Алгоритм расстановки пометок для задачи о max (от s и t) потоке.
А. Расстановка пометок.
Вершина может находиться в одном из 3
состояний : вершине приписана пометка
и вершина присмотрена (т.е. она имеет
отметку и не смежные с ней вершины
обработаны), вершина не имеет пометки.
Пометка произвольной вершины
состоит из 2-х частей и имеет 1 из 2 видов
(+
или (-
.
Часть +
пометки 1-го типа означает , что поток
допускает увеличение вдоль дуги
(
Часть
-
пометки другого типа означает что
поток может быть уменьшен вдоль дуги
(
В
обоих случаях
задает max величину
дополнительного потока, который протекает
от s к
вдоль построенной аугментальной цепи
потока . Присвоение пометки вершине
соответствует нахождению аугментальной
цепи потока из s к
все вершины не имеют пометок.
Шаг1 Присвоить вершине s
пометку (+s,
).
Вершине s присвоена
пометка, и она просмотрена, все остальные
без пометок.
Шаг2 Взять некоторую непросмотренную
вершину с пометкой: пусть ее пометка
будет (
,
.
(1) Каждой непомеченной вершине
для которой
присвоить пометку (-
где
=
min
(2) Каждой непомеченной вершине
для
которой
,
присвоить пометку
( -
где
=
min [
( теперь вершину
и имеем и просмотрим , а вершин
пометки которые присвоены в (1) и(2) ,
являются непросмотреными) как-либо
обозначим, что
просмотрена.
Шаг3. Повторять шаг 2 до тех пор пока
либо вершина t будет
помечена, и тогда перейти к шагу 4, либо
t не помечен и никаких
других пометок негде расставить; в этом
случае алгоритм работу заканчивает с
max вектором поток
.
Отметим, что
множество
помеченных вершин, а
-множество непомеченных, то (
-
минимальный разрез.
Б. поток.
Щаг4. Пусть x=t и перейти к шагу 5.
Шаг5. (1) Если пометки в в вершине x
имеют вид (+Z,
),
то и изменить поток вдоль дуги(Z,
X) c
на
.
(2)Если пометки в X имеют
вид (-Z,
),
то изменить поток вдоль дуги (X,Z)
с
на
.
Шаг6. Если Z=S,
то стереть все пометки и вернуться к
шагу 1, чтобы начать вновь рставлять
пометки , но не используя уже улучшенный
поток, найденный на шаге 5.Если Z
,
то взять X=Z
и вернуться к шагу 5.
Пример задачи о max потоке.
Пусть дан граф G (направленный, без циклов, нумерация вершины от меньшего номера к большему).
Здесь
источник,
сток.
Найти max поток от
к
.
Начальный поток – нулевой на всех дугах.
1 Итерация ( итерация состоит из 6 шагов, кол-во итераций имеет одинаковый порядок с размерностью задачи, определяемой шагом вершин-дуг графа).
Шаг1. Припишем
пометку (+
Шаг2. Мн-во вершин, инцидентных
Шаг3. {
Дуги ненасыщенны (есть возможность
увеличения потока по дуге).
припишем пометку :
min[
14-0]=(+
;
припишем пометку;
Итак,
помечена и просмотрена,
и
помечены и не просмотрены. Остальные
вершины не помечены. Повторяем шаг2 и
просмотрим вершину
.
Мн-во вершин, инцидентных
ненасыщенными дугами и не помеченные
{
}.
Для
пометка будет (+
=(
+
Теперь
и
помечены
и просмотрены, а
и
помечены и не просмотрены. Берем
и повторяем шаг2.
Для
пометкой будет (+
=(+
.
Для
пометкой будет (
;
Для
пометок расставить нельзя. (хотя от
в принципе могли пойти к
,
а не к
).
Для
=(+
Для
;
Для
Перейдем к шагам 4 и 5.
X=
X=
;
X=
X=
X=
И
так,
получим поток величин 4 следующего вида
(рис1), дуга (
)
насыщеннее.
Стираем пометки и возвращаемся к шагу1
2ой итерации.
поток
после 1-й итерации.
Итерации 2 .
Пометка для
Пометка для
Пометка для
помечена и просмотрена.
Пометка для
:
(+
помечена и просмотрена.
Пометка для
Пометка для
будет
=
(
помечена и просмотрена.
Пометка для
помечена и просмотрена.
Пометка
для
;
помечена и просмотрена.
Пометка для
Шаги 4 и 5.
Получим новые потоки:
;
Получим дугу (
насыщенную.
Итерация 3.
Пометка для
Для
Для
получена и просмотрена .
Для
Для
Для
Для
Для
Для
Новые потоки :
Получили (
-
насыщенную дугу.
Итерация 4.
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометка для
не получена и не может быть получена.
Новые потоки ;
На этой итерации насыщенных дуг не появилось.
рис
3.
Итерация 5.
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометка для
Пометки для
и
не отмечены.
Пометка для
Пометка для
Новые потоки ;
Появилась насыщенная дуга (
Итерация 6.
Пометка для
Пометка для
Пометка для
не может быть помечена.
не может быть помечена.
,
,
-нельзя
пометить.
Полученный поток –max величин 29,а min разрез имеет вид;
Величина min разреза =10+4+8+7=29= величине max потока.
Вершина 9 не помечена и никаких других пометок нельзя расставить.
Min разрез отделяет
множество помеченных вершин
от
непомеченных
Пример.
-источник;
-сток;
Пропускные способности дуг указаны на рисунке.
Найти max поток от
к
.
Начальный поток – с нулевыми значениями на всех дугах.
Шаг 1. Припишем
пометку (+
Шаг 2. (1) множество
вершин
есть
Вершине
приписана пометка
т.е.
;
Вершине
,т.е.
;
2.Множество
вершин
не помечена. является пустым.
Итак,
помечена и просмотрена,
и
помечены и не просмотрены, а все остальные
вершины не
помечены.
Повторим шаг2
и первой просмотрим вершину
-
Множество
есть
.
Для
пометкой
будет (+
-
Множество
является пустым.Теперь вершины
и
помечены и просмотрены, а
и
помечены, но не просмотрены. Взяв для
просмотра
и повторяя шаг2, прейдем к
следующим пометкам; для
пометкой
будет (+
для
пометкой будет
(+
Беря для просмотра
,
найдем, что
никаких
пометок расставить нельзя.
Продолжим
просмотр с
получим следующие потоки:
Переходим к шагам 4 и 5, получим:
x
=
x
=
x =
x
=
x
=
Получим следующие пометки вершин до их стирания на шаге 6:
(
)
- насыщенная дуга.
Стираем пометки и возвращаемся к шагу 1 для второго прохода ,получим:
Шаг3. Пометкой для
будет (+
помечена и
просмотрена.
помечена и
просмотрена.
Пометкой для
будет (+
,min
,
Пометкой для
будет (+
решена и просмотрена.
также помечена и
просмотрена.
Пометкой для
будет
(+
помечена и
просмотрена.
Пометкой для
будет (+
помечена и
просмотрена.
Пометки для
Шаги 4 и 5 .
Новые потоки увеличились следующим образом:
Все остальные значения потока не изменились. Новый вид потока и пометки вершин до стирания имеют вид:
- насыщенная дуга.
Далее:
(
насыщенная дуга;
после третей итерации.
Далее:
после четвертой итерации.
Далее:
минимальный разрез
П
оток
- max
поток со значением 29, а min
разрез