесконечно малой величины.}

Выполненные тождественные преобразования в показателе степени, позволяют выделить 2-ой замечательный предел. ( в квадратных скобках)

3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение 1.Функция _{называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:}

_{Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0 , если}

_{где соответственно приращение аргумента и приращение функции.}

Пример. Дана функция

Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти _и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

y

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е _{(ед). –скачок функции.}