ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
.docПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6
“МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
Построение уравнения регрессии
ЗАДАНИЕ 1
С помощью MS Excel провести автоматический анализ тренда на основе диаграммы экспериментальных данных Х и У (в конце лабораторной работы).
В MS Excel предлагается выбрать тренд из пяти типов аппроксимирующих линий.
|
Тип |
Описание |
|
1. Линейная |
Аппроксимирующая прямая: Y = bX + a, где b − тангенс угла наклона, а − точка пересечения прямой с осью Y |
|
2. Логарифмическая |
Логарифмическая аппроксимация: Y = b*ln(X) + a, где a и b − константы, ln − натуральный логарифм |
|
3. Полиномиальная |
Полиномиальная аппроксимация: Y = b1X6 + b2X5 + b3X4 + b4X3 + b5X2 + b6X + a, где bi, 1,2, … ,6, и а − константа. Максимальная степень полинома 6 |
|
4. Степенная |
Степенная аппроксимация: Y = b*Xa , где a и b − константы |
|
5. Экспоненциальная |
Экспоненциальная аппроксимация: Y = b*eaX, где a и b − константы, е − основание натурального логарифма. |
Порядок выполнения задания:
В MS Excel открыть новую книгу и на первом листе ввести данные (они в конце лабораторной работы) для X и Y (рис. 1.).
Построить диаграмму данных в виде точечного графика.
Активизировать диаграмму и выполнить команду Диаграмма | Добавить линию тренда … | окно Линия тренда | вкладка Параметры (флаг − показать уравнение на диаграмме; флаг − поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)).
Построить точечные графики для пяти видов зависимостей. Анализируя изменение коэффициента детерминации (R2) подобрать ту линию регрессии, при которой R2 будет максимальным. Обратить внимание на вид уравнения регрессии.
Р
ис.
1.
ЗАДАНИЕ 2
С помощью MS Excel провести регрессионный анализ данных своего варианта. Для чего:
-
провести расчет простого уравнения линейной регрессии;
-
проверить адекватность уравнения регрессии (модели) исходным данным;
-
проверить достоверность коэффициентов модели;
-
провести анализ остатков;
-
применить разработанную модель для прогнозирования.
Все задание размещается на одном рабочем листе. Разработанная модель должна быть наглядной, при изменении исходных данных должен осуществляться пересчет соответствующих величин и перестройка графиков.
П
римерный
вид модели изображен на рис. 2, 3, 4.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Формулы, используемые для построения линейной регрессионной модели
Вывод уравнения регрессии.
Х − независимая переменная,
Y − зависимая переменная,
k − количество определяемых коэффициентов уравнения,
n − =СЧЕТ(Х) − количество элементов в выборке,
МХ − =СРЗНАЧ(Х) − среднее арифметическое переменной Х,
МY − =СРЗНАЧ(Y) − среднее арифметическое переменной Y,
а − =ОТРЕЗОК(Y;X) − коэффициент а,
b − =НАКЛОН(Y;X) − коэффициент b,
Y^ = a + b*X − уравнение регрессии,
SS1 − =СУММ((Y^ − MY)2) − общая сумма квадратов регрессии,
SS2 − =СУММ((Y − Y^)2) − сумма квадратов остатков регрессии,
R2 = SS1 / (SS1 + SS2) − коэффициент детерминации,
Y − Y^ − остатки.
Проверка адекватности регрессионного уравнения
Fрас = (SS1*(n − k))/(SS2*(k − 1)) − расчетное значение критерия Фишера,
P =FРАСП(Fрас; k − 1; n − k) − вероятность значимости
Если P < 0,05 то модель значима и годится для использования
Если Р > 0,05 то модель не значима и данные отражает не корректно
Анализ остатков
Строится диаграмма Y − Y^ от X в виде гистограммы и графика на одной области построения. С этой целью на первом шаге мастера построения диаграммы нужно выбрать вкладку Нестандартные и выделить позицию График|гистограмма.
Среднее остатков =СРЗНАЧ(Y − Y^) − норма если 0,
Асимметрия =СКОС(Y − Y^) − норма если 0,
Эксцесс =ЭКСЦЕСС(Y − Y^) − норма если 0.
Прогнозирование
Yпрогноз = a + b* Хпрогноз
Экспериментальные данные:
|
|
Варианты |
||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
х |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
У |
|
0 |
2,50 |
2,92 |
2,35 |
3,30 |
2,58 |
-0,52 |
-1,79 |
0,14 |
0,94 |
|
0,1 |
2,89 |
3,33 |
2,24 |
2,70 |
2,27 |
-1,24 |
-0,57 |
-0,19 |
1,04 |
|
0,2 |
3,40 |
3,04 |
2,20 |
2,11 |
2,88 |
-1,34 |
-0,08 |
0,15 |
1,76 |
|
0,3 |
3,78 |
3,41 |
3,12 |
2,44 |
3,00 |
-1,04 |
0,31 |
0,44 |
2,15 |
|
0,4 |
4,20 |
4,38 |
3,00 |
2,36 |
3,19 |
-1,35 |
0,45 |
1,33 |
2,08 |
|
0,5 |
4,55 |
5,02 |
3,16 |
2,01 |
3,35 |
-1,01 |
1,18 |
1,80 |
2,30 |
|
0,6 |
5,27 |
4,86 |
2,48 |
2,37 |
3,46 |
-0,86 |
0,73 |
2,55 |
3,29 |
|
0,7 |
5,07 |
5,98 |
3,25 |
2,47 |
3,61 |
-0,46 |
2,18 |
2,30 |
3,60 |
|
0,8 |
5,45 |
6,23 |
3,25 |
1,98 |
2,85 |
-0,41 |
2,41 |
3,20 |
4,65 |
|
0,9 |
6,08 |
6,42 |
3,49 |
1,79 |
3,36 |
-0,37 |
2,62 |
3,54 |
4,97 |
|
1,0 |
6,22 |
7,76 |
3,24 |
2,75 |
3,07 |
-0,40 |
3,43 |
4,31 |
5,51 |
|
1,1 |
6,58 |
7,93 |
3,67 |
2,51 |
3,29 |
0,04 |
4,24 |
5,47 |
6,65 |
|
1,2 |
7,27 |
9,16 |
3,94 |
2,92 |
3,64 |
0,33 |
5,57 |
6,14 |
7,15 |
|
1,3 |
7,50 |
10,28 |
4,65 |
3,41 |
4,22 |
0,98 |
6,53 |
7,96 |
8,77 |
|
1,4 |
8,31 |
10,94 |
5,71 |
3,69 |
4,66 |
0,95 |
8,46 |
9,55 |
10,43 |
|
1,5 |
8,98 |
12,96 |
6,40 |
3,71 |
5,83 |
1,70 |
9,53 |
11,15 |
11,60 |
|
1,6 |
9,07 |
13,61 |
7,93 |
4,16 |
6,86 |
2,42 |
11,27 |
12,59 |
13,84 |
|
1,7 |
9,84 |
15,31 |
8,70 |
5,30 |
7,25 |
3,14 |
13,88 |
14,27 |
15,03 |
|
1,8 |
10,75 |
17,16 |
9,70 |
6,27 |
8,75 |
4,64 |
15,29 |
16,51 |
18,08 |
|
1,9 |
12,06 |
19,50 |
11,69 |
7,40 |
10,29 |
5,84 |
18,19 |
19,54 |
20,59 |
|
2,0 |
13,32 |
21,70 |
13,75 |
8,70 |
10,99 |
7,50 |
20,57 |
21,83 |
22,49 |
|
|
Варианты |
||||||||
|
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
х |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
У |
|
0 |
-0,91 |
0,56 |
0,35 |
5,54 |
2,58 |
3,07 |
3,00 |
3,77 |
-1,66 |
|
0,1 |
-0,96 |
0,52 |
0,64 |
3,31 |
2,27 |
4,03 |
4,18 |
3,83 |
-1,80 |
|
0,2 |
-1,64 |
1,77 |
1,34 |
3,83 |
2,88 |
3,52 |
3,82 |
4,80 |
-2,29 |
|
0,3 |
-1,03 |
1,77 |
0,87 |
4,46 |
3,00 |
3,80 |
5,36 |
5,25 |
-2,27 |
|
0,4 |
-0,74 |
2,23 |
1,26 |
3,63 |
3,19 |
3,74 |
4,18 |
5,34 |
-0,85 |
|
0,5 |
-0,43 |
2,96 |
1,81 |
3,91 |
3,35 |
3,84 |
4,71 |
4,49 |
-1,54 |
|
0,6 |
-0,54 |
2,75 |
1,75 |
4,82 |
3,46 |
5,73 |
4,90 |
4,78 |
-0,72 |
|
0,7 |
-0,37 |
2,72 |
2,10 |
4,92 |
3,61 |
5,97 |
5,43 |
4,85 |
-0,10 |
|
0,8 |
-0,25 |
3,47 |
2,01 |
4,58 |
2,85 |
4,50 |
6,02 |
5,27 |
-1,37 |
|
0,9 |
0,19 |
3,95 |
3,15 |
5,19 |
3,36 |
5,05 |
5,23 |
5,17 |
0,33 |
|
1,0 |
-0,01 |
3,80 |
3,31 |
5,32 |
3,07 |
5,18 |
5,39 |
6,27 |
0,68 |
|
1,1 |
-0,12 |
3,64 |
4,50 |
5,54 |
3,29 |
6,66 |
5,04 |
6,70 |
0,03 |
|
1,2 |
0,79 |
4,35 |
4,63 |
6,38 |
3,64 |
6,82 |
6,50 |
6,36 |
1,04 |
|
1,3 |
1,44 |
4,53 |
5,72 |
7,26 |
4,22 |
8,28 |
6,43 |
7,79 |
1,97 |
|
1,4 |
1,74 |
4,66 |
6,71 |
7,98 |
4,66 |
7,48 |
7,38 |
8,72 |
3,54 |
|
1,5 |
2,35 |
4,62 |
8,24 |
8,55 |
5,83 |
10,08 |
8,18 |
9,89 |
3,58 |
|
1,6 |
3,92 |
4,87 |
9,44 |
10,11 |
6,86 |
10,68 |
9,93 |
11,68 |
5,93 |
|
1,7 |
4,72 |
5,50 |
10,70 |
11,07 |
7,25 |
11,67 |
10,51 |
11,52 |
6,48 |
|
1,8 |
6,55 |
5,94 |
12,25 |
12,62 |
8,75 |
12,91 |
11,58 |
13,82 |
8,82 |
|
1,9 |
7,71 |
6,02 |
14,38 |
13,70 |
10,29 |
14,98 |
12,74 |
16,15 |
9,06 |
|
2,0 |
9,73 |
|
16,38 |
15,41 |
10,99 |
16,64 |
13,74 |
17,49 |
12,35 |
|
|
Варианты |
||||||||
|
|
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
|
х |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
У |
|
0 |
-0,46 |
0,06 |
0,08 |
3,30 |
0,35 |
0,56 |
0,94 |
2,58 |
3,30 |
|
0,1 |
-1,21 |
0,20 |
1,03 |
4,05 |
0,64 |
0,52 |
1,04 |
2,27 |
2,70 |
|
0,2 |
-0,20 |
0,18 |
1,33 |
3,94 |
1,34 |
1,77 |
1,76 |
2,88 |
2,11 |
|
0,3 |
0,07 |
1,09 |
-0,07 |
3,35 |
0,87 |
1,77 |
2,15 |
3,00 |
2,44 |
|
0,4 |
0,11 |
0,51 |
-0,10 |
5,16 |
1,26 |
2,23 |
2,08 |
3,19 |
2,36 |
|
0,5 |
0,48 |
0,50 |
1,43 |
4,97 |
1,81 |
2,96 |
2,30 |
3,35 |
2,01 |
|
0,6 |
1,34 |
1,70 |
0,75 |
4,82 |
1,75 |
2,75 |
3,29 |
3,46 |
2,37 |
|
0,7 |
1,08 |
1,67 |
1,78 |
4,34 |
2,10 |
2,72 |
3,60 |
3,61 |
2,47 |
|
0,8 |
2,23 |
0,33 |
1,84 |
4,56 |
2,01 |
3,47 |
4,65 |
2,85 |
1,98 |
|
0,9 |
2,48 |
1,95 |
1,33 |
6,01 |
3,15 |
3,95 |
4,97 |
3,36 |
1,79 |
|
1,0 |
2,98 |
1,31 |
1,67 |
5,54 |
3,31 |
3,80 |
5,51 |
3,07 |
2,75 |
|
1,1 |
3,53 |
2,72 |
2,17 |
6,13 |
4,50 |
3,64 |
6,65 |
3,29 |
2,51 |
|
1,2 |
4,30 |
2,31 |
2,93 |
7,16 |
4,63 |
4,35 |
7,15 |
3,64 |
2,92 |
|
1,3 |
5,47 |
3,98 |
3,77 |
8,55 |
5,72 |
4,53 |
8,77 |
4,22 |
3,41 |
|
1,4 |
6,11 |
4,54 |
4,64 |
8,51 |
6,71 |
4,66 |
10,43 |
4,66 |
3,69 |
|
1,5 |
7,28 |
4,82 |
5,74 |
9,10 |
8,24 |
4,62 |
11,60 |
5,83 |
3,71 |
|
1,6 |
8,75 |
7,80 |
7,55 |
11,75 |
9,44 |
4,87 |
13,84 |
6,86 |
4,16 |
|
1,7 |
9,91 |
8,64 |
10,19 |
13,54 |
10,70 |
5,50 |
15,03 |
7,25 |
5,30 |
|
1,8 |
11,60 |
9,50 |
11,27 |
15,41 |
12,25 |
5,94 |
18,08 |
8,75 |
6,27 |
|
1,9 |
12,97 |
10,94 |
11,89 |
15,63 |
14,38 |
6,02 |
20,59 |
10,29 |
7,40 |
|
2,0 |
15,37 |
14,04 |
14,28 |
19,11 |
16,38 |
6,55 |
22,49 |
10,99 |
8,70 |